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1、2013年高考文科数学真题及答案全国卷I一、选择题：本大题共合题目要求的2Bx|xn，nA，1(2013 课标全国，文 1)已知集合 A1,2,3,4，则 AB(A1,4 B2,3 C9,16 D1,22(2013 课标全国，文 2)11i1+12i1i1i2第卷12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符)(1+)1i11i2 B2 C2 D2A3(2013 课标全国，文 3)从 1,2,3,4中任取 2 个不同的数，则取出的值为 2 的概率是()11112 个数之差的绝对A2 B3 C4 D6xa224(2013 课标全国，文4)已知双曲线 C：的渐近线方程为(1xy
2、b122=1(a0，b0)的离心率为52，则 C)1xxAy4 By3 Cy2 Dyxx32pxqxxx5(2013 课标全国，文 5)已知命题：?R,2 3；命题：?R，1，则下列命题中为真命题的是()Apq Bpq Cpq Dpq6(2013 课标全国，文 6)设首项为 1，公比为23的等比数列 an 的前n 项和为 Sn，则()A Sn2an1 B Sn3an2 C Sn43an D Sn32an7(2013 课标全国，文 7)执行下面的程序框图，如果输入的t 1,3，则输出的 s 属于()A 3,4 B 5,2C 4,3 D 2,528(2013 课标全国，文 8)O为坐标原点，F 为
3、抛物线 C：y 4 2x的焦点，P为 C上一点，若|PF|4 2，则 POF 的面积为()A2 B22 C2 3 D49(2013 课标全国，文 9)函数 f(x)(1cos x)sinx 在，的图像大致为()2ABCA B Cabc,10(2013 课标全国，文 10)已知锐角的内角，的对边分别为，23cos Acos 2 A0，a7，c6，则 b()A10 B9 C8 D511(2013 课标全国，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168B88C1616D81612(2013 课标全国，文12)已知函数 f(x)范围是()A(，0 BC 2,1 Dx22x,x0,0
4、.ln(x 1),x若|f(x)|ax，则 a 的取值(，1 2,0第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分13(2013 课标全国，文 13)已知两个单位向量a，b 的夹角为 60，ct a(1 t)b.若bc0，则t_.1x3,14(2013 课标全国，文 14)设 x，y 满足约束条件则 z2xy 的最大值为1xy0,_15(2013 课标全国，文 15)已知 H是球 O的直径 AB上一点，AH HB 12，AB 平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为 _16(2013 课标全国，文16)设当 x 时，函数 f(x)sinx2cos x 取得最大值，则cos _
5、.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 课标全国，文 17)(本小题满分 12分)已知等差数列 an的前 n 项和 Sn满足S30，S55.(1)求 an 的通项公式；(2)求数列1a2n 1a2n的前 n 项和118(2013 课标全国，文18)(本小题满分 12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20 位患者服用 A药，20 位患者服用 B药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用 A药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22
6、.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用 B药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19(2013 课标全国，文 19)(本小题满分 12 分)如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，CA CB，ABAA1，BAA160(1)证明：AB A1C；(2)若ABCB2，A1C6，求三棱柱ABCA1B1C1的体积20(
7、2013 课标全国，文 20)(本小题满分 12分)已知函数 f(x)x2e(axb)x 4x，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4.(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求f(x)的极大值22221(2013 课标全国，文 21)(本小题满分 12 分)已知圆 M：(x1)y 1，圆 N：(x1)y 9，动圆 P与圆 M外切并且与圆 N内切，圆心 P的轨迹为曲线 C.(1)求 C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答 注意：只能做
8、所选定的题目 如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(2013 课标全国，文22)(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，直线 AB为圆的切线，切点为B，点 C 在圆上，ABC的角平分线 BE交圆于点 E，DB垂直 BE交圆于点 D.23(2013 课标全国，文23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知曲线x45cost,C1的参数方程为(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极y55sint坐标系，曲线 C2的极坐标方程为2sin.1的参数方程化为极坐标方程；(1)把 C1与C2交点的极坐
9、标(0,02)(2)求C24(2013 课标全国，文24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数f(x)|2 x1|2 xa|，g(x)x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；(2)设 a1，且当 xa 1时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围,2 222013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷 I 新课标)一、选择题：本大题共合题目要求的1答案：A2解析：B x|xn，nA 1,4,9,16AB1,4 2答案：B解析：12i1 i2第卷12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符，12i2i12i i22i21+
10、12i.3答案：B解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为4答案：C解析：e22213.52，ba22ca152，即ca2254.c a b，b.4a1.2双曲线的渐近线方程为ybax，渐近线方程为y12x.故选 C.5答案：B解析：由 2030知，p 为假命题令 h(x)x31x2，h(0)10，h(1)10，x31x20 在(0,1)内有解?xR，x31x2，即命题 q 为真命题由此可知只有pq 为真命题故选B.6答案：D解析：San12an11qa1anqn31q1q3122an，故
11、选 D.37答案：A解析：当1t 1 时，s3t，则 s 3,3)当 1t 时，s4t t2.该函数的对称轴为t 2，该函数在 1,2 上单调递增，在 2,3 上单调递减smax4，smin3.s3,4 综上知 s 3,4 故选 A.8答案：C解析：利用|PF|xP24 2，可得 xP3 2.yP2 6.SPOF12|OF|yP|2 3.故选 C.9答案：C解析：由 f(x)(1cos x)sinx 知其为奇函数可排除B当 x0,2时，f(x)0，排除 A.当 x(0，)时，f（x)sin2xcos x(1cos x)2cos2xcos x1.令 f（x)0，得x23.故极值点为x23，可排除
