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1、二项式定理公开课教案二项式定理公开课教案（第一教时）（第一教时）一、教学目标1、理解杨辉三角形。其行为样例是：（1）能用不完全归纳法写出杨辉三角形；（2）能根据杨辉三角形对(a b)(n 6)的二项式进行展开。2、掌握二项式定理。其行为样例是：（1）能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展rrnrr开式的系数Cn(r 0,1,2,n,n N)以及二项展开式的通项Tr1 Cnab；(2)能正确n区分二项式系数和某一项的系数；（3）能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开、并求出它特定的项或系数。二、教学重点与难点1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。2、难点：二项式定理的发现。（教具：多媒体
2、课件）三、教学过程1、情景设置问题 1：若今天是星期一，再过30 天后是星期几？怎么算？预期回答：星期三，将问题转化为求“30 被 7 除后算余数”是多少。问题 2：若今天是星期一，再过8(n N)天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“8 (7 1)被 7 除后算余数”是多少，也就是研究nnn(a b)n(n N)的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。）2、新
3、授第一步：让学生展开(a b)1 a b(a b)2 a2 2ab b2；(a b)3(a b)2(a b)a33a2b 3ab2b3；(a b)4(a b)3(a b)a4 4a3b 6a2b2 4ab3b4(a b)5(a b)5(a b)a55a4b 10a3b210a2b35ab4b5教师将以上各展开式的系数整理成如下模型1112113311464115101051问题 1：请你找出以上数据上下行之间的规律。预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。问题 2：以(a b)的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关
4、系。预期回答：展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；展开式的项数比乘方指数多1 项；展开式中第二项的系数等于乘方指数。初步归纳出下式：5(a b)n an an1b an2b2 an3b3 bn（）（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习
5、：展开(a b)教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400 多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑如何展开(a b)1007以及(a b)(n N)呢？n（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。）继续新授师：为了寻找规律，我们将(a b)(a b)(a b)(a b)(a b)中第一个括号中的字母分别记成a1,b1；第二个括号中的字母分别记成a2,b2；依次类推。请再次用多项式乘法运算法
6、则计算：4(a b)4(a1 b1)(a2 b2)(a3 b3)(a4 b4)a1a2a3a4a4 a1a2a3b4 a1a2a4b3 a1a3a4b2 a2a3a4b1a3b a1a2b3b4 a1a3b2b4 a1a4b2b3 a2a3b1b4 a2a4b1b3 a3a4b1b2a2b2 a1b2b3b4 a2b1b3b4 a3b1b2b4 a4b1b2b3ab3 b1b2b3b4b4（设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。）问题 1：以a b项为例，有几种
7、情况相乘均可得到a b项？这里的字母a,b各来自哪个括号？问题 2：既然以上的字母a,b分别来自 4 个不同的括号，a b项的系数你能用组合数来表示吗？问题 3：你能将问题 2 所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：预期答案：有有 4 4 个括号，每个括号中有两个字母，一个是个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是、一个是b。每个括号。每个括号只能取一个字母，任取两个只能取一个字母，任取两个a、两个、两个b，然后相乘，问不同的取法有几种？，然后相乘，问不同的取法有几种？）问题 4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子：222222(a b)4(a b)(a
8、 b)(a b)(a b)a4 a3b a2b2 ab3 b4括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。呈现二项式定理板书课题：0n1n12n22rnrrnn(a b)n Cna Cnab Cnab Cnab Cnb(n N)。3、深化认识请学生总结：二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。）4、巩固应用【例 1】展开(1
9、1614)(2 x xx7【例 2】求(1 2x)的展开式的第 4 项的系数及第 4 项的二项式系数。求(x)的展开式中含x项的系数。1x93变式：在二项式定理中，令a 1,b x，得到怎样的公式？122rrnn(1 x)n1 Cnx Cnx Cnx Cnx012rn思考：CnCn Cn Cn Cn?为什么？12rnCn Cn Cn Cn?nn0n1n1n1n【例 3】解决起始问题：8 (7 1)Cn7 Cn7 Cn7 Cn，n前面是 7 的倍数，因此余数为Cn1，故应该为星期二。说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。四、课堂小结本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。二项式定理的表达式以及展开式的通项，要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。五、布置作业（略）