《自动控制 第八章 系统定性分析 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制 第八章 系统定性分析 .doc（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第八章 系统的定性性分析定性分析则是研究系统的一般特性。对此我们一点也不觉得陌生，因为在古典控制理论中我们对系统的稳定性这个很重要的一般特性，进行过较多讨论。在现代控制理论中，我们除了进一步讨论系统的稳定性之外，还要涉及一些新的概念，如能达性（Reachability）、能观性（Observability）；能控性（Controllability），能构性（Constructibility）；能稳定性（Stabilizability），能检测性（Detectability）等等，对系统的这些特性进行定性分析，对于分析、特别是设计系统有着很重要的实际意义。本章我们先讨论我们较为熟知的稳定性。8.
2、1 稳定性分析对任何一个物理系统，都有运动的稳定性的问题。不稳定的系统在实践中是没有用的。所谓运动稳定性理论，就是研究某些确定的或随机的干扰作用对系统运动状态的影响，看其是否能耐受这种干扰的影响以保持预定的工作状态，从而建立一套准则来判别运动状态是稳定的或不稳定的。 在进行古典控制理论的学习时，就曾多次讨论过系统的稳定性问题时用劳思（Routh）判据、奈奎斯特（Nyquist）判据来分析线性系统的稳定性，我们已经相当熟练，但若系统是非线性的或是时变的，上述一些稳定性判据就显然有点爱莫能助，尽Nequist判据可用于某些特殊类型的非线性系统，但描述函数法对于确定系统的稳定性是近似的，而建立在相平
3、面法基础之上的稳定性分析也只能用于低阶系统。线性系统的响应总可以分解为零状态响应和零输入响应之和。习惯上对两种响应的稳定性分别研究。对于零状态响应，我们将介绍BIBO（Bounded-Input Bounded-Output，有界输入有界输出）稳定性；对零输入响应，我们将介绍限界稳定性和渐近稳定性。我们将主要讨论线性定常的情况。8.1.1 BIBO稳定性的概念首先回忆一下线性系统的输入输出时域描述。以单输入单输出的线性定常系统为例，其零状态输出响应可写作(8.1.1)其中是施加在系统输入端的激励信号，是在输入激励下系统输出端的响应信号；是系统的脉冲响应函数，对于一般的时变系统，脉冲响应函数是二
4、元函数，表示时刻施加的输入在t时刻引起的响应，当系统是定常系统时，脉冲响应函数退化为单变量函数，表示初始时刻施加的理想脉冲输入在t时刻所引起的输出，而时刻施加的输入在t时刻引起的响应自当记为。当然，这样描述的系统必须是线性的、因果的、初始时刻松弛的。再复习一下函数有界的概念。输入称作是有界的是指不会发展到正无穷或负无穷，或等价地说，存在一个常数um使得定义8.1 系统称为BIBO稳定的（界输入有界输出稳定）是指：系统在每一个有界的输入信号激励下所引起的输出响应都是有界的。该稳定性是定义在零状态响应之上，即仅当系统初始松弛时才能使用。定理 8.1线性定常的单输入单输出（SISO）系统(4.1.1
5、)，BIBO稳定的充要条件是其脉冲响应函数在0,+上绝对可积，即存在某正常数M，使证明：首先我们证明：如果是绝对可积的，则每一个有界输入都引起有界输出。设为一任意有界输入，即对所有t0有，则所以输出是有界的。下面，我们从直观上来证明，若g(t)不是绝对可积的，则系统就非BIBO稳定。若g(t)不是绝对可积的，则存在t1使得我们选择显然u是有界的，而由此输入所引起的输出等于它不是有界的，所以该系统不是BIBO稳定的，至此完成了对定理4.1的证明。证毕还要指出的是：函数绝对可积并不意味着有界，也不意味着当t时趋于零。8.1.2 BIBO稳定性的条件定理8.2由正则有理传递函数描述的SISO系统，B