12、 D，故选 C.10答案：D解析：由 23cos2Acos 2 A0，得 cos2A125.A0,2，cos Ab215.135cos A364926b，b5 或b(舍)故选 D.11答案：A解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体V半圆柱1248，2V长方体422 16.所以所求体积为 168.故选 A.12答案：D解析：可画出|f(x)|的图象如图所示当 a0 时，yax 与 y|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C；当 a时，若 x0，则|f(x)|ax 恒成立2若x0，则以yax与y|x2x|相切为界限，yax,2由得 x(a2)x0.2yx2x,2(a2)0，a2.a
13、2,0 故选 D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答 第22 题第 24题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分13答案：2解析：bc0，|a|b|1，a，b60，ab1 1bc t a(1 t)b b0，2t abt b即(1 )0.12t1t 0.1212.t 2.14答案：3解析：画出可行域如图所示画出直线 2xy0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z2333.915答案：2解析：如图，设球 O的半径为 R，则 AH 2R3，ROH.32EH又，EH1.R在 RtOEH 中，
14、R322+1，R2298.S球4R16答案：2925.2 5解析：f(x)sinx2cos x5sin(x)，其中 sin2 55，cos 55.当 x 2k2(kZ)时，f(x)取最大值即 2k(kZ)，2k(kZ)22cos cos2sin2 55.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：(1)设 an 的公差为 d，则 Snna1由已知可得3a13d5a110d0,5,n(n1)2d.解得 a11，d1.故 an 的通项公式为 an2n.(2)由(1)知从而数列n.12n18解：(1)设 A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为由观测结果可得x120y.1a2n
15、 1a2n 1132n 12n11312n122n，1a2n 1a2n 1的前 n 项和为(0.6 1.2 1.2 1.5 1.5 1.8 2.2 2.3 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.7 2.8 2.9 3.03.1 3.2 3.5)2.3，y120(0.5 0.5 0.6 0.8 0.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.1 2.4 2.52.6 2.7 3.2)1.6.由以上计算结果可得xy，因此可看出 A药的疗效更好(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有结果有710710的叶集中在茎 2,3
16、上，而 B药疗效的试验的叶集中在茎 0,1 上，由此可看出 A药的疗效更好19(1)证明：取 AB的中点 O，连结 OC，OA1，A1B.因为 CA CB，所以 OC AB.1，BAA160，由于ABAA故AA1B为等边三角形，所以 OA1AB.1O1C因为 OC OA，所以 AB 平面 OA.又 A1C?平面 OA1C，故 AB A1C.(2)解：由题设知 ABC 与AA1B都是边长为 2的等边三角形，3.所以 OC OA1又 A1C 6，则 A1COC OA1，故 OA1OC.1平面ABC1为三棱柱ABC因为OCABO，所以OA，OAA1B1C1的高又ABC 的面积 SABC3，故三棱柱
17、ABC A1B1CSABCOA1的体积 V13.20 xx)e(axab)2x4.解：(1)f（由已知得 f(0)4，f(0)4.故 b4，ab8.从而 a4，b4.x2(2)由(1)知，f(x)4e(x1)x 4x，f（x)4e(x2)2x44(x2)ex222x12.令 f（x)0 得，xln 2 或 x2.x)0；从而当 x(，2)(ln 2，)时，f（x)0.当x(2，ln 2)时，f（故 f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减2当 x2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e)21解：由已知得圆 M的圆心为 M(1,0)，半径 r1
18、1；圆 N的圆心为 N(1,0)，半径 r23.设圆P的圆心为 P(x，y)，半径为 R.(1)因为圆 P与圆 M外切并且与圆 N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以 M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x2y243=1(x2)(2)对于曲线 C上任意一点 P(x，y)，由于|PM|PN|2R 22，所以 R2，当且仅当圆 P的圆心为(2,0)时，R 2.22所以当圆 P的半径最长时，其方程为(x2)y 4.若 l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|2 3.若 l 的倾斜角不为 90，由
19、 r1R知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则可求得 Q(4,0)，所以可设 l：yk(x4)由 l 与圆 M相切得当 k46 2724|3k|1k2|QP|QM|Rr1，1，解得 kx2代入x224y2.=1，并整理得时，将y24437x 8x80，解得2x1,2，2所以|AB|1k|x2x1|当 k24187.187时，由图形的对称性可知|AB|.18.7请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答 注意：只能做所选定的题目 如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切
20、角定理得，ABE BCE.而ABE CBE，故CBE BCE，BE CE.又因为 DB BE，所以 DE为直径，DCE 90，由勾股定理可得 DB DC.(2)解：由(1)知，CDE BDE，DB DC，故 DG是 BC的中垂线，综上，|AB|2 3或|AB|所以 BG 32.设 DE的中点为 O，连结 BO，则 BOG 60从而 ABE BCE CBE 30，所以 CF BF，故 RtBCF外接圆的半径等于23解：(1)将xy45cost,55sint22即 C1：x y 8x10y160.xcos,222将代入 x y 8x10y160 得 8cos 10sin160.ysin所以 C1的
21、极坐标方程为2 8cos 10sin160.22(2)C2的普通方程为 x y 2y0.消去参数 t，化为普通方程(x4)(y5)25，2232.由xx22yy228x 10y162y或xy00,2.0,解得x1,y1所以 C1与 C2交点的极坐标分别为2,4，2,2.24解：(1)当 a2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2 x1|2 x2|x30.设函数 y|2 x1|2 x2|x3，5x,x12,则 yx2,12x1,3x6,x1.其图像如图所示 从图像可知，当且仅当所以原不等式的解集是 x|0 x2(2)当 xa 12,2时，f(x)1a.不等式 f(x)g(x)化为 1ax3.所以 xa2 对 xa 12,2都成立故a42a2，即 a3.从而a的取值范围是1,43.x(0,2)y0.时，