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1、专题03 解三角形之求三角形周长一、解答题(共30题)1在中，角，的对边分别为，设向量，且（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用建立关系式，通过正弦定理将边转化为角的正弦，化简整理成关于A的三角函数，从而求出A角. （2）通过面积公式和余弦定理可以建立的关系式，解出的值即可求出周长.【详解】解：（1），由正弦定理可得，整理得，在中，；（2）由余弦定理可得，化简得，由解得，或，所以三角形周长为2在中，三内角，对应的边分别是，且.（）求角的大小；（）若的面积是，求的周长.【答案】（）（）【分析】（）利用正弦定理的边角互化可得，再由两角和的正弦公式以及三角形
2、的内角和性质即可求解.（）利用三角形的面积公式可得，解得，再根据余弦定理可得，从而可得，进而求出的周长.【详解】（）将，代入中，得到，即.因为，所以，于是，.（）因为，所以，.由余弦定理得，即，所以.于是的周长是.3已知的内角、的对边分别为、且（1）求；（2）若且的面积为6求的周长【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简可得，然后根据平方关系可得结果.（2）依据三角形面积公式以及（1）可知，然后使用余弦定理可得，最后可得结果.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，即，所以因为，所以，可得，所以（2），所以，由余弦定理得，即，解得，所以的周长为4在中，角，所对的边
3、分别为，已知，（）是边上的中线，若，求的值；（）若，求的周长【答案】（）（）【分析】(1)由题知，两边平方得，代入计算求出；（2）由正弦定理求出角，从而判断三角形为直角三角形，求出，得出周长.【详解】（）因为，所以，即，所以，解得（负值舍去）；（）由，可得，因为，所以，所以所以，所以，所以的周长为5在中，角A，B，C的对边分别为且满足（1）求角；（2）若的面积，其外接圆的半径，求的周长【答案】（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理，将变化为角，结合正弦函数的和角公式即可得解.（2）根据外接圆半径及正弦定理可求得，结合三角形面积公式可得，代入余弦定理可得，进而得的周长【详解】（1），由正弦定理得
4、.即，又，故，又，所以 （2）由，及，可得，又，即，由余弦定理，得，即，又，故.所以，即的周长为.6中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为h，已知（1）求的值；（2）若，且的面积为，求的周长【答案】（1）1；（2）【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】解：（1）由及正弦定理得，即，由正弦定理得，又因为，即（2），得，的周长为7已知的三个内角，的对边分别为，且（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将已知条件切化弦，结合正弦定理实现边化角，以及正弦的和
5、角公式，即可求得结果；（2）由三角形面积求得，再利用余弦定理求得，则周长得解.【详解】（1）因为，所以，在中，由正弦定理得，因为，所以，整理得，由，得，所以.（2）因为，所以，因为，所以，得.即的周长为.8已知向量.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，若，求的周长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用平面向量的数量积公式得到关于三角函数的表达式，然后利用三角恒等变换化简为一个正弦型函数，最后利用周期公式得到所求；（2）首先利用（1）的结论求出A，然后利用余弦定理得到关于b，c的一个等式，再根据条件求解b，c，从而可得三角形的周长.【详解】（1） ，所以的最小正周期.（2）由题意可得，又
6、，则，所以，故.设角的对边分别为，则.所以，又，所以，故，解得，则，所以的周长为.9在中，角，的对边分别是，且.（1）求的大小；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）1；（2）【分析】（1）由正弦定理化简已知可求，由余弦定理可得cosA，结合B，可得所求（2）利用的面积可求b=c=，利用余弦定理可得a=b，从而求得周长【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，整理得，解得.又，所以，即， .（2）由（1）知，解得.由余弦定理，得，即.的周长为.10设、分别是内角、所对的边，.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用两角差的余弦公式化简可得，即可得
