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1、多元正态分布第1页，本讲稿共59页图标说明图标说明表示：需要注意和温馨提醒的地方；表示：需要注意和温馨提醒的地方；表示：需要重点掌握的知识点；表示：需要重点掌握的知识点；表示：难点内容。表示：难点内容。第2页，本讲稿共59页第一章第一章 多元正态分布及其抽样分布多元正态分布及其抽样分布l1.1引言引言l1.2 多元指标统计数据及其图示多元指标统计数据及其图示1.3多元正态分布多元正态分布1.4统计距离和马氏距离统计距离和马氏距离1.5多元统计中常用的分布多元统计中常用的分布第3页，本讲稿共59页1.1引言l目的：明确多元统计分析及它能够解决目的：明确多元统计分析及它能够解决的主要问题的主要问题
2、第4页，本讲稿共59页一一、什么是多元统计分析什么是多元统计分析1.定义l多元统计分析：多元统计分析：研究多个随机变量之间相互依赖关系及内在统计规律研究多个随机变量之间相互依赖关系及内在统计规律性的一门统计学科。性的一门统计学科。l社会经济现象，受多种指标共同作用和影响的现象社会经济现象，受多种指标共同作用和影响的现象几乎无处不在，利用多元统计分析方法可以对这几乎无处不在，利用多元统计分析方法可以对这样的复杂现象进行量化分析，从而达到对研究对样的复杂现象进行量化分析，从而达到对研究对象进行分类和简化。象进行分类和简化。l举例举例第5页，本讲稿共59页2.主要内容：主要内容：多元正态总体的参数估
3、计和假设检验以多元正态总体的参数估计和假设检验以及常用的统计方法，这些统计方法包括：及常用的统计方法，这些统计方法包括：多元数据图表示法、聚类分析、判别分多元数据图表示法、聚类分析、判别分析、主成分分析、因子分析、对应分析、析、主成分分析、因子分析、对应分析、多重多元回归分析、典型相关分析、路多重多元回归分析、典型相关分析、路径分析等。径分析等。第6页，本讲稿共59页3、多元统计分析的产生和发展、多元统计分析的产生和发展l19281928年年WishartWishart论文论文 产生产生l2020世纪世纪3030年代年代理论框架形成理论框架形成l2020世纪世纪4040年代年代开始有限应用开始
4、有限应用l2020世纪世纪5050年代年代广泛应用广泛应用l2020世纪世纪6060年代年代新发展新发展第7页，本讲稿共59页二二、多元统计分析能解决那些类型实多元统计分析能解决那些类型实际问题际问题l经济学：如：对全国经济学：如：对全国30市自治区经济效益作综市自治区经济效益作综合评价，显然要选取的指标很多。如：固定资合评价，显然要选取的指标很多。如：固定资产投资完成额、职工工资总额、工业销售利税产投资完成额、职工工资总额、工业销售利税率等很多指标，对这些错综复杂的综合指标进率等很多指标，对这些错综复杂的综合指标进行分析解释时，可用主成分分析法和因子分析行分析解释时，可用主成分分析法和因子分
5、析法。法。l工业：如：某服装厂要生产一批新型服装，如工业：如：某服装厂要生产一批新型服装，如何确定服装的主要指标及分类的型号？何确定服装的主要指标及分类的型号？第8页，本讲稿共59页l教育学：如何对高考的考生成绩作因素教育学：如何对高考的考生成绩作因素分析？分析？l多元统计分析在农业、医学、体育科学、多元统计分析在农业、医学、体育科学、生态学、地质学、社会学、军事科学、生态学、地质学、社会学、军事科学、心理学等各个学科领域都有非常广泛的心理学等各个学科领域都有非常广泛的用途。用途。第9页，本讲稿共59页1、城镇居民消费水平通常用八项指标来描述，如人均粮食支出、城镇居民消费水平通常用八项指标来描
