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1、第三专题四 数列的综合问题知识梳理：1数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题2数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等3解答数列应用题的基本步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中4数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一
2、个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，,则ba.注意事项：1用函数的观点理解等差数列、等比数列(1)对于等差数列，由ana1(n1)ddn(a1d)，当d0时，an是关于n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线上的若干个离散的点当d0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d0时，函数是常函数，对应的数列是常数列；d0，q1或a10,0q0,0q1或a11时，等比数列an是递减数列当q1时，是一个常数列当q0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列2解答数列综合问题的注意事项(1)
3、要重视审题、精心联想、沟通联系；(2)将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来热点突破：题型一 可以转化为等差，等比的问题例1 已知数列an满足a11，a23，an23an12an(nN*)(1)证明：数列an1an是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)若数列bn满足(4b11)(4b21)(4bn1)(an1)bn(nN*)，证明bn是等差数列变式 1 在数列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0，q1)(1)求证：数列an1an为等比数列；(2)若a6，a3，a9成等差数列，问对任意的nN*，an3，an，an6是否成等差数列？说明理由拓
4、展提高：转化为等差等比的数列问题，关键题目中的条件要符合等差等比的定义，结构特点，形式等符合，将条件合理的转化或者变形直接利用等差等比的有关知识解决。题型二 数列与函数例2已知函数f(x)log2xlogx2(0x1)，数列an满足f()2n (nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列an的单调性变式1 已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1x)f(1x)，直线g(x)4(x1)的图象被f(x)的图象截得的弦长为4，数列an满足a12，(an1an)g(an)f(an)0 (nN*)(1)求函数f(x)的解析式；(2)求数列an的通项公式；(3)设bn3f(an)g
5、(an1)，求数列bn的最值及相应的n.拓展提高：1. 数列是一类特殊的函数，它与基本初等函数即有相似之处又有不同，因此可以把他们的相似利用函数来研究。当然要注意数列的特殊性.2. 已知函数条件求解数列问题，此类问题的一般解法是利用函数的性质，图像等研究数列问题；3. 已知数列条件求解函数问题，此类问题一般要充分利用数列范围，求和等方法对式子化简变形，另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解。题型三 数列与向量例 3 。变式1（1）求的通项；（2）求的最小值；（3）求的值.变式2 （1） （2）拓展提高：利用数列的特殊性，把数列应用在向量上来研究，要同时兼顾数列与向量
6、的有关知识。读清题意是关键。题型四 数列与解析几何关键是寻求点的横坐标和纵坐标之间的关系；将这种关系转化为AP,GP，求通项及求和的问题.例4 设直线与两坐标轴围成的三角型面积为，则的值为（）变式1如图，从点P1（0，0）作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点再从做轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：；，记点的坐标为（）（1）试求与的关系（）；（2）求拓展提高：1. 数列与解析几何的综合问题是高考题中常见的一种题型。他的综合性较强，对学生有较高的要求.2. 关键点是寻求点的横坐标与纵坐标之间的关系3. 规律：根据横坐标与纵坐标之间的关系转化为等差数列或等比数列，利用求通
7、项，求和等问题解决。题型五 数列与不等式A.恒成立问题例5.1 设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围变式1设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立,求的最小值。拓展提高：数列通项公式的还原方法比较多样，可以构造特殊数列，也可以立足于运算、归纳，最后补充证明B.证明不等式题型例6已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且=,.()求数列与的通项公式;()记,证明.变式1 已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）
8、求数列的通项公式；（2）证明：.拓展提高：1. 不等式证明是数列问题中的常见题型，一般方法是利用不等式证明的常规方法，如比较法，单调性法，放缩法等2.常见放缩技巧：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 题型六 数列的实际应用例7 某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造
9、住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59)变式1从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2010年投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(2010年为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(参考数据：lg 20.301 0)拓展提高：数列的实际应用关键是考察学生对数列的综
10、合问题掌握程度。这一题型要求学生学会建模。建模的前提就是对基础知识的掌握程度考察。题型七 数列与数归法例8 等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1） 求r的值；（2）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立变式1 已知数列满足， .猜想数列的单调性，并证明你的结论；()证明：。w.w.拓展提高：凡事预与正整数n有关的命题都可以用数学归纳法来研究.尤其是在证明等式或是不等式方面都可以.题型八 数列中的探究性问题例9 已知数列an中a1=,，数列 bn，满足（nN*），（1）求证数列 bn是等差数列；（2）若sn=（a1-1）（a2-1）+（a2-1）（
11、a3-1）+（an-1）（an+1-1）是否存在a与bZ，使得：asnb恒成立若有，求出a的最大值与b的最小值，如果没有，请说明理由变式1 (2012无锡期末)设数列an的前n项积为Tn，已知对n，mN*，当nm时，总有Tnmq(nm)m(q0是常数)(1)求证：数列an是等比数列；(2)设正整数k，m，n(kmn)成等差数列，试比较TnTk和(Tm)2的大小，并说明理由；(3)探究：命题p：“对n，mN*，当nm时，总有Tnmq(nm)m(q0是常数)”是命题t：“数列an是公比为q(q0)的等比数列”的充要条件吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由拓展提高：探究问题的考察实际就是反证法的应用。一般是假设结论成立，在假设的情况下，结合题目条件进一步研究，推出结论成立，说明假设成立，如果推得结论不成立，说明假设不成立，所以命题不成立.