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1、数列与不等式考点解读数列：等差数列、等比数列 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.不等式：（1）一元二次不等式： 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.（2）二元一次不等式组与简单线性规划问题： 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. （3）基本不等式： 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.注意：
2、主要考查等差、等比数列的性质及有关整数的性质。例题讲评例1已知数列的首项, (1)证明:对任意的,;(2)证明:. 解析:(1)依题,容易得到, ,原不等式成立 (2)由(1)知，对任意的，有取，则原不等式成立例2设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.（1）求数列的通项（2）设, 当时,求证:. 解析:容易得到,所以,要证只要证,因为,所以原命题得证例3.已知数列的前项和满足（1）求数列的通项（2）证明：对任意的整数，有 解析:容易得到, 由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时 （减项放缩），于是 当且为偶数时当且为奇数时（添项放缩）由知由得证。例4已知数列an
3、满足：a1=a2=a3=2，an+1=a1a2an-1(n3)，记 (n3)(1)求证数列bn为等差数列，并求其通项公式；(2)设，数列的前n项和为Sn，求证：nSnn+1解：(1)当n3时，因，故 -，得 bn-1-bn-2=1，为常数，所以，数列bn为等差数列 因 b1=4，故 bn=n+3 (2) 因 ，故 所以，即 nSnn+1例5已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求； （2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）
4、应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 解：（1）. （）， ， 当时，. （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.结论可以是：由， 依次类推可得 当时，的取值范围为等. 例6设数列满足，令. 试判断数列是否为等差数列？ 若，求前项的和；是否存在使得三数成等比数列？解：由已知得, 即, 所以,即, 所以数列为等差数列；由得：且，即，则 ；设存在满足条件，则有，即，所以，必为偶数，设为，则，有或，即，与已知矛盾不存在使得W#W$W%.K*S*&5U三数成等比数列例7已知等差数列
5、an的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列bn的前n项和为Tn，且Tn=1-.（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，试比较与Sn+1的大小，并说明理由.解 （1）由已知得,又an的公差大于0，a5a2,a2=3,a5=9.d= =2，a1=1.an=2n-1.Tn=1-bn，b1=，当n2时，Tn-1=1-bn-1,bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1),化简，得bn=bn-1,bn是首项为,公比为的等比数列，即bn=,an=2n-1，bn=.(2)Sn=n2,Sn+1=（n+1）2，=.以下比较与Sn+1的大小：当n=1时
6、，=，S2=4，S2,当n=2时，=,S3=9,S3,当n=3时，=,S4=16,S4,当n=4时，=,S5=25,S5.猜想：n4时，Sn+1.下面用数学归纳法证明：当n=4时，已证.假设当n=k (,k4)时，Sk+1,即(k+1)2.那么n=k+1时，=33(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1,n=k+1时，Sn+1也成立.由可知,n4时W#W$W%.K*S*&5U，Sn+1都成立综上所述，当n=1,2,3时，Sn+1,当n4时，Sn+1.例8已知数列an各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的，都有.I、求数列的通项
7、公式.II、若对于任意的恒成立，求实数的最大值.解： (I)当时,又an各项均为正数,.数列是等差数列, (II) ,若对于任意的恒成立,则.令,当时,.又，. 的最大值是.例9. 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且其中A,B为常数.（）求A与B的值；（）证明数列an为等差数列；（）证明不等式对任何正整数m、n都成立.分析：第一问由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入关系式，即求出A=-20、B=-8；第二问利用公式，推导得证数列an为等差数列.由于an=1+5(n-1)=5n-4，故第三问即是证明对任何正整数m、n恒成立.我们可以用分析法将此恒成立问题进行等价转化，由于要等价转化故需要先移项再两边平方，整理得：，而基本不等式得到：，因此要证明原不等式恒成立，只要证5(m+n)-829，而此式对任何正整数m、n都能成立。例10.已知(x)在上有定义，且满足时有，对数列满足（1）证明：(x)在（-1，1）上为奇函数；（2）求的表达式；（3）是否存在自然数m，使得对于任意，有 成立？若存在，求出m的最小值.解：(1)有当时,可得当时 在上为奇函数（2）= 又为等比数列,其通项公式为（3）假设存在自然数m,则 =对于恒成立 对于恒成立且,即可