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1、差分方程建模专题讲座第1页，本讲稿共56页差分方程的基本概念差分方程的基本概念1全国赛题选讲全国赛题选讲3差分方程建模专题讲座差分方程建模专题讲座用用Matlab求解差分方程问题求解差分方程问题2第2页，本讲稿共56页对于对于k阶差分方程阶差分方程F(n;xn,xn+1,xn+k)=0 (1.1)若有若有xn=x(n),),满足满足F(n;x(n),x(n+1),x(n+k)=0,则称则称xn=x(n)是差分方程是差分方程(1.1)(1.1)的的解解,包含包含k个任意常个任意常数的解称为数的解称为(1.1)(1.1)的的通解通解,x0,x1,xk-1为已知时称为已知时称为为(1.1)(1.1)
2、的的初始条件初始条件,通解中的任意常数都由初始条通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为件确定后的解称为(1.1)(1.1)的的特解特解.差分方程的基本概念差分方程的基本概念1第3页，本讲稿共56页 若若x0,x1,xk1已知，则形如已知，则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现的差分方程的解可以在计算机上实现.若有常数若有常数a是差分方程是差分方程(1.1)的解，即的解，即F(n;a,a,a)=0,则称则称 a是差分方程是差分方程(1.1)的的平衡点平衡点.又对差分方程又对差分方程(4-6)(4-6)的任意由初始条件确定的的任意由初始条件确定的
3、解解 xn=x(n)都有都有xna(n),则称这个平衡点则称这个平衡点a是是稳定稳定的的.差分方程模型差分方程模型第4页，本讲稿共56页 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 xn+1+axn=b,(其中其中a,b为常数，且为常数，且a-1,0)的通解为的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当且仅是其平衡点，由上式知，当且仅当当|a|1时，时，b/(a+1)是稳定的平衡点是稳定的平衡点.差分方程模型差分方程模型第5页，本讲稿共56页 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中其中a,b,r为常数为常
4、数.当当r=0时，它有一特解时，它有一特解x*=0；当当r 0，且且a+b+1 0 0时，它有一特解时，它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形，不管是哪种情形，x*是其平衡点是其平衡点.设其特征方设其特征方程程 2+a +b=0的两个根分别为的两个根分别为 =1,=2.差分方程模型差分方程模型第6页，本讲稿共56页 当当 1,2 是两个不同实根时，二阶常系数线是两个不同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为性差分方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;当当 1,2=是两个相同实根时，二阶常系数是两个相同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为线性差分方程的通解为xn=x*
5、+(C1+C2 n)n;则则差分方程模型差分方程模型第7页，本讲稿共56页 当当 1,2=(cos +i sin )是一对共轭复根时，是一对共轭复根时，二阶常系数线性差分方程的通解为二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+n(C1cosn +C2sinn ).易知，当且仅当特征方程的任一特征根易知，当且仅当特征方程的任一特征根|i|1时时,平衡点平衡点x*是稳定的是稳定的.差分方程模型差分方程模型第8页，本讲稿共56页对于一阶非线性差分方程对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点其平衡点x*由代数方程由代数方程x=f(x)解出解出.为分析平衡点为分析平衡点x x*的稳定性的稳定性,
6、将上述差分方程近似为将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程时时,上述近似线性差分方程与原上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同非线性差分方程的稳定性相同.因此因此当当时时,x*是稳定的；是稳定的；当当时时,x*是不稳定的是不稳定的.当当差分方程模型差分方程模型第9页，本讲稿共56页问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商
7、品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型第10页，本讲稿共56页gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系生产者的供应关系生产者的供应关系供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0 第11页，本讲稿共56页设设x1偏离偏离x0P0是稳定平衡点是稳定平衡点P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点 蛛蛛 网网
8、模模 型型 稳定性分析稳定性分析第12页，本讲稿共56页xy0fgy0 x0P0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P1P2P3P4xy0y0 x0P0fg曲线斜率曲线斜率稳定性分析稳定性分析第13页，本讲稿共56页在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线P0稳定稳定P0不稳定不稳定方方 程程 模模 型型方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致稳定性分析稳定性分析第14页，本讲稿共56页 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应的增量供应的增量 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格
9、的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格经济稳定经济稳定结果解释结果解释第15页，本讲稿共56页1.使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直结果解释政府干预结果解释政府干预第16页，本讲稿共56页 生产者根据当前时段和前一时段的生产者根据当前时段和前一
