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1、线代课件向量的内积长度及正交线代课件向量的内积长度及正交性性第1页，本讲稿共28页1.1.定义定义1 1内积内积一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质说明说明1.维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义(Inner product)第2页，本讲稿共28页2.2.内积的运算性质内积的运算性质第3页，本讲稿共28页1.1.定义定义2 2 长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质(norm)第4页，本讲稿共28页单位向量单位向量2.第5页，本讲稿共
2、28页解解夹角夹角第6页，本讲稿共28页1、正交的概念正交的概念、正交向量组的概念正交向量组的概念正交正交若一若一非零非零向量组中的向量向量组中的向量两两正交两两正交，则称该向，则称该向量组为量组为正交向量组正交向量组三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法(orthogonal)第7页，本讲稿共28页证明证明、正交向量组的性质正交向量组的性质定理定理1第8页，本讲稿共28页4、正交单位向量组正交单位向量组每个向量都是单位向量的正交向量组每个向量都是单位向量的正交向量组.5、向量空间的正交基向量空间的正交基第9页，本讲稿共28页例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间
3、中两个向量正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.第10页，本讲稿共28页即即解之得解之得由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.则有则有解解第11页，本讲稿共28页6、规范规范 正交基正交基例如例如定义定义(标准标准)第12页，本讲稿共28页第13页，本讲稿共28页 同理可知同理可知第14页，本讲稿共28页7、求规范正交基的方法求规范正交基的方法下面介绍下面介绍施密特正交化施密特正交化方法（方法（Gram-Schmidt orthogonalizations method）第15页，本讲稿共28页(2)单位化单位化,取取(1)
4、正交化正交化,取取 ，第16页，本讲稿共28页例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化，取取施密特正交化过程施密特正交化过程第17页，本讲稿共28页再再单位化单位化，得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下第18页，本讲稿共28页例例解解第19页，本讲稿共28页把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取第20页，本讲稿共28页定义定义4 4四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换定理定理 A 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交例
5、例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵第21页，本讲稿共28页解解所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵第22页，本讲稿共28页所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵由于由于第23页，本讲稿共28页正交矩阵的性质：正交矩阵的性质：第24页，本讲稿共28页定义定义 若若 P 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 y=P x称为正称为正交变换交变换性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明第25页，本讲稿共28页1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化五、小结五、小结2 2 为为正交矩阵正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：的充要条件是下列条件之一成立：第26页，本讲稿共28页求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与正交正交思考题思考题第27页，本讲稿共28页思考题解答思考题解答第28页，本讲稿共28页