6、述，如人均粮食支出、人均副食支出、人均烟酒茶支出、人均衣着商品支出、人均日人均副食支出、人均烟酒茶支出、人均衣着商品支出、人均日用品支出、人均燃料支出、人均非商品支出。这八项指标存在用品支出、人均燃料支出、人均非商品支出。这八项指标存在一定的线性关系。为了研究城镇居民的消费结构，需要将相关一定的线性关系。为了研究城镇居民的消费结构，需要将相关强的指标归并到一起，这实际就是对指标进行聚类分析。强的指标归并到一起，这实际就是对指标进行聚类分析。2、在企业经济效益的评价中，涉及到的指标往往很多，如百、在企业经济效益的评价中，涉及到的指标往往很多，如百元固定资产原值实现产值、百元固定资产原值实现利税、
7、百元固定资产原值实现产值、百元固定资产原值实现利税、百元资金实现利税、百元工业总产值实现利税、百元销售收入元资金实现利税、百元工业总产值实现利税、百元销售收入实现利税、每吨标准煤实现工业产值、每千瓦时电力实现工实现利税、每吨标准煤实现工业产值、每千瓦时电力实现工业产值、全员劳动生产率、百元流动资金实现产值。如何将业产值、全员劳动生产率、百元流动资金实现产值。如何将这些具有错综复杂关系的指标综合成几个较少的因子，既有这些具有错综复杂关系的指标综合成几个较少的因子，既有利于对问题进行分析和解释，又能便于抓住主要矛盾做出科利于对问题进行分析和解释，又能便于抓住主要矛盾做出科学的评价。可用主成分分析和
8、因子分析法。学的评价。可用主成分分析和因子分析法。第10页，本讲稿共59页3、某一产品是用两种不同原料生产的，试问此两种原料生产的、某一产品是用两种不同原料生产的，试问此两种原料生产的产品寿命有无显著差异？又比如，若考察某商业行业今年和产品寿命有无显著差异？又比如，若考察某商业行业今年和去年的经营状况，这时需要看这两年经营指标的平均水平是去年的经营状况，这时需要看这两年经营指标的平均水平是否有显著差异以及经营指标之间的波动是否有显著差异。可否有显著差异以及经营指标之间的波动是否有显著差异。可用多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验。用多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验。4、按现行统计报表制
9、度，农村家庭纯收入是指农村常住居民家庭总收入、按现行统计报表制度，农村家庭纯收入是指农村常住居民家庭总收入中扣除从事生产和非生产经营用支出、税款和上交承包集体任务金额中扣除从事生产和非生产经营用支出、税款和上交承包集体任务金额以后剩余的、可直接用于进行生产的、非生产性建设投资、生产性消以后剩余的、可直接用于进行生产的、非生产性建设投资、生产性消费的那一部分收入。如果我们收集某年各个省、自治区、直辖市农民费的那一部分收入。如果我们收集某年各个省、自治区、直辖市农民家庭人均纯收入的数据，可以用相应分析，揭示全国农民人均纯收入家庭人均纯收入的数据，可以用相应分析，揭示全国农民人均纯收入的特征以及各省
10、、自治区、直辖市与各收入指标的关系。的特征以及各省、自治区、直辖市与各收入指标的关系。第11页，本讲稿共59页5、某医院已有、某医院已有100个分别患有胃炎、肝炎、冠心病、糖尿病等的病人资个分别患有胃炎、肝炎、冠心病、糖尿病等的病人资料，记录了他们每个人若干项症状指标数据。如果对于一个新的病料，记录了他们每个人若干项症状指标数据。如果对于一个新的病人，当也测得这若干项症状指标时，可以利用判别分析方法判定他人，当也测得这若干项症状指标时，可以利用判别分析方法判定他患的是哪种病。患的是哪种病。6、有、有100种酒，品尝家可以对每两种酒进行品尝对比，给出一种酒，品尝家可以对每两种酒进行品尝对比，给出
11、一种相近程度的得分（越相近得分越高，相差越远得分越低），种相近程度的得分（越相近得分越高，相差越远得分越低），希望用这些得分数据来了解这希望用这些得分数据来了解这100种酒之间的结构关系。这样种酒之间的结构关系。这样的问题就可以用多维标度法来解决。的问题就可以用多维标度法来解决。7、在地质学中，常常要研究矿石中所含化学成分之间的关系。设在、在地质学中，常常要研究矿石中所含化学成分之间的关系。设在某矿体中采集了某矿体中采集了60个标本，对每个标本测得个标本，对每个标本测得20个化学成分的含个化学成分的含量。我们希望通过对这量。我们希望通过对这20个化学成分的分析，了解矿体的性质个化学成分的分析，
