高考知识点分章复习之立体几何.doc

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1、高考数学立体几何空间向量解法 一、有关公式BB1O投影公式： 在方向上的投影：OB1=COS二、平面的法向量 1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量或，或，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。三、平面法向量的应用 1、求空间角AB图2-1-2C（1）求线线角：已知两异面直线，则异面直线所成的角为：（2）求线面角：如图2-1，设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则AB与平面所成的角为：图2-1-1:图2-222222-2-2图

2、2-1-2:(3)求面面角:设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：（图2-2）;图2-3 (图2-3)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；在图2-3中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。图2-4nabAB2、求空间距离（1）异面直线之间距离:方法指导：如图2-4,作直线a、b的方向向量、，求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；在直线a、b上各取一点A、B，作向量；图2-5AMBNO求向量在上的射影d，则异面直线a、b间的距离为AaB图2-6,其中（2）点到平面的

3、距离:方法指导：如图2-5,若点B为平面外一点，点A图2-7AB为平面内任一点，平面的法向量为，则点B到平面的距离公式为（3）直线与平面间的距离:方法指导：如图2-6,直线与平面之间的距离：图2-8a，其中。是平面的法向量（4）平面与平面间的距离:方法指导：如图2-7,两平行平面之间的距离：图2-9a，其中。是平面、的法向量。3、证明（1）证明线面垂直：在图2-8中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（）。（2）证明线面平行：在图2-9中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（）。图2-10（3）证明面面垂直：在图2-1

4、0中，是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（）图2-11（4）证明面面平行：在图2-11中, 是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（）。四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）五、高考真题新解(08年全国卷二)如图

5、，正四棱柱中，,点E在上且.()证明：平面;()求二面角的大小.解：()以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设，3分（）=0，=0故，又，所以平面6分（）设向量是平面的法向量，则，故，第一问已经证明平面，所以可以把作为平面的法向量。令，则，9分等于二面角的平面角，所以二面角的大小为12分立体几何高考选择填空真题1、2012年文（8）理4、已知正四棱柱中 ，为的中点，则直线与平面的距离为（A） （B） （C） （D）【解析】连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所

6、以,所以利用等积法得，选D. 2、2012年文（12）正方形的边长为，点在边上，点在边上，。动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为（A） （B） （C） （D）【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞6次即可.3、2012年理（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AEBF.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方

7、形的边碰撞的次数为（ ） （A）16（B）14（C）12(D)10【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可.4、2012年文（16）已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为_.【解析】如图连接，则,所以与所成的角即为异面直线所成的角，设边长为2，则，在三角形中.5、2012年理（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.【解析】如图设设棱长为1，则，因为底面边长和侧棱长都相等，且

8、所以，所以， ，设异面直线的夹角为，所以.CABD6、2011年文(8)理6、已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂足,若，则( ).（A） 2 （B） （C） （D）1【解析】因为是直二面角, ,平面,又,7、2011年文(12)理11、已知平面截一球面得圆，过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆.若该球面的半径为4，圆的面积为4，则圆的面积为( ). (A)7 (B)9 (C)11 (D)13【解析】如图所示,由圆的面积为4知球心到圆的距离,在中, ,故圆的半径,圆的面积为. 8、2011年文(15)已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .【解析】取A1B1的中点M连

9、接EM，AM，AE，则就是异面直线AE与BC所成的角。在中，.9、2011年理(16)己知点、分别在正方体的棱、上，且，则面与面所成的二面角的正切值等于 .【解析】延长交的延长线于,连结,则为面与面的交线,由得,为中点.设正方体的棱长为1,则,又,平面,是面与面所成的二面角的平面角,在中,故面与面所成的二面角的正切值等于.10、2010年文(6)直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于(C ) (A)30 (B)45(C)60 (D)9011、2010年文(9)理7、正方体-中，与平面所成角的余弦值为(D ) (A） （B） （C） （D）12、2010年文(12)已知在半径为2的球面上有A、

