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1、一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程的根是整数.【详解】若存在n满足题意.设x1，x2是方程的两个根，则x1+x2=2n，x1x2=，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2，由方程得，(x+n-1)x-2(n+1)=0，若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-，但1-n
2、=不是整数，舍.若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-(舍)，综上所述，n=0.2已知关于x的一元二次方程x2x+a1=0（1）当a=11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足2+x1（1x1）2+x2（1x2）=9，求a的值【答案】（1）（2）（3）-4【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案详解：（1）把a=11代入方程，得x2x12=0，（x+3）（x4）=0，x+3=0或x4=0，x1=3，x2=4； （2）方程有
3、两个实数根，0，即（1）24×1×（a1）0，解得； （3）是方程的两个实数根， 2+x1（1x1）2+x2（1x2）=9，把 代入，得：2+a12+a1=9，即（1+a）2=9，解得：a=4，a=2（舍去），所以a的值为4点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系3已知：关于x的方程kx2+(2k-3)x+k-3=0有两个不相等实数根(k<0)（1） 用含k的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且x2x1+2k=0，求k的值【答案】（I）kx2+（2k3)x+k3 = 0是关于x的一元二次方程由求根公式，得
4、 或（II），而，由题意，有x2x1+2k=01-3k+2k=0即（）解之，得k1=-32,k2=1经检验k1,k2是方程（）的根，但，k=-32【解析】（1）计算=（2k-3）2-4k（k-3）=90，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之
5、间的函数关系.请你解答下列问题：4已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，于是，对正整数，有原式=5已知关于的方程有两个实数根.(1)求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，且，求的值.【答案】（1） （2）4【解析】试题分析：根据方程的系数结合根的判别式即可得出 ，解之即可得出结论.根据韦达定理可得： ，结合 即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出值，再由的结论即可确定值.试题解析：因为方程有两个实数根，所以 ，解得.根据韦达定理，因为，所以，将上式代入可得 ，整理得 ，解得 ，又因为，所以.6关于x的方程(k1)x2+2kx+2=0（1）求证：
6、无论k为何值，方程总有实数根（2）设x1，x2是方程(k1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=+ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值若不能，请说明理由【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2【解析】试题分析：（1） 本题二次项系数为(k1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可试题解析：（1）当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；当k-10即k1时，方程为一元二次方程，=（2k）²-4×
7、2（k-1）=4k²-8k8="4(k-1)" ² 40方程有两不等根综合得不论k为何值，方程总有实根（2）x x ,x x =S=+ x1+x2=2k-2=2，解得k=2，当k=2时，S的值为2 S的值能为2，此时k的值为2考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系7某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少
8、元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%； （2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x，（1x）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x40×（1x）232.4x10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的
9、百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由题意，得 解得：1.5，2.5，有利于减少库存，y2.5答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可8已知关于x的方程x2（m2）x（2m1）=0。（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。【答案】（1）见详解；
10、（2）4或4.【解析】【分析】（1）根据关于x的方程x2（m2）x（2m1）=0的根的判别式的符号来证明结论.（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：当该直角三角形的两直角边是2、3时，当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.【详解】解：（1）证明：=（m2）24（2m1）=（m2）24，在实数范围内，m无论取何值，（m2）2+440，即0.关于x的方程x2（m2）x（2m1）=0恒有两个不相等的实数根.（2）此方程的一个根是1，121×（m2）（2m1）=0，
11、解得，m=2，则方程的另一根为：m21=2+1=3.当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为13=4.当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为13=4.9已知关于x的方程x2(k+3)x+3k0(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根【答案】(1)k1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x1代入方程x2(k+3)x+3k0得1(k3)+3k0，1k3+3k
12、0解得k1；(2)证明： (k+3)243k (k3)20，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.10已知:如图，在中，cm，cm.直线 从点出发，以2 cm/s的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点.同时，点从点出发，以1cm/s的速度沿向点运动，设运动时间为(s) () .(1)当为何值时，四边形是矩形?(2)当面积是的面积的5倍时，求出的值;【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）首先根据勾股定理计算AB的长，再根据相似比例表示PE的长度，再结合矩形的性质即可求得t的值.（2）根据面积相等列出方程，求解即可.【详解】解：（1）在中， ，当时，四边形PECF是矩形， 解得 （2）由题意 整理得，解得，面积是的面积的5倍。【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，这是近几年的考试热点，必须熟练掌握.