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1、第二十四讲 空间向量与立体几何一、引言（一）本讲的地位：空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的应用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力（二）考纲要求：了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；会利用空间向量的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题，
2、培养严谨的思维习惯，提高计算和推理能力（三）考情分析：高考中立体几何为必考内容，并且通常有一道综合题，用向量法来解，往往可以另辟蹊径，降低难度，多数情况下综合法、向量法都可以解题二、考点梳理1空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底3向量的数量积已知向量，则叫做的数量积，记作，即向量的夹角公式4两点间的距离公式：若，则，或5线面平行与线
3、面垂直证明的向量方法：设直线的方向向量是，平面的法向量，则；6空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义三、典型问题选讲例1 如图，点是BCD所在平面外一点，是的重心求证：分析：想方设法把向量逐步用有关的向量表示，直至用它们表示为止证明：，归纳小结：在本题的证明过程中，我们先把转化为，再把用和表示，进而用表示，用表示，最终实现了问题的证明证明过程思路清晰，目标明确，逐
4、步把向量转化为向量证明结论成立的过程，就是把已知转化为未知的过程同学们要认真体会化归与转化思想，特别是把空间向量问题转化为平面向量问题的思想，不断培养严谨规范的思维习惯，提高逻辑推理能力特别值得注意的是，我们要注重基础知识的理解和应用本题中，三角形重心概念的理解，平面向量的三角形法则和平行四边形法则的应用对问题证明起到了至关重要的作用例2 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线长与棱长有什么关系？分析：由于平行六面体的棱之间具有平行关系，所以以为起点的三个向量可以将各棱用向量形式表示根据题设，不妨设这三个
5、向量的模都是1为了求出对角线的长，可以将用与棱相关的向量表示出来解：设,根据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题，这个晶体的对角线的长是棱长的倍归纳小结：空间两点间的距离，可以表示为以这两点为起点和终点的向量的模向量的模满足的关系式立体几何中有关距离的问题，经常用空间向量的数量积解决例3 如图，直三棱柱，点、分别是、的中点，则与所成角的余弦值是（ ） 解析一：(综合法)连结， ,设点为中点， 或补角即为所求由余弦定理可求得解析二：(向量法)建立如图所示的坐标系，设则，即，归纳小结：我们用两种方法求两条异面直线所成的角解法一体现传统方法：作证指算答；解法二把角的求解转化为向量运算，应注意
6、体会两种方法的区别例4 如图，在正方体中，点，分别是,的一个四等分点，求与所成的角的余弦值分析：与所成的角就是，所成的角或它的补角因此，我们可以通过，的坐标表示，计算出它们的数量积与模，进而求出它们所成角的余弦值解：不妨设正方体的棱长为1，分别以为单位正交基底建立空间直角坐标系，则所以,所以,因此，与所成的角的余弦值是归纳小结：用空间向量法来研究两条异面直线所成的角的一般步骤是：建立适当的空间坐标系确定相应的点的坐标确定相应的点的向量的坐标用夹角公式确定两条异面直线所成的角例5 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，,点是的中点，作交于点(1) 求证：平面；(2) 求证：平面；(3) 求二
7、面角的大小分析：本题涉及的问题包括：判定直线与平面平行和垂直，计算二面角的大小这些问题都可以利用向量方法解决由于已知条件中四棱锥的底面是正方形，一条侧棱垂直于底面，所以非常适合建立空间坐标系表示向量解：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设（1）证明：连结,交于点，连结依题意得因为底面是正方形，所以点是此正方形的中心，故点的坐标为，且所以,即而平面,且平面，因此平面（2）证明：依题意得又，故所以由已知，且所以平面(3)解：已知，由（2）可知，故是二面角的平面角设点的坐标为，则因为，所以，即因为,所以所以，点的坐标为，所以所以，即二面角的大小为归纳小结：证明线面平行、线面垂直，我们常常用
8、向量法来解决证明线面平行，只需证明直线对应的向量与平面内的一条直线对应的向量共线；证明线面垂直，需要证明这条直线对应的向量和平面内两条相交直线对应的向量的数量积均为0求二面角，我们往往转化为线线角，利用夹角公式完成需要指出的是，用向量法研究立体几何问题，概念的准确理解，辅助线的合理构造，依然是关键和重要的例6 如图，在正四面体中，为的中点，求直线与平面成的角解法一:取的中点，连结、四面体是正四面体，又，面而平面,面面过作于，则面,则为与面所成的角在中，即与平面所成的角为解法二：建立以三角形的中心为原点，依次为轴，轴，轴平行于设正四面体的棱长为，则为的中点，又因为平面的法向量为，即与平面成的角满
9、足即与平面所成的角为归纳小结：用传统几何法求直线与平面所成的角，关键是找出与已知平面垂直的直线，从而确定斜线在面内的射影，得到斜线和平面所成的角，计算在三角形中进行用向量法求直线与平面所成的角，关键是建立恰当的坐标系，求出斜线对应向量的坐标和平面的法向量坐标，由夹角公式及线面角与线线角的关系得到结果例7（2009宁夏海南卷）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点（）求证：ACSD；（）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由解：（
10、）证明：连，设交于，由题意知平面以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为（）在棱SC上存在一点使由（）知是平面的一个法向量，且，设,而，即当时，,而不在平面内，故 四、本专题总结：本专题主要研究了用空间向量方法研究立体几何问题突出的数学思想方法有：转化的思想：把立体几何问题转化为空间向量问题；类比的思想：把平面向量及其运算推广到空间向量；数形结合思想本专题学习中需要注意的问题1一般情况下，立体几何综合题，既可以用传统方法，也可以用向量方法来研究解题时，我们要根据已知条件和图形特征，选择合适的方法，而不要机械地套用某种方法2用空间向量方法研究立体几何的关键是根据图形的具体特征，建立适当的空间坐标系，以使关系明朗，思路清晰，计算简单3理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法（“三步曲”）4用空间向量法研究立体几何问题，要不断提高推理运算能力和空间想象能力