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1、5 向量空间 1.向量空间 子空间,向量组生成的空间,2. 向量空间的基,维数 坐标,坐标变换公式上页下页铃结束返回首页1. 向量空间v向量空间的定义 设V为n维向量的集合 如果集合V非空 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭 那么就称集合V为向量空间 所谓封闭 是指在集合V中可以进行加法及乘数两种运算 具体地说就是 若aV bV 则abV 若aV R 则aV 上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页补充例题 例1 3维向量的全体R3 就是一个向量空间 v举例 这是因为 任意两个3维向量之和仍然是3维向量 数乘3维向量也仍然是3维向量 它们都属于R3 我们可以用有向线段形象地表示3维向量 从
2、而向量空间R3可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体 由于以原点为起点的有向线段与其终点一一对应 因此R3也可看作取定坐标原点的点空间 类似地 n维向量的全体Rn 也是一个向量空间 不过当n3时 它没有直观的几何意义 下页上页下页铃结束返回首页补充例题 例2 集合Vx| x(0 x2 xn)T x2 xnR是一个向量空间 例1 3维向量的全体R3 就是一个向量空间 v举例 这是因为 若a(0 a2 an)T V b(0 b2 bn)T 则 ab(0 a2b2 anbn)TV a(0 a2 an)TV下页上页下页铃结束返回首页补充例题 例2 集合Vx| x(0 x2 xn)T x2 xnR
3、是一个向量空间 例1 3维向量的全体R3 就是一个向量空间 v举例 例3 集合Vx| x(1 x2 xn)T x2 xnR不是向量空间 这是因为 若a(1 a2 an)TV 则2a(2 2a2 2an)T V下页上页下页铃结束返回首页补充例题v举例 例4 齐次线性方程组的解集Sx| Ax0是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间) 这是因为解集S对向量的线性运算封闭 下页上页下页铃结束返回首页补充例题v举例 例4 齐次线性方程组的解集Sx| Ax0是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间) 例5 非齐次线性方程组的解集Sx| Axb不是向量空间 这是因为 当S为空集时 S不是向量空间 当S
4、非空间 若 S 则A(2 )2bb 知2 S 下页上页下页铃结束返回首页补充例题v举例 例6 设a b为两个已知的n维向量 集合Lx| xab R是一个向量空间(称为由向量a b所生成的向量空间) 这是因为 若x11a1b x22a2b 则 x1x2(12)a(12)bL kx1(k1)a(k1)bL下页上页下页铃结束返回首页补充例题 一般地 由向量组a1 a2 am所生成的向量空间为Lx| x1a12a2 mam 1 2 mRv举例 例6 设a b为两个已知的n维向量 集合Lx| xab R是一个向量空间(称为由向量a b所生成的向量空间)下页上页下页铃结束返回首页补充例题 例7 设向量组a
5、1 a2 am与向量组b1 b2 bs等价 记 L1x| x1a12a2 mam 1 2 mR L2x| x1b12b2 sbs 1 2 sR 试证L1L2 设xL1 则x可由a1 a2 am线性表示 因为a1 a2 am可由b1 b2 bs线性表示 故x可由b1 b2 bs线性表示 所以xL2 这就是说若xL1 则xL2 因此L1L2 类似地可证：若xL2 则xL1 因此L2L1 因为L1L2 L2L1 所以L1L2 证 下页上页下页铃结束返回首页补充例题v子空间 设有向量空间V1及V2 若V1V2 就称V1是V2的子空间 例如 任何由n维向量所组成的向量空间V 总有VRn 所以这样的向量空
6、间总是Rn的子空间 下页上页下页铃结束返回首页补充例题2.向量空间的基v向量空间基、维数 设V为向量空间 如果r个向量a1 a2 arV 且满足 (1) a1 a2 ar线性无关 (2)V中任一向量都可由a1 a2 ar线性表示 那么 向量组a1 a2 ar就称为向量空间V的一个基 r称为向量空间V的维数 并称V为r维向量空间 如果向量空间V没有基 那么V的维数为0 0维向量空间只含一个向量0 若把向量空间V看作向量组 则向量空间V的基就是向量组的最大无关组 向量空间V的维数就是向量组的秩 下页上页下页铃结束返回首页补充例题v向量空间的基举例 向量空间Rn是n维的 其中向量组 e1(1 0 0
7、 0)T e2(0 1 0 0)T en(0 0 0 1)T 是Rn的一个基 向量空间Vx|x(0 x2 xn)T x2 xnR是n1维的 其中向量组 e2(0 1 0 0)T en(0 0 0 1)T 是V的一个基 向量空间Lx| x1a12a2 mam 1 2 mR 是由向量组a1 a2 am所生成的 向量组a1 a2 am的最大无关组就是L的一个基 向量组a1 a2 am的秩就是L的维数 下页上页下页铃结束返回首页补充例题v向量的坐标 如果在向量空间V中取定一个基a1 a2 ar 那么V中任一向量x可唯一地表示为x1a12a2 rar数组1 2 r称为向量x在基a1 a2 ar中的坐标
8、在向量空间Rn中以单位坐标向量组e1 e2 en为基 则以向量x(x1 x2 xn)T可表示为xx1e1x2e2 xnen可见向量在基e1 e2 en中的坐标就是该向量的分量 向量组e1 e2 en叫做Rn中的自然基 下页上页下页铃结束返回首页补充例题 解 例8 设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一个基 并求b1 b2在这个基中的坐标 因为 所以R(a1 a2 a3)3 向量组a1 a2 a3线性无关 从而a1 a2 a3是R3的一个基 下页上页下页铃结束返回首页补充例题R(a1
9、a2 a3)3 所以a1 a2 a3是R3的一个基 例8 设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一个基 并求b1 b2在这个基中的坐标 解 设b1x11a1x21a2x31a3 b2x12a1x22a2x32a3 即 因为 所以b1 b2在基a1 a2 a3中的坐标依次为 下页 因为 上页下页铃结束返回首页补充例题 例9 在R3中取定一个基a1 a2 a3 再取一个新基b1 b2 b3 设A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用a1 a2 a3表示b1 b2 b3的表示式(
10、基变换公式) 并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式) 即基变换公式为 (b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A1B 矩阵PA1B称为从旧基到新基的过渡矩阵 解 由(a1 a2 a3)(e1 e2 e3)A 得 (e1 e2 e3)(a1 a2 a3)A1故 (b1 b2 b3)(e1 e2 e3)B (a1 a2 a3)A1B 结束上页下页铃结束返回首页补充例题 例9 在R3中取定一个基a1 a2 a3 再取一个新基b1 b2 b3 设A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用a1 a2 a3表示b1 b2 b3的表示式(基变换公式) 并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式) 解 基变换公式为(b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A1B 设向量x在旧基和新基中的坐标分别为y1 y2 y3和z1 z2 z3这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式 下页