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1、导数公式及运算法则是什么1 1 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.C=0(C 为常数);2.(Xn)=nX(n-1)(nQ);3.(sinX)=cosX;4.(cosX)=-sinX;5.(aX)=aXIna(ln 为自然对数)特别地，(ex)=ex6.(logaX)=(1/X)logae=1/(Xlna)(a0，且 a1)特别地，(ln x)=1/x7.(tanX)=1/(cosX)2=(secX)28.(cotX)=-1/(sinX)2=-(cscX)29.(secX)=tanX secX10.(cscX)=-cotX cscX导数的四则运算法则：(uv)=uv(uv)=uv
2、+uv(u/v)=(uv-uv)/v2复合函数的导数第1页 共4页u(v)=u(v)*v(u(v)为复合函数 fg(x)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数-称为链式法则。导数是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。2 2 导数的求导法则导数的求导法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即式）。2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即式）。3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导
3、乘母-子乘母导）除以母平方（即式）。4、如果有复合函数，则用链式法则求导。高阶导数的求法1直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。一般用来寻找解题方法。2高阶导数的运算法则.常用导数公式1.y=c(c 为常数)y=02.y=xn y=nx(n-1)3.y=ax y=axlnay=ex y=ex4.y=logax y=logae/xy=lnx y=1/x5.y=sinx y=cosx6.y=cosx y=-sinx7.y=tanx y=1/cos2x8.y=cotx y=-1/sin2x第2页 共4页9.y=arcsinx y=1/1-x210.y=arccosx y=-1/1-x211.y=a
4、rctanx y=1/1+x212.y=arccotx y=-1/1+x2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=fg(x),y=fg(x)g(x)fg(x)中 g(x）看作整个变量,而 g(x)中把 x 看作变量2.y=u/v,y=uv-uv/v23.y=f(x)的反函数是 x=g(y）,则有 y=1/x证：1.显而易见,y=c 是一条平行于 x 轴的直线,所以处处的切线都是平行于 x 的,故斜率为 0.用导数的定义做也是一样的：y=c,y=c-c=0,limx0y/x=0.2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到 n 为任意实数的一般情况.在得到 y=
5、ex y=ex 和 y=lnx y=1/x 这两个结果后能用复合函数的求导给予证明.3.y=ax,y=a(x+x)-ax=ax(ax-1)y/x=ax(ax-1)/x如果直接令x0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数 ax-1 通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：x=loga(1+).所以(ax-1)/x/loga(1+)=1/loga(1+)1/显 然,当 x0时,也 是 趋 向 于0的.而lim0(1+)1/=e,所 以lim01/loga(1+)1/=1/logae=lna.把这个结果代入 limx0y/x=limx0ax(ax-1)/x 后得到 limx0y/x=axlna
6、.可以知道,当 a=e 时有 y=ex y=ex.4.y=logaxy=loga(x+x)-logax=loga(x+x)/x=loga(1+x/x)x/xy/x=loga(1+x/x)(x/x)/x因为当x0 时,x/x 趋向于 0 而 x/x 趋向于,所以 limx0loga(1+x/x)(x/x)logae,所以有limx0y/xlogae/x.可以知道,当 a=e 时有 y=lnx y=1/x.这时可以进行 y=xn y=nx(n-1)的推导了.因为 y=xn,所以 y=eln(xn)=enlnx,所以 y=enlnx(nlnx)=xnn/x=nx(n-1).5.y=sinxy=sin
7、(x+x)-sinx=2cos(x+x/2)sin(x/2)y/x=2cos(x+x/2)sin(x/2)/x=cos(x+x/2)sin(x/2)/(x/2)所以 limx0y/x=limx0cos(x+x/2)limx0sin(x/2)/(x/2)=cosx6.类似地,可以导出 y=cosx y=-sinx.7.y=tanx=sinx/cosxy=(sinx)cosx-sinx(cos)/cos2x=(cos2x+sin2x)/cos2x=1/cos2x8.y=cotx=cosx/sinxy=(cosx)sinx-cosx(sinx)/sin2x=-1/sin2x9.y=arcsinxx=
8、sinyx=cosyy=1/x=1/cosy=1/1-sin2y=1/1-x2第3页 共4页10.y=arccosxx=cosyx=-sinyy=1/x=-1/siny=-1/1-cos2y=-1/1-x211.y=arctanxx=tanyx=1/cos2yy=1/x=cos2y=1/sec2y=1/1+tan2x=1/1+x212.y=arccotxx=cotyx=-1/sin2yy=1/x=-sin2y=-1/csc2y=-1/1+cot2y=-1/1+x2另外在对双曲函数 shx,chx,thx 等以及反双曲函数 arshx,archx,arthx 等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与4.y=u 土 v,y=u土 v5.y=uv,y=uv+uv均能较快捷地求得结果.第4页 共4页