6、IBO稳定的充要条件是的所有极点都具有负实部，或等价地说，位于开左半s平面。若有mi重极点pi，则其部分分式展开式中含有如下各项：于是, 的拉氏反变换或脉冲响应式会有如下各项：可以直接验证，每一个这样的模态绝对可积的充要条件是pi有负实部，用此事实我们可以建立上述定理。【例8-1】若系统BIBO稳定且其传递函数为，试证明：当t时1当输入为，输出响应趋于a；2当输入为，则输出响应趋于证明：若t0时总有u(t) = a，则式(4.1.1)成为其中g(t)是的拉普拉斯反变换，又因它意味着，当t时这就证明了第一个结论。而当时，(4.1.1)成为于是，我们有，当t时若g(t)是绝对可积的，我们可在拉氏变
7、换分定义式中以jw替代s，从而得到因脉冲响应g(t)是实函数，于是有其中Re,In分别表示实部和虚部，将它们代入(4.1.1)得到这就完成了所要的证明。证毕定理8.3由状态空间方程描述的线性定常系统，BIBO稳定的充分条件是系统的所有特征值都具有负实部。上一节我们讨论了系统的外部稳定性，即BIBO稳定性，它是定义在零状态响应之上的。现在我们来研究系统的内部稳定性，即由其非零初态所引起的零输入响应之上的稳定性问题。重点介绍李雅普诺夫稳定性理论。李雅普诺夫（A.M.，英译Lyapounov）是俄国数学家、力学家。1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔；1918年11月3日卒于敖德萨（因妻子死于肺结核而
8、自杀身亡）。李雅普诺夫1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质奖章，同年考入圣彼得堡大学物理数学系学习，当他听了著名数学家切比雪夫的讲座之后即被其渊博的学识深深吸引，从而转到切比雪夫所在的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影响下，他在大学四年级时就写出具有创见的论文，而获得金质奖章。1880年大学毕业后留校工作，1892年获博士学位，其博士论文运动稳定性一般问题，奠定了稳定性理论的基础。1893年起任哈尔科夫大学教授，1900年初当选为圣彼得堡科学院通讯院士，1901年又当选为院士，并兼任应用数学学部主席。1909年当选为意大利国立琴科学院外籍院士，1916年当选为巴黎科学院外籍院士。李雅普诺
9、夫是切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以概率论、微分方程和数学物理方法最有名。在概率论中，他创立了特征函数法，实现了概率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.他对概率论的建树主要发表在其1900年的概率论的一个定理和1901年的概率论极限定理的新形式论文中.他的方法已在现代概率论中得到广泛的应用李雅普诺夫是常微分方程运
10、动稳定性理论的创始人，他1884年完成了论一个旋转液体平衡之椭球面形状的稳定性一文，1888年，他发表了关于具有有限个自由度的力学系统的稳定性。特别是他1892年的博士论文运动稳定性的一般问题是经典名著，在其中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫函数法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握，从而在科学技术的许多领域中得到广泛地应用和发展，并奠定了常微分方程稳定性理论的基础，也是常微分方程定性理论的重要
