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1、 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY二最大值与最小值问题 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:在其中当时,(1)则称 为 的极大
2、点极大点,称 为函数的极大值极大值;(2)则称 为 的极小点极小点,称 为函数的极小值极小值.极大点与极小点统称为极值点极值点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY注意注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如例如(P146例例4)为极大点,是极大值 是极小值 为极小点,机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZH
3、OU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理 1(极值第一判别法极值第一判别法)且在空心邻心邻域内有导数,(1)“左左正正右右负负”,(2)“左左负负右右正正”,(自证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图中任意处动画播放暂停 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例1.求函数求函数的极值.解解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为机动 目录 上页 下页
4、 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理2(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且则 在点 取极大值;则 在点 取极小值.证证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例2.求函数的极值.解解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故 为极小值;又故需用第一判别法
5、判别.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理3(判别法的推广判别法的推广)则:数,且1)当 为偶数时,是极小点;是极大点.2)当 为奇数时,为极值点,且不是极值点.当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:利用 在 点的泰勒公式,可得 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UN
6、IVERSITY例如例如,例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理1 定理3)都是充分的.说明说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如例如:为极大值,但不满足定理1 定理3 的条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点(2)最大值最小值机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZH
7、OU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY特别特别:当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大 值,则也是最大 值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.(小)机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解解:显然且故函
8、数在取最小值 0;在及取最大值 5.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY因此也可通过例例3.求函数说明说明:求最值点.与最值点相同,由于令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY(k 为某一常数)例例4.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距
9、 A 处20AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货D 点应如何选取?20解解:设则令得 又所以 为唯一的极小点,故 AD=15 km 时运费最省.总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例5.5.把一根直径为d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最量最大?解解:由力
10、学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY用开始移动,例例6.设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 作解解:克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题.为多少时才可使力设摩擦系数问力与水平面平面夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束 的大小最小?YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERS
11、ITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY令解得而因而 F 取最小值.解解:即令则问题转化为求的最大值问题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY清楚(视角 最大)?观察者的眼睛1.8 m,例例7.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于解解:设观察者与墙的距离为 x m,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.问观察者在距
12、墙多远处看图才图才最机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY内容小结内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值(4)判别法的推广(Th.3)定理3 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVER
13、SITY最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习思考与练习(L.P500 题4)2.连续函数的最值1.设则在点 a 处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示提示:利用极限的保号性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示提示:利用极限的保号性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANG
14、ZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY3.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示提示:A机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY作业作业P160 1(5),(9);2;3;5 ;10;14;15 第六节 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY试问 为何值时,在时取得极值,还是极小.解解:由题意应有又取得极大值为备用题备用题 1.求出该极值,并指出它是极大机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY试求解解:2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所求最大值为