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1、空间向量考纲导读考纲导读1 1理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘2 2了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算3 3掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式证明平行与垂直高考导航高考导航理解空间向定义、加法、减法、数乘运算空间向量数量积坐标表示：夹角和距离公式求空间角量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解求距离空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.第第 1 1 课时课时空间向量及其运算空间向量及其运算基础过
2、关基础过关空间向量是平面向量的推广在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量 因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广本节知识点是：1 1空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1)向量：具有和的量(2)向量相等：方向且长度(3)向量加法法则：(4)向量减法法则：(5)数乘向量法则：3 3共线向量2 2线性运算律(1)加法交换律：ab(2)加法结合律：(ab)c(3)数乘分配律：(ab)(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab 等价于存在实数，使(3)直线的向量参数方程：设直线
3、l 过定点 A 且平行于非零向量 a，则对于空间中任意一点O，点 P 在 l 上等价于存在tR，使4 4共面向量(1)共面向量：平行于的向量(2)共面向量定理：两个向量a、b 不共线，则向量 P 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对(x,y)，使P共面向量定理的推论：5 5空间向量基本定理(1)空间向量的基底：的三个向量(2)空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使空间向量基本定理的推论：设 O，A，B，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点 P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使6 6空间向量的数量积(1)空
4、间向量的夹角：(2)空间向量的长度或模：(3)空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则 ab空间向量的数量积的常用结论：(a)cosa、b；(b)a2；(4)空间向量的数量积的运算律：(a)交换律 ab；(b)分配律 a(bc)(c)ab例例典型例题典型例题1 1已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 F 是侧面 CDD1C1的中心，若AF AD xAB yAA1，求 xy 的值.解：解：易求得x y,x y 012变式训练变式训练 1.1.在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M 为 AC 与 BD 的交点，若A1B1a，A1D1b，A1A c，则下列向量中与B1M相等的向
5、量是()A1a1bc B1a1bc2222AB1C1C1a1bc22D1a1bc22ADBC解：解：A例例 2.2.底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D 为 AC 的中点，求证：AB1平面 C1BD.证明：证明：记AB a,AC b,AA1 c,则AB1 a c,DB AB AD a 1b,2DC1 DC CC11b c2DB DC1 a c AB1,AB1,DB,DC1共面.B1平面 C1BD,AB1/平面 C1BD.变式训练变式训练 2 2：正方体 ABCDEFGH 中，M、N 分别是对角线 AC 和 BE 上的点，且 AMEN(1)求证：MN平面 FC；(2)求证：MNAB；(
6、3)当 MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？解：解：(1)设NBMC k,则MN (k 1)BC kBF.EBAC(2)MN AB (k 1)BC AB kBF AB 0.(3)设正方体的边长为 a,也即AM 21aAC时，MN22min例例 3.3.已知四面体 ABCD 中，ABCD，ACBD，G、H 分别是ABC 和ACD 的重心求证：(1)ADBC；(2)GHBD证明：证明：(1)ADBC所以 ADBCADBC 0因为 ABCD ABCD 0，AC BD ACBD 0，而ADBC (AB BD)(BD DC)0(2)设 E、F 各为 BC 和 CD 的中点欲证 GHBD，只需证
7、 GHEF，GH GA AH(EA AF)232EF3变式训练变式训练 3 3：已知平行六面体ABCD A1B1C1D1，E、F、G、H 分别为棱A1D1,D1C1,C1C和AB的中点求证：E、F、G、H四点共面解：解：HG HC CGHC GC1HC GF FC1A1F FC1GF2EF GF，所以EF,EG,EH共面，即点 E、F、G、H 共面例例 4.4.如图，平行六面体 AC1中，AE3EA1，AFFD，AG1GB，过 E、F、G 的平面与对角线 AC1交于点 P，求 AP:PC12的值解：解：设AP mAC143C1D143B1A1BGAP 3mAG mAE 2mAFCEP又E、F、
8、G、P 四点共面，3m m 2m 1m 3APPC131619DFA变式训练变式训练 4 4：已知空间四边形 OABC 中，M 为 BC 的中点，N 为 AC 的中点，P 为 OA 的中点，Q 为 OB 的中点，若 ABOC，求证PM QN12法二：PMQN(PQQM)(QMMN)证明：证明：法一：OM(OB OC)PM PO OM 1(AB OC)2(ABOC)(OC BA)1212(OC AB)0故PM QN1422小结归纳小结归纳1立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明对于垂直，一般是利用abab0 进行证明对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明2运用向量求
9、解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果3利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosabab4异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB 为其公垂线段，C、D 分别为 l1、l2上的任意一点，n为与AB共线的向量，则AB|CDn|.|n|5设平面 的一个法向量为n，点 P 是平面 外一点，且 Po，则点 P 到平面 的距离是