11、手段。李雅普诺夫对位势理论的研究为数学物理方法的发展开辟了新的途径。他1898年发表的论文关于狄利克雷问题的某些研究也是一篇重要论文.该文首次对单层位势、双层位势的若干基本性质进行了严谨的探讨，指出了给定范围内的本问题有解的若干充要条件。他的研究成果奠定了解边值问题经典方法的基础。在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫第一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫分式，李雅普诺夫稳定性等等，而其中以他
12、的姓氏命名的定理、条件有多种。8.1.3 平衡状态定义8.2：对于零输入条件下的自由运动，若系统达到某状态时，系统将维持在此状态而不再发生变化，则称状态为该系统的一个平衡状态。对于一般的连续时间系统，设其零输入条件下的状态响应形式为，则由上述定义知平衡状态满足方程。从另一个角度来说，平衡状态满足代数向量方程特别地，当系统是连续时间线性系统时，平衡状态是代数向量方程的解。显然，一定是连续时间线性系统的一个平衡状态。连续时间线性系统有且仅有一个平衡状态的充要条件是：系统矩阵A非奇异，或者说A没有的特征值。同样，对于离散时间系统，其平衡状态应满足代数方程特别地，当系统是离散时间线性系统时，零输入条件
13、下系统的齐次状态方程是其平衡状态是代数向量方程的解。显然，也一定是离散时间线性系统的一个平衡状态。离散时间线性系统有且仅有一个平衡状态的充要条件是：矩阵非奇异，或者说F没有的特征值。注意：并不是所有系统都能找到平衡状态，例如如下的非线性一维系统：就没有平衡状态。8.1.4 李雅普诺夫稳定性的定义一、必要的数学术语1泛函普通的函数是数域至数域的一个映射，自变量是数，因变量也是数；而泛函是指非数集合至数域的一个映射，即其自变量是非数元素，因变量是数。2范数严格的范数定义是所谓的公理化定义，即对某集合中的元素x，若有一泛函具有如下性质： ，且；则称该泛函为该向量空间上的范数。通俗地说向量空间中元素x
14、的范数是向量x（有向线段）的尺度（距离）的一种度量。3向量空间上的范数我们知道，一维数空间上的向量（有向线段）的尺度（距离）度量是：二维数空间（平面）及三维数空间（空间立体）上的向量的尺度（长度）度量是：不难验证上述的尺度度量（长度）均满足范数公理化定义的条件，故它们是范数。一般地，我们定义n维欧氏空间中的元素（n维向量）的欧几里德范数为：从范数的定义还可看出范数的定义方法不是唯一的。如对n维向量，可定义：一般地，我们称它为n维向量的r范数。除了2范数是我们熟知的欧几里德范数以外，实践中常使用的范数还有1范数和无穷范数：4矩阵的范数向量范数的概念可推广到矩阵。设A是的矩阵，则A的范数可定义为(
15、3.72)其中sup表示上确界，即最小的上界。此范数是通过向量的范数来定义的，因此被称作诱导范数。对不同的，我们有不同的。例如，用欧几里德范数则的最大奇异值的最大特征值而若用1范数，则最大的列绝对值和其中aij是A阵的第i行第j列上的元素。如果用无穷范数则最大的行绝对值和对于同一个A，这些范数都是不同的。例如，对：，可求得5线性赋范空间定义了范数的线性空间称为线性赋范空间。不难发现，范数是一个泛函它给向量空间中的元素以度量，有了范数的概念，我们便可定义向量空间中元素间的接近程度。二、李雅普诺夫意义下稳定性（限界稳定性）定义8.3 李雅普诺夫意义下稳定（限界稳定）：Stable in the s
16、ense of Lyapunov（Marginally stable）系统是李雅普诺夫意义下稳定的或称是限界稳定的是指：任一有限的初态所引起的零输入响应有界。（此定义不严格，且可能有问题，它把非线性极限环包含在内，这与如下的定义相悖）这个定义可用数学语言叙述如下：平衡状态称为在是李雅普诺夫意义下稳定的，是指对于每个，存在着一依赖于 e 和的正数 d ，使得若，则（系统始于初态的零状态响应）对于所有的有用几何语言来说就是：若对应于每一个球域,都存在着一个与之对应的球域，使得当t增加时，从初始状态开始出发的轨迹都不可能超出之外，则称该系统的这一平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。一般来说，决定球域大