12、了解矿体的性质和矿体形成的主要原因。和矿体形成的主要原因。第12页，本讲稿共59页8、研究中国七星瓢虫在黄海、渤海的群聚与近期气象条件的关系。对、研究中国七星瓢虫在黄海、渤海的群聚与近期气象条件的关系。对1000个类似的鱼类样本，如何根据测量的特征如体重、身长、个类似的鱼类样本，如何根据测量的特征如体重、身长、鳍数、鳍长、头宽等，我们可以利用聚类分析方法将这类鱼分鳍数、鳍长、头宽等，我们可以利用聚类分析方法将这类鱼分成几个不同品种。成几个不同品种。9、考古学家对挖掘出来的人头盖骨的高、宽等特征来判断是男或女，、考古学家对挖掘出来的人头盖骨的高、宽等特征来判断是男或女，根据挖掘出的动物牙齿的有关
13、测试指标，判别它是属于哪一类动根据挖掘出的动物牙齿的有关测试指标，判别它是属于哪一类动物牙齿、是哪一个时代的。物牙齿、是哪一个时代的。10、在高考招生工作中，我们知道每个考生的基本情况，通过分析我们不、在高考招生工作中，我们知道每个考生的基本情况，通过分析我们不仅可以了解到学生喜欢学习的科目，还可以进一步从考生每门课程的成仅可以了解到学生喜欢学习的科目，还可以进一步从考生每门课程的成绩，分析出学生的逻辑思维能力、形象思维能力和记忆力等等对学习成绩，分析出学生的逻辑思维能力、形象思维能力和记忆力等等对学习成绩的影响。绩的影响。第13页，本讲稿共59页三、期望达到的目的三、期望达到的目的l学会分析
14、多元观测数据，对给定多元数学会分析多元观测数据，对给定多元数据能恰当选用本书所介绍的方法，结合据能恰当选用本书所介绍的方法，结合统计软件进行计算、分析。对所研究问统计软件进行计算、分析。对所研究问题作出科学评价与合理的推断。题作出科学评价与合理的推断。l清楚理解每种方法所要解决的问题，前清楚理解每种方法所要解决的问题，前提条件和局限性等。比较某些有联系方提条件和局限性等。比较某些有联系方法之间的相似处与差异。法之间的相似处与差异。第14页，本讲稿共59页四、多元统计分析的前提条件l1.多元统计分布对资料的分布有一定的要多元统计分布对资料的分布有一定的要求；求；l2.需要有足够大的样本。需要有足
15、够大的样本。为什么在统计学分析中需要有足够大的样本？为什么在统计学分析中需要有足够大的样本？为什么在统计学分析中需要有足够大的样本？为什么在统计学分析中需要有足够大的样本？第15页，本讲稿共59页例甲、乙两研究者分别例甲、乙两研究者分别例甲、乙两研究者分别例甲、乙两研究者分别 用某新药治疗用某新药治疗用某新药治疗用某新药治疗1010例和例和例和例和403403例例例例老年性气管炎患者老年性气管炎患者老年性气管炎患者老年性气管炎患者,其疗效如下表。其疗效如下表。其疗效如下表。其疗效如下表。甲 治疗结果 例 数%临床治愈 7 70 未治愈 3 30 合计 10 100乙 治疗结果 例 数%临床治愈
16、 83 20 未治愈 320 80 合计 403 100第16页，本讲稿共59页 临临床床上上感感兴兴趣趣的的问问题题是是新新药药治治疗疗老老年年性性气气管管炎炎治治愈愈率率是是多多少少,而而不不是是10和和403例例的治愈频率的治愈频率,那那么么应应用用20%，还还是是70%,以以估估计计新新药药治疗老年性气管炎治愈率呢？治疗老年性气管炎治愈率呢？第17页，本讲稿共59页l历历史史上上许许多多著著名名科科学学家家做做过过抛抛掷掷硬硬币币的试验的试验,抛掷硬币试验结果如表抛掷硬币试验结果如表 l 试验者 抛掷次数(n)正面次数(k)频率(k/n)l l De Morgan 2048 1061
