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1、九年级上册第三章用3圆内接四边形的性质与判定一、基础知识回顾1在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的相等，所对的 也相等。2. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条 、两条 、两个 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 。(1) 半圆(或直径)所对的圆周角是 ; 90的圆周角所对的弦是 .(2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ; 相等的圆周角所对的弧也 .二、知识延伸拓展如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。例如，图1中，四边形ABCD是O的内接四边形；O是四边形ABCD的外
2、接圆。圆内接四边形有以下性质：图1E图2性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。已知：如图2，四边形ABCD内接于O，DCE是四边形ABCD的外角。BADBCDA所对的弧是BCDBCD所对的弧是BADmmm求证：（1）A+BCD=180，B+D=180； （2）DCE=A。证明：（1） ， ， 和 的度数和是360 同理，B+D=180。 (2) DCE是四边形ABCD的外角，DCE+BCD=180由（1）得A+BCD=180DCE=A。反过来，如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上吗？ 已知：四边形ABCD中，B +D=180求证：A,B
3、,C,D在同一圆周上。分析：根据不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨设A、B、C三点确定O，则点D与O的位置关系有三种：在圆外、在圆上、在圆内，如果能排除点D在圆外和在圆内，则点D必在圆上。证明：(1)如果点D在O外部（如图3）。则AEC+B=180因B+D=180得 D=AEC与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。(2)如果点D在O内部（如图4）。则B+E=180B+ADC=180E=ADC同样矛盾。点D不可能在O内。综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）. 推论 如果四边形的一个外角等于
4、它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆. 三、精典例题点拨例1 已知：如图5，AD是ABC的外角EAC的平分线，与ABC的外接圆交于点D。求证：DB=DC。证明： AD是EAC的平分线，DAC=DAE。 四边形ABCD内接于圆，DCB=DAE 圆周角DBC和DAC所对的弧都是CD，DBC=DAC DBC=DCB DB=DC。例2 如图6，O1与O2都经过A,B两点，经过点A的直线CD与O1交于点C,与O2 交于点D，经过点B的直线EF与O1交于点E,与O2交与点F.O2O1求证：CE/DF.证明：连接AB四边形ABEC是O1的内接四边形。 BAD=E. 四边形ADFB是O2的内接四边形。 BAD
5、+F=180 E+F=180 CE/DF . 例3 如图7，CF是ABC的AB边上的高，FPBC,FQAC. 求证：A,B,P,Q四点共圆.证明：连接PQ。在四边形QFPC中，FPBC FQAC， FQA=FPC=90.Q,F,P,C四点共圆。 QFC=QPC.又CFAB QFC与QFA互余.而A与QFA也互余. A=QFC.A=QPC. A,B,P,Q四点共圆。想一想1.圆内接平行四边形一定是 形；2.圆内接梯形一定是 形；3.圆内接菱形一定是 形。四、随堂练习设计1.在圆内接四边形ABCD中，已知A=50 ，D -B=40 ，则B= ，C= ，D= 。2.如图8，四边形ABCD为O的内接四
6、边形，已知BOD=100 ，则BAD= ，BCD= 。 3.如图9，以等腰ABC的底边BC为直径的O分别交两腰AB，AC与点E，D，连结DE。求证：DE/BC。4.任意画一个矩形，再画出它的外接圆。五、课后作业巩固1.若圆内接四边形ABCD中，A，B，C的度数的比是236，则该四边形内角中最大度数是（ ） A.1200 B.1350 C.900 D.4502. 如图10，四边形内接于O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（ ）A2对B4对C6对D8对 图11图103. 如图11，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别是切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若ACB=120，则AP
7、B=_.4圆内接四边形ABCD中，则 .图125如图12，四边形ABCD内接于圆，DCE=50，则BOD=_图136如图13，AB为半圆O的直径，C、D为半圆上的两点，则 .7如图14，在ABC中，AEF=45，BEAC于E，CFAB于F，EFC=20，则ABE=_图15图148. 如图15, O的内接四边形BCED, 延长ED, CB交于点A, 若BDAE, AB=4,BC=2, AD=3，则DE=_;CE=_.9.如图16，已知ABC中，AB=AC，D是ABC外接圆劣弧上的点(不与A,C重合)，延长BD到E.(1)求证:AD的延长线平分CDE;(2)若BAC=30，ABC中，BC边上的高为2+，求ABC外接圆的面积. 图1610. 已知：如图17， 四边形ABCD中，ABC=ADC=90，DAB=60，BD=6cm求：对角线AC的长图17六、本课时参考答案随堂练习1.70,130,110; 2. 50,130; 3. 四边形BCDE内接于O AED=C 又B=C AED=B DE/BC 。4. 略。课后作业1.B 2.B 3.60 4.90 5. 100 6.110 7.25 8. 5，9. （1）EDF=ADB=ACB =ABC=CDF （等腰三角形兩底角相等） （2）BOC=2BAC=600 R=BC R+R=2+ R=2 S=4