10、时段的价格决定下一时段的产量。价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程模型的推广模型的推广第17页，本讲稿共56页方程通解方程通解(c1,c2由初始条件确定由初始条件确定)1,2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 平衡点稳定平衡点稳定的条件的条件:平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件模型的推广模型的推广第18页，本讲稿共56页用用Matlab求解差分方程问题求解差分方程问
11、题2一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程三、线性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组第19页，本讲稿共56页一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程濒危物种的自然演变和人工孵化濒危物种的自然演变和人工孵化问题问题 FloridaFlorida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为境下，年均增长率仅为1.94%1.94%，而在中等和较差环境下，而在中等和较差环境下年均增长率分别为年均增长率分别为 -3.24%-3.24%和和 -3.82%-3.82%，如果在某自然
12、保护区内开始有，如果在某自然保护区内开始有100100只鹤，只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作建立描述其数量变化规律的模型，并作 数值计算。数值计算。第20页，本讲稿共56页模型建立模型建立记第记第k年沙丘鹤的数量为年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为年均增长率为r，则第，则第k+1年鹤的数量为年鹤的数量为 xk+1=(1+r)xk k=0,1,2已知已知x0=100,在较好，中等和较差的自在较好，中等和较差的自然环境下然环境下 r=0.0194,-0.0324,和和-0.0382 我们利用我们利用MatlabMatlab编程，递推编程，递推2020年后观察年后观察沙丘鹤的数量变化情况沙丘
13、鹤的数量变化情况第21页，本讲稿共56页Matlab实现实现首先建立一个关于变量n,r的函数function x=sqh(n,r)a=1+r;x=100;for k=1:n x(k+1)=a*x(k);end第22页，本讲稿共56页在command窗口里调用sqh函数 k=(0:20);y1=sqh(20,0.0194);y2=sqh(20,-0.0324);y3=sqh(20,-0.0382);round(k,y1,y2,y3)%一个行向量一个行向量%也是一个行向量也是一个行向量%对变量四舍五入，但对变量四舍五入，但 是不改变变量的值是不改变变量的值第23页，本讲稿共56页利用plot 绘图
14、观察数量变化趋势可以用不同线型和颜色绘图r g b c m y k w 分别表示 红绿兰兰绿洋红黄黑白色：+o*.X s d 表示不同的线型 第24页，本讲稿共56页 plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐标系下画图 plot(k,y1,r,k,y2,y,k,y3,-)gtext(r=0.0194)gtext(r=-0.0324)gtext(r=-0.0382)在图上做标记。第25页，本讲稿共56页人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化每年孵化5 5只鹤放入保护区，观察在中等自只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化然条件
15、下沙丘鹤的数量如何变化Xk+1=aXk+5 ,a=1+r如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令以令Xk+1=aXk+b ,a=1+r第26页，本讲稿共56页观察观察200200年的发展趋势，以及在较差条件年的发展趋势，以及在较差条件下的发展趋势下的发展趋势可以考察每年孵化数量变化的影响。可以考察每年孵化数量变化的影响。第27页，本讲稿共56页function x=fhsqh(n,r,b)a=1+r;x=100;For k=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;end第28页，本讲稿共56页k=(0:200);n=200;r=-0.0324b=5y=
16、fhsqh(n,r,b)plot(k,y)第29页，本讲稿共56页一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性自然环境下,b=0人工孵化条件下令xk=xk+1=x得 差分方程的平衡点k时，xkx,称平衡点是稳定的第30页，本讲稿共56页高阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程 如果第k+1时段变量xk+1不仅取决于第k时段变量xk，而且与以前时段变量有关，就要用高阶差分方程来描述第31页，本讲稿共56页一年生植物的繁殖一年生植物的繁殖一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季
17、发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。第32页，本讲稿共56页模型及其求解模型及其求解记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1 1，2岁种子发芽率a2。设c,a1,1,a2 2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件记第k年植物数量为xk，显然xk与xk-1,xk-2有关
18、，由 xk-1决定的部分是 xk-1 Cba1,由xk-2决定的部分是xk-2cb(1-a1)ba2 xk=a1bcxk-1 +a2b(1-a1)bcxk-2 第33页，本讲稿共56页实际上，就是xk=pxk-1+qxk-2 ,我们需要知道x0,a1,a2,c,考察b不同时，种子繁殖的情况。在这里假设 x0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18-0.2 这样可以用matlab计算了xk=a1bcxk-1 +a2b(1-a1)bcxk-2 第34页，本讲稿共56页function x=zwfz(x0,n,b)c=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a