17、0.518l Buffon 4,040 2,048 0.5069l Pearson 12,000 6,019 0.5016l Pearson 24,000 12,012 0.5005l 第18页，本讲稿共59页l观测例数越少，抽样误差越大，样本的观测例数越少，抽样误差越大，样本的对研究总体的代表性就小。对研究总体的代表性就小。l所以所以,统计学中需要足够多的样本数。统计学中需要足够多的样本数。第19页，本讲稿共59页1.2多元指标统计数据及其图示多元指标统计数据及其图示l目标：掌握用图形来直观表示多元数据目标：掌握用图形来直观表示多元数据 的方法的方法要求：了解多变量图示法的作图方法；要求：了
18、解多变量图示法的作图方法；利用统计软件对多元资料作图。利用统计软件对多元资料作图。第20页，本讲稿共59页l图形是直观而形象的，它可以帮人思维和图形是直观而形象的，它可以帮人思维和判断，当只有两个变量时，通常有直角坐判断，当只有两个变量时，通常有直角坐标在平面上点图，当有三个变量时，虽然标在平面上点图，当有三个变量时，虽然可以在三维坐标里点图，但已经很不方便可以在三维坐标里点图，但已经很不方便了，当变量个数大于三个时，就不能用通了，当变量个数大于三个时，就不能用通常的做法作图，多元数据图示在二世纪常的做法作图，多元数据图示在二世纪七十年代有了较大的突破，本章主要介绍七十年代有了较大的突破，本章
19、主要介绍散点图矩阵，雷达图，脸谱图等多变量图散点图矩阵，雷达图，脸谱图等多变量图示法的基本思想及作图方法。示法的基本思想及作图方法。一、多元数据图示一、多元数据图示第21页，本讲稿共59页1、散点图矩阵、散点图矩阵l定义：定义：散点图矩阵是借助两变量散点图做法，它可以看作散点图矩阵是借助两变量散点图做法，它可以看作是一个大的图形矩阵，其每一个非主对角元素的位是一个大的图形矩阵，其每一个非主对角元素的位置上是对应的行变量与列变量的散点图。置上是对应的行变量与列变量的散点图。例一：以例一：以Spss软件自带的软件自带的World95.sav资料为例，选择该数据资料为例，选择该数据如下几个变量作图：
20、如下几个变量作图：density(人口密度人口密度)，lifeexpf(女性预期寿女性预期寿命命),lifeexpm(男性预期寿命男性预期寿命),babymort(婴儿死亡率婴儿死亡率),gdp_cap(GDP是总资产的倍数是总资产的倍数),Calories(每日摄入热量每日摄入热量)第22页，本讲稿共59页第23页，本讲稿共59页2、轮廓图、轮廓图l设变量个数为，观测次数为，第次观测值设变量个数为，观测次数为，第次观测值记为记为轮廓图：轮廓图：用个平行的纵坐标代表个变量，每个用个平行的纵坐标代表个变量，每个样品在图上有个点，将它们依次链接起来成一样品在图上有个点，将它们依次链接起来成一折线，
21、此折线图称为样品的轮廓图折线，此折线图称为样品的轮廓图第24页，本讲稿共59页例二例二.考查北京、上海、天津、重庆四个直辖考查北京、上海、天津、重庆四个直辖市的人均收入情况，选取以下几个指标，市的人均收入情况，选取以下几个指标，具体数据如下表一具体数据如下表一表一表一第25页，本讲稿共59页作图步骤作图步骤Step one:作平面坐标系，横坐标取个点作平面坐标系，横坐标取个点表示个指标；表示个指标；Step two:对给定的依次观测值，在个点上对给定的依次观测值，在个点上的纵坐标和它对应的变量取值成正比；的纵坐标和它对应的变量取值成正比；Step three:连接个高度的顶点成一条折线，连接个
22、高度的顶点成一条折线，则一次观测值的轮廓为一条多角折线形。则一次观测值的轮廓为一条多角折线形。次观测值可画条折线，构成轮廓图。次观测值可画条折线，构成轮廓图。下面画出上例的轮廓图下面画出上例的轮廓图第26页，本讲稿共59页图二轮廓图图二轮廓图第27页，本讲稿共59页由轮廓图可以看出：由轮廓图可以看出：北京，上海的居民收入较高且教相似，北京，上海的居民收入较高且教相似，平均收入较高，重庆人均收入状况最差。平均收入较高，重庆人均收入状况最差。如果考查样品较多，画折线时图形中可能如果考查样品较多，画折线时图形中可能出现重复点多，不便于区分哪个样品对应出现重复点多，不便于区分哪个样品对应哪条折线，这时