17、小的实数是与有关的，通常也与有关（时变系统）。如果与无关，则称这种平衡状态为一致稳定的平衡状态。上述稳定性的意义可利用二维平面图形加以表示， 三渐近稳定定义8.4 渐近稳定（asymptotically stable）平衡状态是渐近稳定的是指：该平衡状态附近任一由有限初态所引起的零输入响应，当时趋于零。即注意到渐近稳定的平衡状态首先是李雅普诺夫意义下稳定的。但从实用观点看，渐近稳定比稳定重要。在应用中，确定渐近稳定性的最大范围是十分必要的，它能决定受扰运动为渐近稳定前提下初始扰动的最大允许范围。 定义8.5 大范围渐近稳定（全局渐近稳定）Large scale asymptotically s
18、table（）平衡状态是大范围渐近稳定的是指：对于从状态空间中的所有点出发的轨迹都能收敛到。此时也称系统是大范围渐近稳定的或全局渐近稳定的。系统为全局渐近稳定的必要条件是它在状态空间中只有一个平衡状态。 若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。四、不稳定定义8.6 不稳定平衡状态是不稳定的是指：若有某个，无论如何小，尽管，也总有某时刻，使。用几何语言来说就是：如果存在一个选定的球域，不管把域的半径取得多么小，在内总存在至少一个点，使由这一状态出发的自由运动轨线在某一时刻超出球域之外，则称系统原点平衡状态是不稳定的。不稳定系统的示意图如右图。同学们应该注意到：李雅普诺夫意义下的稳定
19、（通常也简称为稳定）与在古典控制理论中所提的稳定，在概念上有所不同：古典控制理论中的临界稳定属于不稳定的一种，而在李雅普诺夫意义下它却是稳定的。事实上，古典理论中所指的稳定性就是这里所述的渐近稳定性。8.1.5 李雅普诺夫直接法（第二法）一、向量泛函的定号性1.正定和正半定设是定义在向量空间原点某邻域内的标量函数，称是正定泛函是指，且 而称是正半定（也叫半正定）泛函是指，且 2.负定和负半定设是定义在向量空间原点某邻域内的标量函数，若是正定泛函，则称是负定泛函；同样，若是正半定的，则称是负半定的。3不定设是定义在向量空间原点某邻域内的标量函数，若内同时存在非零元素和，使得而，则称泛函是中不定的
20、。二、李雅普诺夫稳定性定理定理8.4 限界稳定如果在状态空间原点的某邻域内，存在一正定泛函，且其关于时间的导数是负半定的，则系统在状态空间的原点附近是李雅普诺夫意义下稳定的，也称为系统在原点是限界稳定的。或者说系统状态空间的原点是李雅普诺夫意义下稳定的平衡状态，也叫限界稳定的平衡状态。具有上述特点的正定泛函叫做李雅普诺夫函数。定理8.5 渐近稳定如果在状态空间原点的某邻域内，存在一正定泛函，且其关于时间的导数是负定的，则系统在状态空间的原点附近是渐近稳定的。或者说系统状态空间的原点是渐近稳定的平衡状态。注意：这里的李雅普诺夫稳定性定理都是以充分条件的形式给出的。【例8-2】试用李雅普诺夫第二方
21、法分析如下系统的稳定性解：试选择正定泛函易求得它对时间的导数是：显见，它是不定的。因李雅普诺夫稳定性定理给出的是充分条件，故这一选择没有价值；再选取它的时间导数是：它是负半定的，根据李雅普诺夫稳定性定理可知该系统是李雅普诺夫意义下稳定的。但我们知道该系统的特征多项式是由韦达定理或劳思判据很容易知道它的两个根，即系统的两个特征值都具有负实部。事实上这两个特征根是。也就是说系统本身是渐近稳定的。现在的问题是：对于一个渐近稳定的系统，是否肯定能够找到一个李雅普诺夫函数，即正定，同时负定？回答是肯定的。对此题只要选择则易求得：它是负定的，所以是该系统的一个李雅普诺夫函数。但显然如何获得看起来较为复杂的
