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1、数学分析课程教学大纲一、数学分析课程说明（一）课程代码：（二）课程英文名称：Mathematical Analysis（三）开课对象：数学专业本科学生（四）课程性质：数学分析是数学专业最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学系本科一、二年级学生的必修课。本课程总学时为324学时，其中讲授课与习题课课时之比约为2：1，共分四学期完成，分别为数学分析（ I ），数学分析（ II ），数学分析（ III ）, 数学分析（ ）。（五）教学目的：本课程的教学目的是使学生获得极限论，一元函数微分学，无穷级数与多
2、元函数微积分学等方面的系统知识,为进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程打下坚实的基础。（六）教学内容：本课主要内容分为三个部分：（1）一元微积分（包括极限理论和实数完备性的一系列等价命题）；（2）多元微积分；（3）无穷级数理论（包括广义积分和含参变数积分理论）。其中前两部分主要讲述微积分的基本概念、方法和应用，包括一切相关数学原理的严格证明；第（3）部分讲述线面积分和极限理论在无穷级数、含参数广义积分理论中的深入应用。极限和实数完备性理论、定积分理论以及极限理论的各种应用对学生抽象思维和逻辑推理的训练，对分析数学中必要的方法技巧的掌握都是至关重要的。（
3、七）学时数、学分数及学时数具体分配教学时数： 90 学时学分数： 5 学分教学时数具体分配：教 学 内 容讲授实验/实践合 计六、微分中值定理及应用(二) 1212七、实数的完备性 1212八、不定积分1414九、定积分1818十、定积分的应用1212十一、反常积分1010十二、数项级数1212 合 计9090（八）教学方式以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占20% ，期末成绩占80% 。二、讲授大纲
4、与各章的基本要求第六章 微分中值定理及其应用（二）教学要点:使学生掌握费马定理、洛尔定理、拉格朗日中值及柯西中值定理及其应用，能判断函数的单调性、凸凹性、极值点及拐点，会作函数的图象。教学时数:12学时 教学内容:第三节 泰勒公式（4学时）一、带有皮亚诺型余项的泰勒公式二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式三、带有皮亚诺型余项的马克劳林公式第四节 函数的极值与最值（2学时）一、极值判别的充分条件二、最大值与最小值第五节 函数的凸性与拐点（3学时）一、凸性的定义及判别 二、拐点的定义及判别第六节 函数图象的讨论（3学时）一、函数在各区间上性质的确定二、图象的描绘考核要求：1、带有皮亚诺型余项的泰勒公式
5、, 带有拉格朗日型余项的泰勒公式(应用)2、带有皮亚诺型余项的马克劳林公式, 带有拉格朗日型余项的马克劳林公式(应用)3、函数的极值判别的充分条件(应用)4、最大值与最小值(应用)5、凸性的定义及判别(识记)6、拐点的定义及判别(识记)7、函数在各区间上性质的确定(识记)8、图象的描绘(应用)第七章 实数的完备性教学要点:使学生掌握实数的连续性定理，理解连续性定理的等价性，掌握连续性定理等价性证明的方法及连续性定理的应用。教学时数:12学时 教学内容:实数完备性的基本定理第一节 实数集完备性的基本定理（6学时）一、区间套定理与柯西收敛准则二、聚点定理与有限覆盖定理第二节 闭区间上连续函数性质的
6、证明（6学时）一、有界性定理和最值定理的证明二、一致连续性定理的证明考核要求：1、叙述区间套定义(识记)2、叙述聚点的定义及聚点的等价定义(识记)3、闭区间套定理的条件和结论证明及证明(识记)4、Weierstrass聚点原理的条件和结论(识记)5、应用闭区间套定理证明聚点原理(识记)7、应用Chauchy收敛准则证明聚点原理(识记)8、应用聚点原理证明Chauchy准则(识记)9、证明致密性定理(识记)10、叙述一个集合的覆盖定义(识记)11、应用闭区间套定理证明有限覆盖定理(识记)12、应用聚点原理证明有限覆盖定理(识记)13、研究关于实数的几个定理的等价性(应用)14、证明闭区间上的连续
7、函数的有界性，几何解释该定理的证明(识记)15、证明闭区间上的连续函数的最大最小值定理，几何解释该定理的证明(识记)16、证明闭区间上的连续函数的介值定理，几何解释该定理的证明(识记)17、证明闭区间上的连续函数的一致连续性，几何解释该定理的证明(识记)第八章 不定积分教学要点:使学生掌握原函数的概念，掌握不定积分的基本公式，掌握换元法和分部积分法，能熟练地计算不定积分。教学时数:14学时 教学内容:第一节 不定积分概念与基本积分公式（4学时）一、原函数与不定积分二、基本积分表第二节 换元积分法与分部积分法（5学时）一、换元积分法二、分部积分法第三节 有理函数和简单无理函数的不定积分（5学时）