7、到角A的大小；（2）根据面积结合（1）可得，利用余弦定理求得，即可得到三角形周长.【详解】（1）由题意可得：（2）由又，周长为.11的内角的对边分别为，已知.（1）求B的大小；（2）若，求的周长.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用三角函数诱导公式、同角三角函数的基本关系，可将题中等式转化为，即可求出，进而求出角即可；（2）由余弦定理，可求得，再结合，可求出，进而可求出，即可得到的值，从而可求出的周长.【详解】（1）由题意，解得，.（2），即，又，即，的周长为.12内角，的对边分别是，内角，顺次成等差数列.（1）若，求的大小；（2）若的面积为，其外接圆半径为，求的周长.【答案】（1）；（2
8、）.【分析】（1）由已知结合等差数列的性质及三角形的内角和可求，然后结合余弦定理可求；（2）由已知利用三角形的面积公式可求，利用正弦定理可求的值，进而根据余弦定理可求的值，即可得解的周长的值.【详解】（1）由，且，所以，因为，由余弦定理得：，故.（2）由于的面积为，由（1）可得，所以，解得，由于的外接圆半径为，所以，即，解得，利用已知条件和余弦定理，可得，解得，所以的周长为.13在中，角所对的边分别为（1）求的值；（2）求的周长【答案】（1）；（2）28【分析】（1）根据，的关系求出，根据同角的基本关系求出，从而求出的值；（2）根据正弦定理以及余弦定理求出三角形的三边长，从而求出三角形的周长即
9、可【详解】解：（1）由，得，故，则；（2），解得：，由得：，故，由，解得：，由余弦定理得：，则，故，故的周长是14已知的面积是，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求A；（2）若，求的周长.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式、诱导公式计算可得；（2）由，得，再利用余弦定理求出，即可求出的周长【详解】解：（1）因为，所以，所以，即，因为，所以，所以，所以（2），的周长为：15已知的内角，的对边分别为，且.（1）求；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果
10、；（2）由面积公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，结合即可求得周长.【详解】（1）由题设得.由正弦定理得，所以或.当，（舍）故，解得.（2），从而.由余弦定理得.解得.故三角形的周长为.16在中，角，的对边分别为，且.（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）30.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合展开化简可得，从而得解；（2）由面积公式可得，结合余弦定理可得，从而得解.【详解】(1)由及正弦定理可得，即,整理得，因为,所以, . （2）由及ABC的面积为 ，得，所以.由，由余弦定理可得：=，所以，所以ABC的周长为30.17已知函数在锐角中，角，的
11、对边分别为，（1）求角大小；（2）若，求周长【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式以及两角的和差公式对原式进行化简即可求得角；（2）根据余弦定理及已知条件求得，即可求得周长【详解】（1）因为，即，所以或，且，所以（2）由，可得，整理得由，可得，则，解得，则的周长18已知在中，角所对的边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若的面积为，且，求的周长.【答案】（1），（2）12【分析】（1）由正弦定理将化为，从而可得，而，所以，则有，进而可求出角；（2）由的面积为，可得，再结合余弦定理可得，则，从而可得为等边三形，进而可求出其周长【详解】解：（1）因为，所以由正弦定理得，所以，所以
12、 ，因为，所以，所以，所以,因为，所以，（2）因为的面积为，所以，即，所以，由余弦定理得，由，得代入上式得，化简得，解得，所以，因为，所以为等边三角形，所以的周长为1219的内角，所对边分别为，且（1）求；（2）若，求的周长【答案】（1）；（2）【分析】（1）由正弦定理化角为边，再根据余弦定理可求解；（2）由三角形面积公式可得，由余弦定理得，再由可求出，即可求出，得出周长.【详解】解（1）由根据正弦定理得，根据余弦定理得因为，所以（2）因为，解由余弦定理得，即又因为，即联立，得，解得（舍负）因为，所以（舍负），所以的周长为20的内角的对边分别为，已知（1）求;（2）若，求的周长【答案】（1）；
13、（2）.【分析】（1）根据，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为求解； （2）利用余弦定理得到，然后由求得代入即可.【详解】（1）因为 ，所以，所以所以由正弦定理得整理得因为在中，所以，则所以（2）由余弦定理得，即，因为，所以，所以，解得.所以的周长是21的内角、的对边分别为、，其面积为，且（1）求的值；（2）若、成等比数列，且的面积是，求的周长【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理以及三角形的面积公式可求得的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得，进而可求得的值，由已知条件可求得的值，由此可求得的周长【详解】（1），由正弦定理得：，即，；（2）由（1）知，
