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1、 数学学生讲义 学生姓名： 年级：高一年级 科目：数学 学科教师： 课题命题、充分条件、必要条件（学生版）授课类型基础知识经典例题巩固提升教学目标11、了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2、了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；3、理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；4、会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；教学重难点授课日期及时段教学内容基础知识回顾知识点一：一：命题1. 命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.注释：1
2、. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”.2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“p是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.2. 命题的结构命题可以改写成“若，则”的形式，或“如果，那么”的形式.其中是命题的条件，是命题的结论.注释：1. 一般地，命题“若，则”中的为命题的条件为命题的结论.2. 有些问题中需要明确指出条
3、件和各是什么，因此需要将命题改写为“若，则”的形式.二：四种命题原命题：“若，则”；逆命题：“若，则”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.注释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若，则”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.三：四种命题之间的关系1. 四种命题之间的构成关系2. 四种命题之间的真值关系 注释：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的
4、真假无必然联系.注释五：反证法：1. 反证法是假设结论的否定成立，利用已知条件，经过推理论证得出矛盾，判定结论的否定错误，从而得出要证的结论正确.2. 反证法的步骤：（1）假设结论不成立.（2）从假设出发推理论证得到矛盾.（3）判定假设错误，肯定结论正确.3. 互为逆否命题的两个命题同真同假是命题转化的依据和途径之一，因此在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题.知识点二：一：充分条件与必要条件、充要条件的概念1. 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：.2. 充分条件、必要条件与充要条件若，称是的充分条件，是的必要条件.如果既有，又有，就记作，这
5、时是的充分必要条件，称是的充要条件.注释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.“若，则”为真命题；是的充分条件；是的必要条件.以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.二：充分条件、必要条件与充要条件的判断1. 从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件与结论之间的逻辑关系.若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；若，且，即，则、互为充要条件；若，且，则是的既不充分也不必要条件.2. 从集合与集合间的关系看若：，则：.若，则是的充分条件，是的必要条件；若是的 真子集，则是的充分不必要条件；若=，则、互为充要条件；若不是的子
6、集且不是的子集，则是的既不充分也不必要条件.注释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：确定哪个是条件，哪个是结论；尝试用条件推结论；再尝试用结论推条件；最后判断条件是结论的什么条件.三：充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）.注释：对于命题“若，则” ：如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；如果是的充要条件，则四种命
7、题均为真命题.经典例题再现命题：类型一：命题的概念例1. 判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假.(1)；(2)当时， ；(3) 你是男生吗？(4) 求证：是无理数.【变式1】下列语句中是命题的是（ ）A B0N C元素与集合 D真子集【变式3】判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题.（1）末位是0的整数能被5整除；（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；（3）两直线平行，则斜率相等；（4）中，若，则；（5）余弦函数是周期函数吗？类型二：命题的结构例2. 指出下面命题的条件和结论：（1）对顶角相等；（2）四边相等的四边形是菱形.【变式】指出下列命题的条件和结论.（1）若空
8、间四边形为正四面体，则顶点在底面上的射影为底面的中心；（2）若两条直线和都和直线平行，则直线和直线平行.例3 . 将下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假：（1）偶数能被2整除；（2）奇函数的图象关于原点对称；（3）同弧所对的圆周角不相等.【变式1】将下列命题改写为“若，则”的形式，并判断其真假：（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（2）对角线相等的平面四边形是矩形.【变式2】已知命题“一元二次方程有两个不相等的实数根”；条件：_，结论：_；是_命题.类型三：命题的四种形式例4. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假.（1）若，则；（2）若，则；（3）若一个三
9、角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等.【变式】写出下列的命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1) 在中，若，则； (2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；(3)当时，若， 则.例5设原命题：若，则中至少有一个不小于1. 写出其逆命题，并判断原命题及其逆命题的真假.【变式1】试写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并分别判断其真假（1）当集合，时，若，则.（2）若，则.（3）若，则.充分条件、必要条件类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1. 指出下列各题中，分别是的什么条件？(1) ：， ： ；(2) ：， ： 抛物线过原点；(3) ：一个四边形是矩形，
10、： 四边形的邻边相等.【变式1】指出下列各题中，是的什么条件？（1）：， ：和是对顶角.（2）：， ：；【变式2】判断下列各题中是的什么条件.（1）：且， ：；（2）：， ： .例2. 已知：0 3，：|-1|2，则是的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【变式1】设，则条件“”的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D.【变式2】下列各小题中，是的什么条件？（1）：， ： ；（2）：， ：.【变式3】设条件甲为“”，条件乙为“”那么甲是乙的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件类型二：充要条件的探求与证明例3. 设R，求证：|=|+|成立的充要条件是0.【变式1】已知都是实数，证明7或0的解集为R，命题：0 ，”是“”的_10. 函数的图象关于轴对称的充要条件是_11下列各题中，是的什么条件？(1) ：1； ：1.(2) ：15； ：1且5.(3) ：三角形是等边三角形； ：三角形是等腰三角形12(1)写出-1的一个必要不充分条件；(3) 写出2的一个充要条件.13已知：0，：0， 若是的充分而不必要条件，求正实数的取值范围.14不等式0对一切13都成立，求的取值范围15证明：方程0有一根为1的充要条件是0.13 学科网（北京）股份有限公司