10、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为( B )(A) (B) (C) (D) 13、2010年理(15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .14、2009年文理（9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为(A) (B) (C) (D) 解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D 15、2009年文（11）理10、已知二面角为600 ，动点P、Q分别在面内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为解:如图分别作 ，连 ，又当且仅当，即重合时取最小值。

11、故答案选C。 16、2009年文理(15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于_.解：设球半径为，圆M的半径为，则，即由题得，所以。17、2008年11已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）AB CD解：C由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为长度均为，平面的法向量为,则与底面所成角的正弦值为.18、2008年16等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于

12、 解：答案：.设，作，则，为二面角的平面角，结合等边三角形与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则16题图（2）,故所成角的余弦值另解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点,则,故所成角的余弦值.19、平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为 （A） （B）4 （C）4 （D）6【解析】球半径，所以球的体积为，选B.20、设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（A） （B） （C） （D） 解：因为则，选A，21、设是直线，a，是两个不同的平面A. 若a，则a B. 若a，则aC. 若a，a，则 D. 若a, a，则

13、【解析】利用排除法可得选项B是正确的，a，则a如选项A：a，时，a或a；选项C：若a，a，或；选项D：若若a, a，或【答案】B22、下列命题正确的是（ ）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故A不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交. 【答案】C23、如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平

14、面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（ ）A、 B、 C、 D、【解析】根据题意，易知平面AOB平面CBD,，由弧长公式易得，、两点间的球面距离为.【答案】A24、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是_。【解析】本题有两种方法，一、几何法：连接，则,又，易知，所以与所成角的大小是；二、坐标法：建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式计算得异面直线与所成角的大小是.25、一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 【解析】底面圆的周长，所以圆柱的底面半径，所以圆柱的侧面积为两个底面积为。，所以圆柱的表

15、面积为。26、如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3【解析】长方体底面是正方形，中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。四棱锥的体积为。27、已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若PA=2,则OAB的面积为_.【解析】点28、已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ） 【解析】的外接圆的半径，点到面的距离,为球的直径点到面的距离为 此棱锥的体积为 另：排除,选A.29、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【解析】设，则，故选

16、A.ABMNCl2l1H立体几何高考解答题真题1、（2006年高考）如图，、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在上，C在上，。 （）证明ACNB；()若，求与平面ABC所成角的余弦值。1、解: 如图,建立空间直角坐标系Mxyz.令MN=1, 则有A(1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),ABMNCl2l1Hxyz()MN是 l1、l2的公垂线, l1l2, l2平面ABN. l2平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,1,0). =1+(1)+0=0 ACNB.() =(1,1,m), =(1,1,m), |=|, 又已知ACB=6

17、0,ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在RtCNB中,NB=,可得NC=,故C(0,1, ).连结MC,作NHMC于H,设H(0, ) (0). =(0,1,), =(0,1, ). = 12=0, = ,H(0, , ), 可得=(0, ), 连结BH,则=(1, ),=0+ =0, , 又MCBH=H,HN平面ABC,NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(1,1,0),cosNBH= = = DBCAS2、（2007年高考）四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，（）证明：；（）求直线与平面所成角的大小 解：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面因为，所以又，为等腰直角三角形

18、，如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，所以（）取中点，连结，取中点，连结，与平面内两条相交直线，垂直所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余，CDEAB所以，直线与平面所成的角为3、（2008年高考）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）证明：；（）设与平面所成的角为，求二面角的大小3、解：（I）作AOBC，垂足为O，则AO底面BCDE，且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.设A（0,0,t），由已知条件有C(1,0,0), D(1,0), E(-1, ,0),所以，得ADCE（II）作CFAB，垂足为F，连接FE，设F（

19、x,0,z）则=(x-1,0,z),故CFBE，又ABBE=B，所以CF平面ABE，CEF是CE与平面ABE所成的角，CEF=45由CE=，得CF=又CB=2，所以FBC=60，ABC为等边三角形，因此A（0，0，）作CGAD，垂足为G，连接GE，在RtACD中，求得|AG|=|AD|，故G，又，所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。由cos()=知二面角C-AD-E为arccos() 4、（2009年高考）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，,，点M在侧棱上，=60（I）证明：M在侧棱的中点（II）求二面角的大小。4、解:以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-x

