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1、1在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MNAB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作OPBE分别交AB，CD于P，Q探究：（1）如图，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE，MP，NQ的长度， 猜测AE与MP+NQ之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；探究：（2）如图，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论；再探究：（3）如图，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论2如图：MON=90，在MON的内部有一
2、个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的任意一点，在MON的内部作正方形AB1C1D1（1）连续D1D，求证：D1DA=90；（2）连接CC1，猜一猜，C1CN的度数是多少？并证明你的结论；（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断3.已知如图，MON=90，点A是射线ON上的一个定点，OA=4，点B是射线OM上的一个动点，分别以OA、AB为边在MON的内部作等边三角形AOP和ABQ，连接PQ（1）求APQ的度数（2）当点B在射线OM上移动时，四边形AOPQ的形状也随
3、之发生变化它能变化成一个平行四边形吗？若能，确定点B的位置；若不能，说明理由（3）若直线AP与BQ相交于点C，设ABQ的面积为S1，四边形AOBP面积为S2，当S1=2S2时，判定BQ与OB的位置关系（可利用备用图）4.已知任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q.(1)若四边形ABCD如图，判断下列结论是否正确(正确的在括号里填“”，错误的在括号里填“”).甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形；() 乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形；() (2)请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断. (3)若四边形A
4、BCD如图，请你判断(1)中的两个结论是否成立？ 5四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PAPC，则点P为四边形ABCD的准等距点(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点 (2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PAPC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且CDF=CBE，CE=CF求证：点P是四边形ABCD的准等距点(
5、4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)6已知，如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BC=5cm，CD=6cm，DCB=60，ABC=90度等边三角形MPN（N为不动点）的边长为acm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线l上，NC=8cm将直角梯形ABCD向左翻折180，翻折一次得图形，翻折二次得图形，如此翻折下去（1）将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？（2）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时
6、等边三角形的边长a至少应为多少？（3）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？7问题探究：（1）请你在图中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）如图点M是矩形ABCD内一点，请你在图中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分问题解决：（3）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DCOB，OB=6，CD=BC=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处为了方便驻区单位准备过点P修一
7、条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由8定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点（1）如图2，AFD与DEC的角平分线FP，EP相交于点P求证：点P是四边形ABCD的准内点（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”任意凸四边形一定存在准内点（ ）任意凸四边形一定只有一个准内点（
8、 ）若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD（ ）9（1）探究归纳：如图1，已知ABC与ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由（2）结论应用：如图2，点M，N在反比例函数y= (k0，x0)的图象上，过点M作MEy轴，过点N作NFx轴，垂足分别为E，F证明：MNEF如图3，点M，N在反比例函数y=的图象上，且M（2，m），N是第三象限内反比例函数y=的图象上一动点过点M作MEy轴，过点N作EFx轴，垂足分别为E，F说明MNEF并求当四边形MEFN的面积为12时点N的坐标10已知正方形ABCD（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点
9、O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE=GH；（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n与AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明11如图所示，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原
10、点，点A在x轴上，点C在y轴上，且OA=15，OC=9，在边AB上选取一点D，将AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E（1）求DE所在直线的解析式；（2）设点P在x轴上，以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P有几个，并求出所有满足条件的点P的坐标；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNED的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由12用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABE
11、F的两边BE，EF相交于点G，H时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由13阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图所示，矩形ABEF即为ABC的“友好矩形”，显然，当ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；（2）如图，若AB
12、C为直角三角形，且C=90，在图中画出ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；（3）若ABC是锐角三角形，且BCACAB，在图中画出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明14已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求GFC的面积；（2）如图2，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求GFC的面积（用含a的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，GFC的面积能否等于2？请说明理由15已知：如图，在RtACB中，C=90，AC=4cm，B
13、C=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ若设运动的时间为t（s）（0t2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC？（2）设AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）如图，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，并且存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形，求此时AQP的面积16如图1，在ABO中，OAB=90，AOB=30，OB=8以OB为一边，在OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E（1）求点B的坐标；（2）求证：四边形ABCE是平行四边
14、形；（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长17 正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点F如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PEPB且PE交CD于点E求证：DF=EF；写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PEPB且PE交直线CD于点E请完成图3并判断（1）中的结论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）18如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都
15、经过点M（2，），且P（，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值图12图11 19如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列
16、图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图46），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值20如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若OA、OC的长满足|OA-2|+(OC-2 )2=0（1）求B、C两点的坐标；（2）把ABC沿AC对折，点B落在点B处，线段AB与x轴交于点D，求直线BB的解析式；（3）在直线BB上是否存在点P，使ADP为直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由