19、2*b*(1-a1)*b*c;X(1)=x0;X(2)=p*(x1);for k=3:nx(k)=p*x(k-1)+q*x(k-2);endxk=a1bcxk-1 +a2b(1-a1)bcxk-2 第35页，本讲稿共56页k=(0:20);y1=zwfz(100,21,0.18);y2=zwfz(100,21,0.19);y3=zwfz(100,21,0,20);pound(k,y1,y2,y3)plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,o),gtext(b=0.18),gtext(b=0.19),gtext(b=0.20)第36页，本讲稿共56页结果分析：结果分析：xk=pxk-1+qxk
20、-2 (1)x1=px0 (2)对高阶差分方程可以寻求形如xk=k 的解。代入(1)式得2-p-q=0 称为差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程(1)的解可以表为c1,c2 由初始条件x0,x1确定。第37页，本讲稿共56页本例中，用待定系数的方法可以求出b=0.18时,c1=95.64,c2=4.36 ，这样实际上，植物能一直繁殖下去的条件是b0.191第38页，本讲稿共56页线性常系数差分方程组线性常系数差分方程组汽车租赁公司的运营汽车租赁公司的运营一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租
21、赁期内在A市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1;在B市租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1;C市租赁的归还比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。第39页，本讲稿共56页0.60.3A B CA B CA B C假设在每个租赁期开始能把汽车都租出去，并都在租赁期末归还0.10.70.20.10.60.30.1第40页，本讲稿共56页模型及其求解模型及其求解记第k个租赁期末公司在ABC市的汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k)(也是第k+
22、1个租赁期开始各个城市租出去的汽车数量），很容易写出第k+1个租赁期末公司在ABC市的汽车数量为(k=0,1,2,3)第41页，本讲稿共56页用矩阵表示用matlab编程，计算x(k),观察n年以后的3个城市的汽车数量变化情况第42页，本讲稿共56页function x=czqc(n)A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;x(:,1)=200,200,200;for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k);end如果直接看10年或者20年发展趋势，可以直接在命令窗口（commond window）作，而不是必须编一个函数第43页，本讲稿共56页A=
23、0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;n=10;for k=1:nx(:,1)=200,200,200;x(:,k+1)=A*x(:,k);endround(x)第44页，本讲稿共56页作图观察数量变化趋势 k=0:10;plot(k,x)，gridgtext(x1(k),gtext(x2(k),gtext(x3(k)第45页，本讲稿共56页可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量趋于180，300，120可以考察这个结果与初始条件是否有关若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关第46页，本讲稿共56页直接输
24、入x（:,1）的值即可x(:,1)=600,0,0;round(x);plot(k,x)grid第47页，本讲稿共56页商品销售量预测商品销售量预测 在利用差分方程建模研究实际问题时，常常需要根据统计数据并用最小二乘法来拟合出差分方程的系数.其系统稳定性讨论要用到代数方程的求根.对问题的进一步研究又常需考虑到随机因素的影响，从而用到相应的概率统计知识.第48页，本讲稿共56页 某商品前5年的销售量见表.现希望根据前5年的统计数据预测第6年起该商品在各季度中的销售量.第49页，本讲稿共56页 从表中可以看出，该商品在前5年相同季节里的销售量呈增长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量
25、最小而第三季度的销售量最大.预测该商品以后的销售情况，根据本例中数据的特征，可以用回归分析方法按季度建立四个经验公式，分别用来预测以后各年同一季度的销售量.第50页，本讲稿共56页例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量由x=1:5,ones(5,1);y=11 12 13 15 16;z=xy求得，.预测第六年起第一季度的销售量为由于数据少，用回归分析效果不一定好由于数据少，用回归分析效果不一定好.第51页，本讲稿共56页如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型.仍以第一季度为例，为简单起见不再引入上标，最小二乘法求
26、一组总体吻合较好的数据第52页，本讲稿共56页编写Matlab程序如下：y0=11 12 13 15 16;y=y0(3:5);x=y0(2:4),y0(1:3),ones(3,1);z=xy求得求得，虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧合第53页，本讲稿共56页 不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程.为此，将季度编号为第54页，本讲稿共56页编写Matlab程序如下：y0=11 16 25 12 12 18 26 14 13 20 27 15 15 24 30 15 16 25 32 17;y=y0(9:20);x=y0(5:16),y0(1:12),ones(12,1);z=xy求得求得，还是较为可信的第55页，本讲稿共56页全国赛题选讲全国赛题选讲3（1 1）19961996年年 A A题题 最优捕鱼策略最优捕鱼策略（2 2）20092009年年 A A题题 制动器试验台的控制方法制动器试验台的控制方法第56页，本讲稿共56页