8、一、有理函数的不定积分二、三角函数有理式的不定积分三、某些简单无理函数的不定积分考核要求：1、原函数的概念(识记)2、不定积分的概念(识记)3、运用凑微分法计算不定积分(应用)4、几个基本积分变换的应用(应用)5、分部积分法的应用(应用)6、有理函数的不定积分计算的方法(应用)7、综合运用上述方法求函数的不定积分(应用)第九章 定积分教学要点:使学生掌握定积分的概念和性质，掌握可积准则及三类可积函数，掌握牛顿莱布尼兹公式，并能熟练地计算定积分。教学时数:18学时 教学内容:第一节 定积分概念（2学时）一、定积分的定义二、定积分的几何意义第二节 可积条件（6学时）一、可积的必要条件二、可积的充要
9、条件三、可积函数类第三节 定积分的性质（4学时）一、定积分的基本性质二、积分中值定理第四节 微分学基本定理（4学时）一、变上限积分与原函数的存在性定理二、牛顿一莱布尼兹公式三、换元法与分部积分法考核要求：1、理解曲边梯形的面积计算这实际背景(领会)2、定积分的定义(识记)3、几何上说明定积分是一个和式的极限的意义(领会)4、计算一个函数的和式的极限(应用)5、定积分存在的达布方法(应用)6、定积分存在的充要条件的几何意义(应用)7、可积函数的类型(应用)8、从Riemann函数的可积性理解定积分存在的第二充分必要条件(应用)9、定积分性质(应用)10、牛顿莱布尼茨公式(应用)11、定积分计算的
10、各种技巧(应用) 第十章 定积分的应用教学要点:使学生掌握定积分在几何上的某些应用，能求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。教学时数:12学时 教学内容:第一节 平面图形的面积（3学时）一、曲线是直角坐标方程时图形的面积公式二、曲线是极坐标方程时图形的面积公式第二节 由平行截面积求体积（3学时）一、由截面积求体积的一般公式二、旋转体体积公式第三节 平面曲线的弧长（3学时）一、弧长的定义二、弧长公式第四节 旋转曲面的面积（3学时）一、微元法二、旋转曲面的面积公式考核要求：1、平面图形的面积(应用)2、曲线弧长(应用)3、体积和旋转曲面的面积(应用)4、在物理中的应用(应用)第十一章 反常
11、积分教学要点:使学生掌握反常积分收敛和发散的概念，能判别反常积分的敛散性，能计算收敛的反常积分。教学时数: 10学时 教学内容:无穷积分和瑕积分收敛的判别法第一节 反常积分的概念（2学时）一、无穷积分的概念二、瑕积分的概念第二节 无穷积分的性质与收敛判别法（4学时）一、无穷积分的性质二、比较判别法，狄里克雷判别法，阿贝尔判别法第三节 瑕积分的性质与收敛判别法（4学时）一、瑕积分的性质二、收敛判别法考核要求：1、无穷积分的概念(识记)2、瑕积分的概念(识记)3、无穷积分的性质(识记)4、无穷积分的比较判别法，狄里克雷判别法，阿贝尔判别法(应用)5、瑕积分的性质(识记)6、瑕积分的收敛判别法(应用
12、) 第十二章 数项级数教学要点:使学生掌握数项级数收敛发散的概念，掌握级数收敛的判别方法，能判别常见级数的敛散性。教学时数:14学时 教学内容:第一节 级数的收敛性（4学时）一、数项级数收敛的概念二、柯西收敛准则第二节 正项级数（5学时）一、正项级数收敛性的一般判别原则二、比式判别法和根式判别法三、积分判别法第三节 一般项级数（5学时）一、交错级数二、绝对收敛和条件收敛三、阿贝尔判别法和狄里克雷判别法考核要求：1、级数收敛和级数发散的定义(识记)2、级数收敛与数列的收敛做比较(应用)3、项级数收敛的比较判别法(识记)4、Cauchy判别法和比值判别法中的基本级数(应用)5、正确运用上述判别法判
13、别一个正项级数的收敛和发散(应用)6、绝对收敛和条件收敛(识记)7、Leibnizi判别法(应用)8、Abel和Dirichlet判别法于一般项级数的收敛判别(应用)三、推荐教材和参考书目1、数学分析，华东师大数学系编，第三版,高等教育出版社,2001。2、数学分析刘玉琏、傅沛仁编，第三版,高等教育出版社,1994。3、数学分析陈纪修编，第二版,高等教育出版社,20044、数学分析周民强编，第二版,上海科技出版社,2003。5、数学分析中典型的问题及方法裴文礼著，高等教育出版社1989。6、数学分析习题集题解,费定晖,第二版,山东科学技术出版社,20017、数学分析的方法与题解赵显曾编，第一版,陕西师大出版社,20058、数学分析习题及其解答邹应编，第一版,武汉大学出版社,20029、Problems and Theorems in Analysis (Vol.1) ,Polya.G.Szego, Springer-Verlang, 1972.10、Problems and Propositions in Analysis,Gabriel. Klambauer, Printed in the United States of America ,1979.