10、d|PoPn|n|.第第 2 2 课时课时空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算基础过关基础过关设 a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)(1)ab(2)a(3)ab(4)ab；ab(5)设A(x1,y1,z1),B (x2,y2,z2)则AB，AB AB 的中点 M 的坐标为典型例题典型例题例例 1.1.若a(1,5,1)，b(2,3,5)（1）若(ka+b)(a3b)，求实数 k 的值；（2）若(ka+b)(a3b)，求实数 k 的值；（3）若ka b取得最小值，求实数 k 的值解：解：(1)k ；(2)k 1068；(3)k 32713变式训练变式训练 1.1.已知O为原点，向量O
11、A3,0,1,OB 1,1,2,OC OA,BCOA，求AC解：解：设OC x,y,z,BC x1,y1,z2，OC OA,BCOA，OCOA 0，BC OAR，3x z 0,x1 3,3x z 0,，即x1,y1,z 23,0,1y 1 0,z 2.7211,。解此方程组，得x ,y 1,z 101010OC 2173711,1,，AC OC OA,1,。10101010例例 2.2.如图，直三棱柱ABC A1B1C1，底面ABC中，CACB1，BCA 90，棱AA1 2，M、N 分别 A1B1、A1A 是的中点(1)求 BM 的长；(2)求cosBA1,CB1的值；(3)求证：A1B C1
12、NA1MCAC1NzB1By解：解：以 C 为原点建立空间直角坐标系O xyz.(1)依题意得 B（0，1，0），M（1，0，1）BM(10)2(01)2(10)23.(2)依题意得 A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.cos BA1,CB1BA1CB1BA1 CB130.101 12 21 12 2(3)证明：依题意得 C1（0，0，2），N(,2),A1B (1,1,2),C1N (,0).变式训练变式训练 2.2.在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱PA底面 ABCD，AB3，BC1，PA2，E 为 PD 的中点(1)在侧面 PA
13、B内找一点 N，使 NE面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离；(2)求(1)中的点 N 到平面 PAC的距离解：解：(1)建立空间直角坐标系ABDP，则A、B、C、D、P、E 的坐标分别是 A(0,0,0)、B(0)、P(0,0,2)、E(0,NE AP 0NE AC 012PE3D3C,1,0)、D(0,1,B,0,0)、C(A,1)，依题设 N(x,0,z)，则NE(x,12,1z)，由于 NE平面 PAC，1z 1 0(x,1 z)(0,0,2)02即1(x,1,1 z)(3,1,0)03x 2 023x 6z 1，即点 N 的坐标为(36,0,1)，36从而 N 到 A
14、B、AP 的距离分别为 1，.(2)设 N 到平面 PAC的距离为 d，则 d|NA NE|NE|331,0,1)(,0)|136623 121231|(,0)|62|(.例例 3.3.如图，在底面是棱形的四棱锥P ABCD中，ABC 60,PA AC a,PB PD 2a，点 E 在PD上，且PE:ED2:1P(1)证明PA 平面ABCD；(2)求以 AC 为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；(3)在棱 PC 上是否存在一点 F，使BF平面AEC？证明你的结论解：解：（1）证明略；（2）易解得 30；BCAED（3）解以 A 为坐标原点，直线AD,AP分别为 y 轴、z 轴，过 A 点垂
15、直于平面 PAD的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系（如图）由题设条件，相关各点的坐标为所以AE(0,a,a)，AC(BP(23133131a,a,0)，AP(0,0,a),PC(a,a,a)22223131a,a,a)，设点 F 是棱PC上的点，PF PC(a,a,a)，其中01，则222233a(1)a12231121BF BP PF (a(1),a(1),a(1)令BF 1AC 2AE得a(1)a1a2232221a(1)a23解得,1,212123113，即时，BF AC AE 亦即，F 是 PC 的中点时，BF,AC,AE共面，又BF 平面AEC，2222所以当 F 是 PC 的中点
16、时，BF平面AEC例例 4.4.如图，多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得，其中 AB4，BC1，BE3，CF4.(1)求EF和点 G 的坐标；(2)求 GE 与平面 ABCD 所成的角；(3)求点 C 到截面 AEFG 的距离解：解：(1)由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，E(1，4，3)，F(0，4，4)EF (1,0,1)又AG EF，设 G(0，0，z)，则(1，0，z)(1，0，1)z1G(0，0，1)(2)平面 ABCD 的法向量DG (0,0,1).GE (1,4,2)，设 GE 与平面 ABCD 成角为，则FZGDAxBECycos(2)DG
17、GE|DG|GE|2 2121 arcsin2 2121(3)设n0面 AEFG，n0(x0，y0，z0)n0AG，n0AE，而AG(1，0，1)，AE(0，4，3)x0z0 x0z0 03n0(z0,z0,z0)344y03z0 0y0 z04PAGFD取 z04，则n0(4，3，4)BCF (0,0,4),d|CF n0|n0|16 4141EC即点 C 到截面 AEFG 的距离为16 4141变式训练变式训练 4.4.如图四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG平面 ABCD，垂足为G，G 在 AD 上，且PG4，AG 1GD，BGGC，GBGC2，E 是 BC 的中点3
18、(2)求点 D 到平面 PBG 的距离；(1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值；(3)若 F 点是棱 PC 上一点，且 DFGC，求PF的值FCGC、GP为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，解：解：(1)以 G 点为原点，GB、GE PCP(0，0，4)，故 E(1，1，0)，GE(1，1，0)，PC(0，2，4)。cosGE，PC|GE|PC|210，102 20GE 与 PC 所成的余弦值为1010(2)平面 PBG 的单位法向量 n(0，1，0).33333AD BC(，0)，点 D 到平面 PBG 的距离为|GD n|.442
19、223333(3)设 F(0，y，z)，则DF(0，y，z)(，0)(，y，z)。222233DF GC，DF GC 0，即(，y，z)(0，2，0)2y 30，2233y,又PF PC，即(0，z4)(0，2，4)，z=1，22GD 3 531PF3故 F(0，1)，PF (0，23。3)，FC(0，1)，PC22252小结归纳对于以下几类立体几何问题：(1)共线与共面问题；(2)平行与垂直问题；(3)夹角问题；(4)距离问题；(5)探索性问题运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势 用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决 在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程