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1、全国卷高考数学(带答案)一、选择题一、选择题（1）sinsin585585的值为(A)o o2233(B)(C)(D)2222【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。解：sinsin585585 sin(sin(360360 225225)sin(sin(180180 4545)sinsin4545 o oo oo oo oo oo o2 2，故选择 A。2 2(2)设集合 A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U AU B，则集合U(AI B)中的元素共有(A)3 个（B）4 个（C）5 个（D）6 个【解析】本小题考查集合的运算，基础题。（同理 1）解：AU B
2、3,4,5,7,8,9，AI B 4,7,9U(AI B)3,5,8故选故选 A A。也可用摩根。也可用摩根定律：定律：痧U(AI B)(（3）不等式UA)U(?UB)x x 1 1 1 1的解集为x x 1 1（A）x 0 x1U x x1（B）x 0 x1（C）x 1x0（D）x x0【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。解：x x 1 1 1 1|x x 1 1|x x 1 1|(x x 1 1)2 2 (x x 1 1)2 2 0 0 4 4x x 0 0 x x 0 0，x x 1 1故选择 D。（4）已知 tana=4,cot=1,则 tan(a+)=37777(A)(B
3、)(C)(D)11111313【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。解：由题tantan 3 3，tan(tan()tantan tantan 4 4 3 37 7 ，故选择 B。1 1 tantan tantan 1 1 12121111x2y221相切，则该双曲线的（5）设双曲线221a0，b0的渐近线与抛物线yx ab离心率等于（A）3（B）2（C）5（D）6【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。bxbxx2y2解：由题双曲线221a0，b0的一条渐近线方程为y y ，代入抛物线方程a aab整 理 得axax
4、bxbx a a 0 0，因 渐 近 线 与 抛 物 线 相 切，所 以b b 4 4a a 0 0，即2 22 22 2c c2 2 5 5a a2 2 e e 5 5，故选择 C。（6）已知函数f(x)的反函数为g(x)12lgxx0，则f f(1 1)g g(1 1)（A）0（B）1（C）2（D）4【解析】本小题考查反函数，基础题。解：由题令1 1 2 2lg lg x x 1 1得x x 1 1，即f f(1 1)1 1，又g g(1 1)1 1，所以f f(1 1)g g(1 1)2 2，故选择 C。（7）甲组有5 名男同学、3 名女同学；乙组有6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙
5、两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（A）150 种（B）180 种（C）300 种（D）345 种【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。2 21 11 11 11 12 2解：由题共有C C5 5C C6 6C C2 2 C C5 5C C3 3C C6 6 345345，故选择 D。（8）设非零向量a a、b b、c c满足|a a|b b|c c|,|,a a b b c c，则 a a,b b（A）150（B）120（C）60（D）30【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解：由向量加法的平行四
6、边形法则，知a a、b b可构成菱形的两条相邻边，且a a、b b为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。（9）已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(A)3573(B)(C)(D)4444【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。（同理 7）解：设BC的中点为 D，连结A1D，AD，易知 A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角,由三角余弦定理，易知cos cosA1ADcosDAB(10)如果函数y 3cos(2x)的图像关于点(ADAD3.故选 DA1A AB44,0)中心对称
7、，那么的最小值为3(A)(B)(C)(D)6432【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。解:Q函数y3cos2x的图像关于点 4，0中心对称32413 k k(kZ)由此易得|min.故选 A3266（11）已知二面角l 为 600，动点 P、Q 分别在面,内，P 到的距离为3，Q到的距离为2 3，则 P、Q 两点之间距离的最小值为【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。（同理 10）解:如图分别作QA 于A,AC l于C,PB 于B,PD l于D，连CQ,BD则ACQ PBD 60,AQ 2 3,BP 3，AC PD 2又Q PQ AQ2 AP2 12 AP2 2
8、3当且仅当AP 0，即点A与点P重合时取最小值。故答案选C。x2 y21的右焦点为 F,右准线l，点Al，线段AF 交 C 于点 B。若（12）已知椭圆C:2uuu ruuu ruuu rFA 3FB,则AF=(A)2(B)2(C)3(D)3【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。uuu ruuu r解：过点B 作BM l于 M,并设右准线l与 X 轴的交点为 N，易知FN=1.由题意FA 3FB,故|BM|2 222|AF|2.故选 A.又由椭圆的第二定义,得|BF|2333二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共