23、最好多用集中颜色或长短哪条折线，这时最好多用集中颜色或长短虚线等标志来画出折线虚线等标志来画出折线第28页，本讲稿共59页3.雷达图雷达图雷达图：又称星图，蜘蛛网图。雷达图：又称星图，蜘蛛网图。作图步骤：作图步骤：lStep one:作一圆，并把圆周分为等分；作一圆，并把圆周分为等分；lStep two:连接圆心和各分点，把这条半径依次定义为连接圆心和各分点，把这条半径依次定义为各变量的坐标轴，并标以适当刻度；各变量的坐标轴，并标以适当刻度；lStep three:对给定一次观测值，把它的个分量值分对给定一次观测值，把它的个分量值分别点在相应的坐标轴上，然后连接成一个边形，这别点在相应的坐标轴
24、上，然后连接成一个边形，这个变形为元观测值的图标，次观测值可以画出个变形为元观测值的图标，次观测值可以画出个边形。个边形。第29页，本讲稿共59页分析：分析：由图三可看出北京、上海各指标都较高，对应由图三可看出北京、上海各指标都较高，对应着一个较大面积的四边形，重庆各指标最低，面积最着一个较大面积的四边形，重庆各指标最低，面积最小，另外，从图形轮廓还可以看出，北京、上海、天小，另外，从图形轮廓还可以看出，北京、上海、天天津发展比例类似，而重庆发展比例和前三个直辖天津发展比例类似，而重庆发展比例和前三个直辖市较大不同。市较大不同。第30页，本讲稿共59页注意：l对于散点图，轮廓图，雷达图，对于散
25、点图，轮廓图，雷达图，Excel软软件都提供了此三种图形绘图的功能，但件都提供了此三种图形绘图的功能，但它适合于观测数据，指标较小的情形，它适合于观测数据，指标较小的情形，这时可以把各观测数据画到一张图里，这时可以把各观测数据画到一张图里，便于对各指标进行对比，并且便于对各指标进行对比，并且Excel有很有很好的编辑功能，但是，当观测数据较多好的编辑功能，但是，当观测数据较多时，画到一张图里就不容易看出各个图时，画到一张图里就不容易看出各个图形，不利于比较，此时用形，不利于比较，此时用S-Plus 进行多进行多元数据图示。元数据图示。第31页，本讲稿共59页二、多元数据表示1、随机向量、随机向
26、量定定义义1 将将p个随机个随机变变量量的整体称的整体称为为p维维随机向量，随机向量，记为记为:表示：对一个体观测的表示：对一个体观测的p个变量，观测个变量，观测n次，可得到如下表二数据次，可得到如下表二数据第32页，本讲稿共59页表二表二序号序号变量变量 1 2 .n .第33页，本讲稿共59页l因此因此，样本资料可用矩阵语言表示为，样本资料可用矩阵语言表示为:第34页，本讲稿共59页2、分布函数与密度函数、分布函数与密度函数1）.一元统计中分布函数和密度函数一元统计中分布函数和密度函数设设X为一随机变量，称为一随机变量，称 为概率分布函数，记为为概率分布函数，记为第35页，本讲稿共59页离
27、散型：若随机变量在有限或可离散型：若随机变量在有限或可列个列个 值上取值，记值上取值，记则称则称X为离散型随机变量，并称为离散型随机变量，并称为为X的概率分布的概率分布连续型：设连续型：设 ，若，若存在一非负函数存在一非负函数 ，使得，使得对一切实数对一切实数 有：有：则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，称称 为为X的分布密度函数，的分布密度函数，简称密度函数。简称密度函数。其满足的条件为：其满足的条件为：（1）（2）第36页，本讲稿共59页2.多元统计中分布函数与密度函数多元统计中分布函数与密度函数第37页，本讲稿共59页第38页，本讲稿共59页三三.随机向量的数字特征随机向量的数