20、yz设，则（）设,则又，故即，解得，即所以M为侧棱SC的中点（II）由，得AM的中点又所以，因此等于二面角的平面角所以二面角的大小为5、(2010年高考)如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .（）证明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .5、解：以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（）设平面SBC的法向量为n=(a,b,c)由，得，故2b-2c=0,-a+b=0，令a=1，则b=c

21、,c=1,n=(1,1,1)。又设 ，则，设平面CDE的法向量m=(x,y,z)，由,得 ： ，故.令，则.由平面DEC平面SBC得mn,，故SE=2EB（）由（）知，取DE的中点F，则，故，由此得又，故，由此得，向量与的夹角等于二面角的平面角于是，所以二面角的大小为6、如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD=,底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.()求证:PO平面ABCD；()求异面直线PB与CD所成角的余弦值；()求点A到平面PCD的距离.6、解：（）证明：在PAD卡中PAPD，O为AD中点，所以POAD.又侧面

22、PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.（）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.所以（-1，1，0），（t，-1，-1），、=，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，（）设平面PCD的法向量为n（x0,y0,x0），由（）知=（-1，0，1），（-1，1，0），则n0，所以-x0+ x0=0,n0，-x0+ y0=0， 即x0=y0=x0,取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1). 又=(1,

23、1,0).从而点A到平面PCD的距离d7、如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点，（I）设是的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离7、证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O， 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D （II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一

24、点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为8、如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M （1）证明：直线EE/平面FCC；（2）求二面角B-FC-C的余弦值。8、解:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中点M,连接DM,则DMAB,所以DMCD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直

25、角坐标系,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE/平面FCC. （2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则, 所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. 9、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离。9、解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立空间直角坐标系，则,(1)设与所成的角为, , 与所成角的大小为

26、(2) 设平面OCD的法向量为,则即 取,解得设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, .所以点B到平面OCD的距离为10、如图,在六面体中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面ABCD，DD1=2。()求证:与AC共面，与BD共面. ()求证:平面 ()求二面角的大小.10、解： 以D为原点，以DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（）证明：于是与AC共面，与BD共面.（）证明：内的两条相交直线， 又平面（）解：设于是设于是11、如图，在三棱锥中，侧面与侧面

27、 均为等边三角形，为中点 （）证明：平面；（）求二面角的余弦值11、证明：（）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）解：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为12、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。12、解：（II）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0,0)，A(0,0,1), E(

28、,0), 异面直线AB与CD所成角的大小为（）解法一：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则 令y=1，得n=(-)是平面ACD的一个法向量.又点E到平面ACD的距离h=（）解法二：设点E到平面ACD的距离为h., SACD =AOSCDE.在ACD中，CA=CD=2,AD=,SACD=而AO=1, SCDE=h=点E到平面ACD的距离为.13、（2012年高考）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（）证明：PC平面BED；（）设二面角A-PB-C为90，求PD与平面PBC所成角的大小.解：设,以为原点，为

29、轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。（）证明：由得， 所以，所以，。所以,，所以平面；（） 设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为.14、正四棱锥的高，底边长，求异面直线和之间的距离注：已知两条异面直线,是与两直线都垂直的向量,，则两条异面直线的距离 14、解析：建立如图4所示的直角坐标系，则， ，ABCDOS图4，令向量，且，则，异面直线和之间的距离为：15、如图5，在圆锥中，已知=，O的直径,是的中点，为的中点（）证明：平面 平面;（）求二面角的余弦值.解：（I）如图所示，以O为

30、坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，设是平面POD的一个法向量，则由，得所以设是平面PAC的一个法向量，则由，得，所以得。因为所以从而平面平面PAC。（II）因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为由（I）知，平面PAC的一个法向量为,设向量的夹角为，则由图可知，二面角BPAC的平面角与相等，所以二面角BPAC的余弦值为16、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离。解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,（）设与所成的角为, , 与所成角的大小为（）设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为