22、似乎不是件特别容易的事。定理8.5 渐近稳定如果在状态空间原点的某邻域内，存在一正定泛函，且其关于时间的导数是负定的，则系统在状态空间的原点附近是渐近稳定的。或者说系统状态空间的原点是渐近稳定的平衡状态。如果结合系统的状态方程还能保证则对负定的要求可以放宽至“是负半定的”。如果还能保证当时，则系统是大范围渐近稳定的。或者说系统状态空间的原点是大范围渐近稳定的平衡状态。为判定例8-2的渐近稳定性，我们将与状态方程联立，可导出。于是由李雅普诺夫稳定性定理知系统是渐近稳定的。由于当时有，定理8.6 不稳定如果在状态空间原点的某邻域内，存在一正定泛函，且其关于时间的导数也是正定的，则系统在状态空间的原
23、点附近是不稳定的。或者说系统状态空间的原点是不稳定的平衡状态。最后要指出的是，这里的李雅普诺夫稳定性定理都是以充分条件的形式给出的。练习： 8.1.6 基于系统矩阵特征值的稳定性定理正如在上一节中指出的李雅普诺夫稳定性定理是以充分条件的形式给出的。它可普遍适用于线性系统或非线性系统、定常系统或时变系统、集中系统或分布系统、连续时间系统或离散时间系统。而在应用中，当然希望有以充要条件给出的李雅普诺夫定理。显然一般而言这个愿望是难以实现的，但在一些特殊条件下，如对于线性定常系统，得到以充分必要条件陈述的李雅普诺夫稳定性定理是可以作到的。定理8.71线性定常连续时间系统限界稳定的充要条件是：A的所有
24、特征值均具有零或负的实部，且其零实部特征值均是A的最小多项式的单根；2线性定常连续时间系统渐近稳定的充要条件是：A的所有特征值均有负实部。考察齐次状态空间方程的解，即系统自由运动条件下，以互不相同特征值为例：注意：在上式中，p为行向量，q、x为列向量，(px)为标量。 正如前面已讨论过的，传递矩阵的每一个极点都是A的特征值。所以渐近稳定性意味着BIBO稳定性。注意，渐近稳定性定义于零输入响应，而BIBO稳定性定义于零状态响应。例5.2所示系统有特征值1，故它不是渐近稳定的；但它都是BIBO稳定的。因此，一般来说BIBO稳定性不意味着渐近稳定性。我们指出：限界稳定性仅对振荡器的设计有用。除振荡器
25、外，每个物理系统都应设计为渐近稳定或有某些附加条件的BIBO稳定。定理8.81线性定常离散时间系统是限界稳定的充要条件是F的所有特征值，其模都小于或等于1。且模为1的特征值是F之最小多项式的单根；2线性定常离散时间系统渐近稳定的充要条件是F的所有特征值的模均小于1。8.1.7 基于李雅普诺夫第二法的稳定性定理一般来说，最简单的正定泛函是正定二次型函数。对于线性定常系统，按照前述基本的李雅普诺夫直接法，我们来考查选取二次型函数作为可能的李雅普诺夫函数的情况。1选取2计算，其中3判断是否为负定泛函，亦即矩阵Q是否为正定矩阵。根据李雅普诺夫直接法之渐近稳定性定理，系统渐近稳定的充分条件是Q为正定矩阵
26、。显然，这样使用李雅普诺夫直接法比较简单，甚至比通过计算A的特征值来判断系统的渐近稳定性还要简单，只是按照李雅普诺夫第二方法，定理给出的是稳定的充分条件，而不是我们期望的非此即彼的充要条件。定理8.9A的所有特征值均具有负实部的充要条件是：对任意给定的正定对称阵Q，李雅普诺夫方程有唯一的对称解P，且P是正定的。证明：定理的充分性是李雅普诺夫第二方法基本定理的直接结果，故只要证明 必要性：我们首先验证李雅普诺夫方程(5.15)的解可表示为：事实上，将上式代入李雅普诺夫方程可得其中，我们用到了：对稳定的A，当时。充分性：我们来证明，若Q和P都正定，则A稳定。设是A的一个特征值，且是其相应的一个特征向量，即。尽管A是实阵，但其特征向量和特征值也可能是复的，如例3.6所示。对,取复共轭转置得，其中星号表示复共轭转置。对（5.15）左乘v*右乘v则得因与均为实数且为正，故它意味着。这就证明了A的每个特征值具有负实部。证毕定理8.10矩阵F的所有特征值之模都小于1的充要条件是：对任意的正定对称阵N，离散李雅普诺夫方程有唯一的对称正定解M。