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1、概率与统计课件第七概率与统计课件第七章数学期望章数学期望第1页，本讲稿共42页一、数学期望的概念三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望四、小结第一节第一节 数学期望数学期望第2页，本讲稿共42页引例1 分赌本问题(产生背景)A,B 两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部 200 元.由于出现意外情况,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?一、数学期望的概念一、数学期望的概念 第3页，本讲稿共42页A 胜胜 2 局局 B 胜胜 1 局局前三局前三局:后二局后二局:把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果相结合,
2、即 A、B 赌完五局,A AA B B AB BA 胜胜B 胜胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:A AA B B AB BA胜胜B负负 A胜胜B负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 第4页，本讲稿共42页因此因此,A 能能“期望期望”得到的数目应为得到的数目应为 而而B 能能“期望期望”得到的数目得到的数目,则为则为故有,在赌技相同的情况下,A,B 最终获胜的可能性大小之比为即A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的第5页，本讲稿共42页因而因而A期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为X的的“期望期望”值值,等于等于X 的可能值与其概
3、率之积的累加的可能值与其概率之积的累加.即为即为若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提下,继续赌下去 A 最终所得的赌金.则则X 所取可能值为所取可能值为:其概率分别为其概率分别为:第6页，本讲稿共42页 设某射击手在同样的条设某射击手在同样的条件下件下,瞄准靶子相继射击瞄准靶子相继射击90次次,(命中的环数是一个随机变量命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下射中次数记录如下引例2 射击问题试问试问:该射手每次射击平均命中靶多少环该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数 k命中次数频率第7页，本讲稿共42页解平均射中环数设射手命中的环数为随机变量设射手命中的环数为随机变量
4、Y.第8页，本讲稿共42页 平均射中环数频率随机波动随机波动随机波动 稳定值 “平均射中环数平均射中环数”的稳定值的稳定值 “平均射中环数平均射中环数”等于等于射中环数的可能值与其概率之积的累加射中环数的可能值与其概率之积的累加第9页，本讲稿共42页1.离散型随机变量的数学期望第10页，本讲稿共42页分赌本问题A 期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为 X 的数学期望的数学期望射击问题射击问题 “平均射中环数平均射中环数”应为随机变量应为随机变量Y 的数学期望的数学期望第11页，本讲稿共42页关于定义的几点说明 (3)随机变量的数学期望与一般变量的算随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同术
5、平均值不同.(1)E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值,也称也称均值均值.(2)级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.第12页，本讲稿共42页随机变量随机
6、变量 X 的算术平均值为的算术平均值为假设它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值取可能值的平均值.当随机变量当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时取各个可能值是等概率分布时,X 的期望值与算术平均值相等的期望值与算术平均值相等.第13页，本讲稿共42页试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?实例1 谁的技术比较好?乙射手甲射手第14页，本讲稿共42页解故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.第15页，本讲稿共42页实例2 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票某一彩票中心发行彩票 10万张万张,每张每张2元元.设设头等奖头等奖1个个,奖金奖金 1万元万元
7、,二等奖二等奖2个个,奖金各奖金各 5 千元千元;三等奖三等奖 10个个,奖金各奖金各1千元千元;四等奖四等奖100个个,奖金各奖金各100元元;五等奖五等奖1000个个,奖金各奖金各10 元元.每张彩票的成每张彩票的成本费为本费为 0.3 元元,请计算彩票发行单位的创收利润请计算彩票发行单位的创收利润.解解设每张彩票中奖的数额为随机变量设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则则第16页，本讲稿共42页每张彩票平均可赚每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为万张彩票的创收利润为第17页，本讲稿共42页实例3 如何确定投资决策方向?某
8、人有某人有10万元现金，想投资于某项目，万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为预估成功的机会为 30%，可得利润，可得利润8万元万元，失败的机会为失败的机会为70%，将损失，将损失 2 万元若万元若存入银行，同期间的利率为存入银行，同期间的利率为5%，问是否，问是否作此项投资作此项投资?解解设设 X 为投资利润，则为投资利润，则存入银行的利息存入银行的利息:故应选择投资故应选择投资.第18页，本讲稿共42页2.连续型随机变量数学期望的定义第19页，本讲稿共42页解解因此因此,顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.实例4 顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服
9、务的时间 X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?第20页，本讲稿共42页1.离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望解二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为第21页，本讲稿共42页则有因此离散型随机变量函数的数学期望为因此离散型随机变量函数的数学期望为若若 Y=g(X),且且则有则有第22页，本讲稿共42页2.连续型随机变量函数的数学期望若若 X 是连续型的是连续型的,它的分布密度为它的分布密度为 f(x),则则3.二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望第23页，本讲稿共42页
10、第24页，本讲稿共42页解实例5 设(X,Y)的分布律为第25页，本讲稿共42页由于第26页，本讲稿共42页第27页，本讲稿共42页实例6 第28页，本讲稿共42页解第29页，本讲稿共42页第30页，本讲稿共42页实例7 解解第31页，本讲稿共42页因此期望所得为因此期望所得为第32页，本讲稿共42页第33页，本讲稿共42页1.设 C 是常数,则有证明证明2.设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有证明证明例如例如三、数学期望的性质三、数学期望的性质第34页，本讲稿共42页4.设设 X,Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,则有则有3.设 X,Y 是两个随机变
11、量,则有证明证明说明说明 连续型随机变量连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似变量数学期望的性质类似.第35页，本讲稿共42页解解实例8第36页，本讲稿共42页第37页，本讲稿共42页四、小结四、小结1.数学期望是一个实数数学期望是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加权平均加权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机它从本质上体现了随机变量变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2.数学期望的性质数学期望的性质第38页，本讲稿共42页思考问题1商店的销售策略第39页，本讲稿共42页思考问题2 分组验血第40页，本讲稿共42页第41页，本讲稿共42页到站时刻概率思考问题3第42页，本讲稿共42页