9、 2020 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）（13）(x y)的展开式中，x y的系数与x y的系数之和等于_.【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。（同理 13）r rr r1010 r rr r373y y所以有C10(C10)2C10 240解:因T Tr r 1 1 (1 1)C C1010 x x107337（14）设等差数列an的前n项和为Sn。若S9 72，则a2 a4 a9_.【解析】本小题考查等差数列的性质、前n项和，基础题。（同理 14）解:Qan是等差数列,由S9 72,得S9 9a5,a58a2a4a
10、9(a2a9)a4(a5a6)a4 3a5 24。(15)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3，则球O的表面积等于_.【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。解：设球半径为R R，圆 M 的半径为r r，则 r r 3 3，即r r 3 3由题得R R (2 22 22 22 22 2R R2 2)3 3，2 2所以R R 4 4 4 4 R R 1616。（16）若直线m被两平行线l1:x y 1 0与l2:x y 3 0所截得的线段的长为2 2 2 2，则m的倾斜角可以是oooo1530456075o其中正确答案的序号是.（写
11、出所有正确答案的序号）【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。解：两平行线间的距离为d d|3 3 1 1|1 1 1 1 2 2，由图知直线m与l l1 1的夹角为3030o o，l l1 1的倾斜o o0 00 0o o0 00 0角为4545，所以直线m的倾斜角等于3030 4545 7575或4545 3030 1515。故填写或三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分 10 分)(注意注意:在试题卷上作答无
12、效在试题卷上作答无效)设等差数列an的前n项和为sn，公比是正数的等比数列bn的前n项和为Tn，已知o oa11,b1 3,a3b317,T3S312,求an,bn的通项公式.【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n n项和，基础题。解：设 a an n 的公差为d d，数列 b bn n 的公比为q q 0 0，由a3b317得1 2d 3q 172T3S312得q2q d 4由及q 0解得q q 2 2,d d 2 2n1故所求的通项公式为an1 2(n1)2n1,bn 32。(18)(本小题满分 12 分)（注意：在试用题卷上作答无效）（注意：在试用题卷上作答无效）在ABC中
13、，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a c 2b，且22sin B 4cos AsinC，求b.【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。解：由余弦定理得a a c c b b 2 2bcbccoscos A A，又a a c c 2 2b b,b b 0 0，2 22 22 22 22 2b b2 2 2 2bcbccoscos A A 2 2b b，即b b 2 2c ccoscos A A 2 2由正弦定理得bsinBcsinC又由已知得sin B 4cos AsinCsin B 4cos A，sinC所以b 4ccos A故由解得b b 4 4(19)(本小题满分 12 分)（注
14、决：在试题卷上作答无效）（注决：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥S ABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD，AD 2，DC SD 2，点M在 侧 棱SC上，ABM 60o（）证明：M是侧棱SC的中点；（）求二面角S AM B的大小。（同理 18）解法一：解法一：（I）作MECD交SD于点 E，则MEAB，ME 平面 SAD连接 AE，则四边形 ABME 为直角梯形作MF AB，垂足为 F，则 AFME 为矩形设ME x，则SE x，AE ED2 AD2(2 x)22MF AE(2 x)22,FB 2 x由MF FBtan60,得(2 x)2 3(2 x)解得x 1即ME 1，从而M
15、E。21DC2所以M为侧棱SC的中点（）MB BC2MC2 2，又ABM 60o,AB 2,所以ABM为等边三角形，又由（）知 M 为 SC 中点SM 2,SA 6,AM 2，故SA2 SM2 AM2,SMA 90o取 AM 中点 G，连结 BG，取 SA 中点 H，连结 GH，则BG AM,GH AM,由此知BGH为二面角S AM B的平面角连接BH，在BGH中，BG 31222AM 3,GH SM,BH AB2 AH22222BG2GH2 BH26 所以cosBGH 2BGGH3二面角S AM B的大小为arccos(解法二解法二:以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴正半轴，建立如图
16、所示的直角坐标系D-xyz6)3设A(2,0,0)，则B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（）设SM MC(0),则M(0,21,21),MB (2,21,21)又AB (0,2,0),MB,AB 60o故MB AB|MB|AB|cos60o即42221(2)2(1)(1)2解得1，即SM MC所以 M 为侧棱 SC 的中点（II）由M(0,1,1),A(2,0,0)，得 AM 的中点G(22,12,12)又GB (22,32,12),MS (0,1,1),AM (2,1,1)GB AM 0,MS AM 0所以GB AM,MS AM因此GB,MS等于二面角S AM B的平面角c
17、os GB,MS GBMS6|GB|MS|3所以二面角S AM B的大小为arccos(63)(20)（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜 1 局。（）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率。【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。解：记“第i i局甲获胜”为事件A Ai i(i i 3 3,4 4,5 5)，
