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1、高考真题分类汇编：数列一、选择题 1（2012重庆）在等差数列中，则的前5项和=( ) A7 B. 15 C. 20 D. 252（2012浙江）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( )A若d0，则数列有最大项B若数列有最大项，则d0 )的等比数列的前n项和为Sn若10（2012四川）记 x 为不超过实数x的最大整数，例如，设a为正整数，数列满足现有下列命题：当a=5时，数列的前3项依次为5，3，2；对数列都存在正整数k，当时总有当时，对某个正整数k，若则其中的真命题有_（写出所有真命题的编号）11(2012全国)数列满足则的前60项和为_12(2012辽宁)已知等比数列为递
2、增数列，且则数列的通项公式13.（2012江西）设数列都是等差数列，若则14（理科）（2012重庆）15.（理科）（2012上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为则16. (2012福建)数列的通项公式前n项和为则三、解答题17.（2012湖北）已知等差数列前三项的和为3，前三项的积为8(I)求等差数列的通项公式；()若成等比数列，求数列的前n项和18已知数列的前n项和的最大值为8(1)确定常数求(2)求数列的前项和19(2012四川)已知数列的前项和为且对一切正整数都成立(I)求的值；(II)设数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值20(2012陕西
3、)设的公比不为1的等比数列，其前项和为且成等差数列，(1)求数列的公比：(2)证明：对任意成等差数列21.（2012广东）设数列的前项和为，满足成等差数列(1)求的值；(2)求数列的通项公式； (3)证明：对一切正整数，有22.（2012天津）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，且(I)求数列的通项公式；(II)记证明；23.（2012江苏）已知各项为正数的两个数列和满足：.（1）设求证：数列是等差数列；（2）设且是等比数列，求和的值.24.（2012重庆）设数列的前n项和满足，其中（1）求证：是首项为1的等比数列；（2）若，求证：并给出等号成立的充要条件.25.（理科）（2012全国）函数
4、定义数列如下：是过两点P（4，5）Qn ()的直线PQn与x轴交点的横坐标。（1）证明：（2）求数列的通项公式.26（理科）（2012湖南）已知数列的各项均为正数，记(I)若且对任意三个数组成等差数列，求数列的通项公式； (II)证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意三个数组成公比为的等比数列参考答案一、选择题 1（2012重庆）在等差数列中，则的前5项和=( ) A7 B. 15 C. 20 D. 25【答案】B【解析】因为所以所以数列的前5项和选B2（2012浙江）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( )A若d0，则数列有最大项B若数列有最大项，则d0 )的
5、等比数列的前n项和为Sn若【答案】【解析】将两个式子全部转化成用表示的式子即两式作差得：即：解之得：或（舍去）10（2012四川）记 x 为不超过实数x的最大整数，例如，设a为正整数，数列满足现有下列命题：当a=5时，数列的前3项依次为5，3，2；对数列都存在正整数k，当时总有当时，对某个正整数k，若则其中的真命题有_（写出所有真命题的编号）【答案】【解析】当时，故正确；同样验证可得正确，错误.11(2012全国)数列满足则的前60项和为_【答案】1830【解析】由得，即也有两式相加得设为整数，则于是12(2012辽宁)已知等比数列为递增数列，且则数列的通项公式【答案】【解析】解得或（舍去），
6、13.（2012江西）设数列都是等差数列，若则【答案】35【解析】设数列的公差分别为则由得即所以所以14（理科）（2012重庆）【答案】【解析】15.（理科）（2012上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为则【答案】【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，16. (2012福建)数列的通项公式前n项和为则【答案】3018【解析】因为函数的周期是4，所以数列的每相邻四项之和是一个常数6，所以三、解答题17.（2012湖北）已知等差数列前三项的和为3，前三项的积为8(I)求等差数列的通项公式；()若成等比数列，求数列的前n项和解：(I)
7、设等差数列的公差为则由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得或故或() 当时，分别为-1，-4，2，不成等比数列；当时，分别为-1，2，-4，成等比数列，满足条件故记数列的前项和为当时， 当时，当时， 当时，满足此式，综上，18已知数列的前n项和的最大值为8(1)确定常数求(2)求数列的前项和解：(1)当时，取最大值，即故从而又所以(1) 因为所以19(2012四川)已知数列的前项和为且对一切正整数都成立(I)求的值；(II)设数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值解：取得 取得又-，得 (1)若由知若， 若易知 由得：(2)当时，由( 1 )知，当时，有所以，则令则所以，数列是以为
8、公差，且单调递减的等差数列则当时，所以，对，取得最大值，且的最大值为20(2012陕西)设的公比不为1的等比数列，其前项和为且成等差数列，(1)求数列的公比：(2)证明：对任意成等差数列解：(1)设数列的公比为由成等差数列，得即由得解得（舍去），所以(2)证法一：对任意所以，对任意成等差数列 证法二：对任意因此，对任意成等差数列21.（2012广东）设数列的前项和为，满足成等差数列(1)求的值；(2)求数列的通项公式；(3)证明：对一切正整数，有解：(1)相减得：成等差数列(2)得均成立得：(3)当时，当时， 由上式得：对一切正整数有22.（2012天津）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，
9、且(I)求数列的通项公式；(II)记证明；解：()设数列的公差为数列的公比为则得：()23.（2012江苏）已知各项为正数的两个数列和满足：.（1）设求证：数列是等差数列；（2）设且是等比数列，求和的值.解：(1)数列是以1为公差的等差数列(2)（ ）设等比数列的公比为由知下面用反证法证明若则当时，与（ * ）矛盾，若则当时，与( * )矛盾，综上所述，又是公比是的等比数列.若则于是又由即得中至少有两项相同，与矛盾。24.（2012重庆）设数列的前n项和满足，其中（1）求证：是首项为1的等比数列；（2）若，求证：并给出等号成立的充要条件.解：(1)证明：由得即因故得又由题设条件知两式相减得 即
10、由知因此综上，对所有成立，从而是首项为1，公比为的等比数列。(2)当或2时，显然等号成立。设且由(1)知，所以要证的不等式化为：即证：当时，上面不等式的等号成立。当时，与同为负；当时， 与同为正；因此当且时，总有，即上面不等式对从1到1求和得，由此得综上，当且时，有当且仅当或时等号成立25.（理科）（2012全国）函数定义数列如下：是过两点P（4，5）Qn ()的直线PQn与x轴交点的横坐标。（1）证明：（2）求数列的通项公式.解：(1)为故点在函数的图像上，故由所给出的两点可知，直线斜率一定存在。故有直线的直线方程为令可求得所以下面用数学归纳法证明当时，满足假设时，成立，则当时，由即也成立综
11、上可知对任意正整数恒成立。下面证明由由故有即综上可知恒成立。(2) 由得到该数列的一个特征方程即解得或 两式相除可得 而故数列是以为首项以为公比的等比数列故26（理科）（2012湖南）已知数列的各项均为正数，记(I)若且对任意三个数组成等差数列，求数列的通项公式； (II)证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意三个数组成公比为的等比数列解：(1)对任意三个数是等差数列，所以即亦即故数列是首项为l，公差为4的等差数列. 于是()(1)必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意有由知，均大于0，于是，即所以三个数组成公比为的等比数列(2)充分性：若对于任意三个数组成公比为的等比数列，则于是得即由有即从而因为所以故数列是首项为公比为的等比数列，综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意三个数组成公比为的等比数列.