14、又、成等比数列，即，又，即，即，则，又，因此的周长为22已知的内角A，B，C的对边分别为，.（1）求的值；（2）若的面积为，求的周长【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由利用正弦定理可得，然后利用商数关系求解；（2）根据（1）结合，解得，再由的面积为，求得，再利用余弦定理求解.【详解】（1）由正弦定理，及得，即，.（2）由（1）知，故，又因为，解得.由，得，由余弦定理及，得.，的周长为.23在中，（1）求B；（2）若，的面积为，求的周长【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知三角函数的等量关系，结合两角和正弦公式得，根据正弦定理、三角形内角的性质，即可求B；（2）由三角形面积公式求出、，
15、再根据余弦定理求，即可求的周长【详解】（1）由，得，即，由正弦定理，得，又，即，（2）由的面积为，得，解得，即由余弦定理，可得，解得的周长为24已知函数，.（1）求函数的递增区间；（2）在中，内角满足，且，求的周长.【答案】（1）；（2）12.【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的增区间可求出结果；（2）由求出，由余弦定理求出，由求出，联立这两个方程解出后，可得三角形的周长.【详解】（1），令，得，因为，令，得，由.所以，当时，单调递增，即的递增区间为.（2）因为，所以，又因为，所以，即，由余弦定理可知，又因为，所以，联立得，所以的周长为12.25在中，内角，所对的边分别为，
16、且，（1）求的面积的最大值；（2）若，求的周长【答案】（1）的面积的最大值为；（2）15【分析】(1)由条件结合余弦定理，利用均值不等式可得的最大值，从而得出的面积的最大值.（2）由正弦定理将条件互为，再化简可得，由而倍角公式可得，从而得出角，进一步求出边，得出答案.【详解】（1），由余弦定理知：，即，即，当且仅当时取等号所以，所以的面积的最大值为（2）由正弦定理得，即，故，由 ，周长为26已知中，三个内角所对的边分别是（1）证明；（2）在，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答若，_，求的周长【答案】（1）证明见解析；（2）选，周长都是20.【分析】（1）利用余弦定理即可直接证明；（2
17、）先根据条件结合（1）中结论可先求得，再由余弦定理可求出，即可得出周长.【详解】（1）证明：由余弦定理可得：，即（2）第一步：求A选：，由（1）中所证结论可得：，可得选：，由（1）中的证明同理可得：，可得，选：，由（1）中的证明过程同理可得，可得第二步：求c在中，由余弦定理可得：，即，解得，或（舍去），所以，即的周长为2027在中，角，所对的边分别为，（1）求外接圆的面积；（2）若边上的中线长为，求的周长【答案】（1）；（2）9.【分析】(1)由正弦定理可求出，结合余弦定理可求出，进而可求出三角形外接圆的半径，从而可求出外接圆的面积.(2) 设的中点为，则，结合向量加法可得，结合余弦定理可求出
18、，.【详解】解：（1）因为，又，即，所以，由，得，设外接圆的半径为则，所以外接圆的面积为（2）设的中点为，则因为，所以，即，又，则 ，整理得，解得或（舍去），则所以的周长为928在中，（1）求；（2）若的面积，求的周长【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先可求的值，进而利用两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简化简求值得解的值；（2）利用同角三角函数基本关系式可求，的值，可得，解得的值，令，由正弦定理可求，利用三角形的面积公式可求的值，即可得解的周长.【详解】解：（1），（2），不妨设ABC所对的边分别为a、b、c，则令，则，又，的周长为29在中，角，所对的边分别为，若且（1）求
19、的值；（2）若且的面积为，求的周长【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据，由正弦定理结合两角和的正弦公式得到，则，然后由求解.（2）由3得到，从而，又的面积为，结合（1）求得a，c，再利用余弦定理求得b即可.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，所以，即因为且，所以所以（2）因为3，所以，即，所以又，所以，则由余弦定理，得，即所以的周长为30的内角的对边分别为，已知的面积为，且满足.（1）求；（2）若，求的周长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由三角形的面积公式和，可得，再利用正弦定理可求出答案；（2）由，结合(1)的结果，可得，从而可求出，再利用正弦定理结合已知条件可得，再利用余弦定理可得，从而可求出的周长【详解】解：（1）由三角形的面积公式可得，因为，所以，由正弦定理得，因为，所以；（2）因为，所以所以，所以，因为，所以因为，所以因为所以，所以，由余弦定理得，所以，所以所以，所以的周长为.学科网（北京）股份有限公司