18、“第j j局乙获胜”为事件Bj(j 3,4,5)。（）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件A，则A A A A3 3 A A4 4 B B3 3 B B4 4，由于各局比赛结果相互独立，故P(A)P(A3 A4 B3B4)P(A3 A4)P(B3B4)P(A3)P(A4)P(B3)P(B4)0 0.6 6 0 0.6 6 0 0.4 4 0 0.4 4 0 0.5252（）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1 局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2 局，从而B B A A3 3 A A4 4 B B3 3 A A4 4 A A5 5 A A3 3 B B
19、4 4 A A5 5，由于各局比赛结果相互独立，故P P(B B)P P(A A3 3 A A4 4 B B3 3 A A4 4 A A5 5 A A3 3 B B4 4 A A5 5)P P(A A3 3 A A4 4)P P(B B3 3 A A4 4 A A5 5)P P(A A3 3 B B4 4 A A5 5)P P(A A3 3)P P(A A4 4)P P(B B3 3)P P(A A4 4)P P(A A5 5)P P(A A3 3)P P(B B4 4)P P(A A5 5)0 0.6 6 0 0.6 6 0 0.4 4 0 0.6 6 0 0.6 6 0 0.6 6 0 0
20、.4 4 0 0.6 6 0 0.648648（21）（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）已知函数f(x)x 3x 6.（）讨论f(x)的单调性；（）设点P 在曲线y f(x)上，若该曲线在点P 处的切线l通过坐标原点，求l的方程42【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。解：（）f(x)4x 6x 4x(x366)(x)22令f(x)0得 6 66 6 x x 0 0或x x ；2 22 26 66 6或0 0 x x 2 22 26 66 66 6,0 0)和(,)为增 函数；在 区间(,)和2 22 22 2令f(x)0得x x 因此
21、，f f x x 在区间(0 0,6 6)为减函数。2 2（）设点P P(x x0 0,f f(x x0 0)，由l l过原点知，l l的方程为y f(x0)x，因此f(x0)x0f(x0)，4 42 23 3即x x0 0 3 3x x0 0 6 6 x x0 0(4 4x x0 0 6 6x x0 0)0 0，2 22 2整理得(x x0 0 1 1)()(x x0 0 2 2)0 0，解得x x0 0 2 2或x x0 0 2 2因此切线l的方程为y y 2 2x x或y 2 2x(22)（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）如图，已知抛物线E:y
22、 x与圆M:(x4)y r(r 0)相交于 A、B、C、D 四个点。（）求r的取值范围（）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC、BD 的交点 P 的坐标。解：解：（）将抛物线E:y x代入圆M:(x4)y r(r 0)的方程，消去y，整理得x 7x16r 022222222222E与M有四个交点的充要条件是：方程有两个不相等的正根x1、x2V(7)24(16r2)0由此得x1 x2 7 02x1x216r 0解得15 r2164又r 0所以r的取值范围是(15,4)2（II）设四个交点的坐标分别为A(x1,x1)、B(x1,x1)、C(x2,x2)、D(x2,x2)。2则由（I）根据韦
23、达定理有x1 x2 7,x1x216r，r(15,4)2则S 12|x2 x1|(x1x2)|x2 x1|(x1x2)2S2(x1 x2)24x1x2(x1 x22 x1x2)(72 16r2)(4r215)2令16r2t，则S (72t)(72t)下面求S的最大值。22方法 1：由三次均值有：1S2(72t)2(72t)(72t)(72t)(144t)21 72t 72t 144t31283()()2323当且仅当72t 144t，即t 157,4)满足题意。时取最大值。经检验此时r(26方法 2：设四个交点的坐标分别为A(x1,x1)、B(x1,x1)、C(x2,x2)、D(x2,x2)则
24、直线 AC、BD 的方程分别为y y x x1 1 x x2 2 x x1 1x x2 2 x x1 1(x x x x1 1),),y y x x1 1 x x2 2 x x1 1x x2 2 x x1 1(x x x x1 1)解得点 P 的坐标为(x x1 1x x2 2,0 0)。设t t 7x x1 1x x2 2，由t t 1616 r r2 2及（）得t(0,)2由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积S S 1 1(2 2 x x1 1 2 2 x x2 2)|x x1 1 x x2 2|2 2则S S2 2 (x x1 1 2 2 x x1 1x x2 2 x x2 2)
25、()(x x1 1 x x2 2)2 2 4 4x x1 1x x2 2 将x x1 1 x x2 2 7 7，x x1 1x x2 2 t t代入上式，并令f f(t t)S S2 2，得7 7f f(t t)(7 7 2 2t t)2 2(7 7 2 2t t)8 8t t3 3 2828t t2 2 9898t t 343343(0 0 t t )，2 2f(t)24t 56t 98 2(2t 7)(6t 7)，令f(t)0得t t 27 77 7，或t t （舍去）6 62 2当0 0 t t 7 77 77 77 7时，f(t)0；当t t 时f(t)0；当 t t 时，f(t)06 66 66 62 27 7时，f f(t t)有最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点P 的坐标6 6故当且仅当t t 为(,0 0)7 76 6