28、字特征1.期望期望：第39页，本讲稿共59页均值向量的性质均值向量的性质：其中其中X，Y为随机向量，为随机向量，A，B为常数矩阵为常数矩阵第40页，本讲稿共59页2.随机向量随机向量X的自协方差矩阵的自协方差矩阵第41页，本讲稿共59页3.随机向量随机向量x和和y的协方差矩阵的协方差矩阵 若若 则称不相关协方差矩阵，其性质为则称不相关协方差矩阵，其性质为第42页，本讲稿共59页l多元统计分析中的许多理论和方法都是多元统计分析中的许多理论和方法都是建立在正态分布的基础上，现实世界中建立在正态分布的基础上，现实世界中的许多实际问题的解决办法也是以服从的许多实际问题的解决办法也是以服从正态分布或近似
29、正态分布为前提的。因正态分布或近似正态分布为前提的。因此多元正态分布是我们必须要掌握的内此多元正态分布是我们必须要掌握的内容容1.3多元正态分布多元正态分布第43页，本讲稿共59页一、一、多元正态分布定义多元正态分布定义第44页，本讲稿共59页二元正态分布第45页，本讲稿共59页二、二、多元正态分布的性质多元正态分布的性质第46页，本讲稿共59页第47页，本讲稿共59页例若第48页，本讲稿共59页 1.4统计距离和马氏距离统计距离和马氏距离一一.统计距离统计距离(p6)第49页，本讲稿共59页第50页，本讲稿共59页二.马氏距离第51页，本讲稿共59页 1.5 多元统计中常用的分布多元统计中常
30、用的分布(p17)l统计分析的目的，概括起来讲就是要了解总体分布的特征，统计分析的目的，概括起来讲就是要了解总体分布的特征，统计分析的出发点或依据是样本，因为信息是分散到样本统计分析的出发点或依据是样本，因为信息是分散到样本的每个分量上的，因此直接从样本出发来推断总体是不方的每个分量上的，因此直接从样本出发来推断总体是不方便的，为此需要根据要解决的问题对样本进行加工，把所便的，为此需要根据要解决的问题对样本进行加工，把所关心的总体问题浓缩到一个不包括未知参数的样本函数中，关心的总体问题浓缩到一个不包括未知参数的样本函数中，这个样本函数称为统计量。如样本均值这个样本函数称为统计量。如样本均值X，
31、样本离差阵，样本离差阵 等都是统计量。统计量的分布为抽样分布。等都是统计量。统计量的分布为抽样分布。l在一元统计中，常用的分布有在一元统计中，常用的分布有 ，在多元统计中，在多元统计中，他们分别发展为他们分别发展为Wishart，和，和Wilks分布分布第52页，本讲稿共59页一一、l在一元统计中，若在一元统计中，若 均服从标准正均服从标准正态分布态分布 ，且相互独立，则称，且相互独立，则称所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为n的中心卡方分布，记为的中心卡方分布，记为 ，其密度函数为其密度函数为第53页，本讲稿共59页卡方分布的均值和方差分别为卡方分布的均值和方差分别为 在多元统计中，
32、在多元统计中，分布发展为分布发展为Wishart 分布分布此分布是此分布是Wishart为研究样本离差阵为研究样本离差阵 的分的分布于布于1928年推导出来的年推导出来的第54页，本讲稿共59页 分布分布 若若 独立且均服从独立且均服从p维中心正维中心正态化分布态化分布 ，则随机矩阵则随机矩阵 所服从的分布称为自由度为所服从的分布称为自由度为n的的p维中心维中心Wishart分布，记为分布，记为 其中其中第55页，本讲稿共59页第56页，本讲稿共59页在一元统计中，在一元统计中，相互独立，则称相互独立，则称服从自由度为的分布，记，如果将服从自由度为的分布，记，如果将t平平方，即方，即则，即分布的平方服从第一自则，即分布的平方服从第一自由度为由度为1第二自由度为的中心分布。第二自由度为的中心分布。分布与分布第57页，本讲稿共59页在多元统计分析中，可仿照一元统计中在多元统计分析中，可仿照一元统计中 的的来定义分布：来定义分布：若若独立，则随机变量独立，则随机变量所服从的分布为第一自由度为，第二自由度所服从的分布为第一自由度为，第二自由度为的中心分布。记为为的中心分布。记为第58页，本讲稿共59页l中心分布可化为中心分布，其关系中心分布可化为中心分布，其关系为为l显然，当时，有显然，当时，有第59页，本讲稿共59页