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1、限时作业14导数、导数的计算一、选择题1.已知函数f(x)=+1,则的值为().A.-B.C.D.02.已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为().A.3B.2C.1D.3.已知奇函数y=f(x)在区间(-,0上的解析式为f(x)=x2+x,则切点横坐标为1的切线方程是().A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.3x-y-1=0D.3x-y+1=04.(2011湖南高考,文7)曲线y=-在点M(,0)处的切线的斜率为().A.-B.C.-D.5.已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f(1)的值是().A.B.1C.D
2、.26.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为().A.B.-1,0C.0,1D.二、填空题7.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f(-1)=4,则a的值为.8.(2011山东菏泽模拟)若函数f(x)=x3-f(-1)x2+x+5,则f(1)=.9.若为曲线y=x3+3x2+ax+2的切线的倾斜角,且所有组成的集合为,则实数a的值为.三、解答题10.求下列函数的导数.(1)y=xtan x;(2)y=+;(3)y=;(4)y=(x+1)(x+2)(x+3).11.已知曲线y=x3+.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(
3、2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.12.(2010湖北高考,文21)设函数f(x)=x3-x2+bx+c,其中a0.曲线y=f(x)在点P(0,f(0)处的切线方程为y=1.(1)确定b,c的值;(2)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)及(x2,f(x2)处的切线都过点(0,2),证明:当x1x2时,f(x1)f(x2);(3)若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,求a的取值范围.#参考答案一、选择题1.A2.A3.B4.B5.D6.A解析:设点P的横坐标是m,则曲线在点P处的切线的斜率等于y|x=m=2m+2,由于该切线的倾斜角的取值范围为,因此有02m+21,由此解
4、得-1m-.二、填空题7.8.69.4解析:设切线的斜率为k,则k=y=3x2+6x+a,又k=tan ,k1,+).又k=3(x+1)2+a-3,当x=-1时,k取最小值为a-3=1.a=4.三、解答题10.解:(1)y=(xtan x)=xtan x+x(tan x)=tan x+x=tan x+x=tan x+.(2)y=+=(x-1)+(2x-2)+(x-3)=-x-2-4x-3-3x-4=-.(3)y=.(4)y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3)=3x2+12x+11.11.解:y=x3+
5、,则y=x2.(1)由题意可知点P(2,4)为切点,y|x=2=22=4,所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)由题意可知点P(2,4)不一定为切点,故设切点为,y=,曲线过点P(2,4)的切线方程为y-=(x-x0),所以4-=(2-x0),-3+4=0(+1)-3(-1)=0(x0+1)(-4x0+4)=0.解得x0=-1或x0=2,即切点为(-1,1)或(2,4).所以曲线过点P(2,4)的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.12.解:(1)由f(x)=x3-x2+bx+c得:f(0)=c,f(x)=x2-ax+b,f(0)=b.又
6、由曲线y=f(x)在点P(0,f(0)处的切线方程为y=1,得f(0)=1,f(0)=0.故b=0,c=1.(2)证明:f(x)=x3-x2+1,f(x)=x2-ax.由于点(t,f(t)处的切线方程为y-f(t)=f(t)(x-t),而点(0,2)在切线上,所以2-f(t)=f(t)(-t),化简得t3-t2+1=0,即t满足的方程为t3-t2+1=0.下面用反证法证明.假设f(x1)=f(x2),由于曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)及(x2,f(x2)处的切线都过点(0,2),则下列等式成立:由得x1+x2=a.由-得+x1x2+=a2.又+x1x2+=(x1+x2)2-x1x2=a2-x1(a-x1)=-ax1+a2=+a2a2,故由得x1=,此时x2=与x1x2矛盾.所以f(x1)f(x2).(3)由(2)知,过点(0,2)可作y=f(x)的三条切线,等价于方程2-f(t)=f(t)(0-t)有三个相异的实根,即等价于方程t3-t2+1=0有三个相异的实根.设g(t)=t3-t2+1,则g(t)=2t2-at=2t(t-).由于a0,故有t(-,0)0g(t)+0-0+g(t)极大值1极小值1-由g(t)的单调性知:要使g(t)=0有三个相异的实根,当且仅当1-2.a的取值范围是(2,+).