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1、反反函函数数教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）教学目标：教学目标：1了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系2会求一些简单函数的反函数3在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识4进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培养抽象、概括的能力教学重点：教学重点：求反函数的方法教学难点：教学难点：反函数的概念教学过程：教学过程：教学活动教学活动一、创设情境，引入新课一、创设情境，引入新课1复习提问函数的概念y=f(x)中各变量的意
2、义由实际问题引入新课，激发了学生学习兴趣，展示了教学目标这样既设计意图设计意图2同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函可以拨去“反函数”这一S数关系，即S=vt和t=（其中速度v是常量），在S=vt中位概念的神秘面纱，也可使v学生知道学习这一概念的S移 S 是时间 t 的函数；在t=中，时间t是位移S的函数在v必要性S这种情况下，我们说t=是函数S=vt的反函数什么是反函v数，如何求反函数，就是本节课学习的内容3板书课题第-1-页共5页二、实例分析，组织探究二、实例分析，组织探究1问题组一：（用投 影给 出 函 数y x与y x；y x与y x2（x 0）的图象）（1）这两组函数的图像
3、有什么关系？这两组函数有什么关系？（生答：y x与y x的图像关于直线 y=x 对称；y x131213123从学生熟 知的函 数出发，抽象出反函数的概念，3与y x2（x 0）的图象也关于直线 y=x 对称y x3是求一符合学生的认知特点，有利1于培养学生抽象、概括的能个数立方的运算，而y x3是求一个数立方根的运算，它们互1力为逆运算同样，y x2与y x2（x 0）也互为逆运算）3（2）由y x，已知 y 能否求 x？11（3）x y3是否是一个函数？它与y x3有何关系？（4）x y与y x3有何联系？2问题组二：13通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在“
4、最（1）函数 y=2x+1(x 是自变量)与函数 x=2y+1(y 是自变量)近发展区”设计问题，使学是否是同一函数？（2）函数y 生对反函数有一个直观的x 1(x 是自变量)与函数 x=2y+1(y 是自变粗略印象，为进一步抽象反2函数的概念奠定基础量)是否是同一函数？（3）函数y x 1（x 0）的定义域与函数y (x 1)2（x 1）的值域有什么关系？3渗透反函数的概念（教师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点）三、师生互动，归纳定义三、师生互动，归纳定义1（根据上述实例，教师与学生共同归纳出反函数的定义）函数 y=f(x)(xA A)中，设它的值域为 C C 我们根据这个
5、函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x=(y)如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x=(y)，x 在 A 中都有第-2-页共5页唯一的值和它对应，那么,x=(y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数这样的函数 x=(y)(y C C)叫做函数y=f(x)(xA A)的反函数.记作:x f1(y)考虑到“用x表示1自变量,y表示函数”的习惯，将x f成y f1(y)中的 x 与 y 对调写在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数在剖析(x)2引导分析：1）反函数也是函数
6、；2）对应法则为互逆运算；3）定义中的“如果”意味着对于一个任意的函数 y=f(x)定义的过程中，让学生体会来说不一定有反函数；函数与方程、一般到特殊的4）函数 y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f1(y)的数学思想，并对数学的符号值域、定义域；5）函数 y=f(x)与 x=f(y)互为反函数；6）要理解好符号 f1；7）交换变量 x、y 的原因3两次转换 x、y 的对应关系1语言有更好的把握通过动画演示，表格对照，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，y fx x f1y y f1x从而消化理解（原函数中的自变量 x 与反函数中的函数值 y 是等价的，原函数中的函数值 y 与反函
7、数中的自变量 x 是等价的）4函数与其反函数的关系定义域值域第-3-页共5页函数 y=f(x)函数y f 1(x)A AC CC CA A四、应用解题，总结步骤四、应用解题，总结步骤1（投影例题）【例 1】求下列函数的反函数（1）y=3x-1 (2)y=x3+1【例 2】求函数y x 1(x 0)的反函数（教师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤）2总结求函数反函数的步骤:1 由y=f(x)反解出 x=f1(y)2 把 x=f1(y)中x与y互换得y f3 写出反函数y f11通过 对具体 例题的 讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考的习惯，以
8、及归纳总结的能力(x).题目 的设计 遵循了 从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进并体现了对定义的反思理解学生思考练习，师生共同分析纠正进一步强 化反函 数的(x)的定义域.（简记为：反解、互换、写出反函数的定义域）【例 3】（1）y x2(x R)有没有反函数?（2）y x2(x 0)的反函数是_（3）y x(x0)的反函数是_五、巩固强化，评价反馈五、巩固强化，评价反馈21 已知函数 y=f(x)存在反函数，求它的反函数 y=f1(x)概念，并能正确求出反函2（1）y=-2x+3(xR)（2）y=-(xR,且 x 0)xx5(3)y=(xR,且 x)3x 536x
9、52已知函数f(x)=(xR,且 x1)存在反函数x 1y f第-4-页共5页1数反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度具体实践中可采取同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的积极性(x)，求 f(7)的值1五、反思小结，再度设疑五、反思小结，再度设疑本节课主要研究了反函数的定义，以及反函数的求解步“问题是数学的心脏”骤互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢？为什么学生带着问题走进课堂又具有这样的特点呢？我们将在下节研究（让学生谈一下本节课的学习体会，教师适时点拨）带着新的问题走出课堂六、作业六、作业习题 2.4第 1 题，第 2 题进一步巩 固所学 的知识教学设计说明教学设
10、计说明“问题是数学的心脏”一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采用了抽象的符号由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，研究性质，进而得出概念，这正是数学研究的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对照、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维使学生自然成为学习的主人第-5-页共5页