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1、3.43.4 基本不等式基本不等式ab 第 1 课时ab2授课类型：授课类型：新授课【教学目标】【教学目标】1知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab【教学难点】【教学难点】基本不等式ab【教学过程】【教学过程】ab的证明过程；2ab等号成立条件21.1.课题导入课题导入基本不等式ab ab的几何背景：2如图是在北京召
2、开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积面积的关系去找相等关系或不等关系。2.2.讲授新课讲授新课1探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为a2b2。这样，4 个直角三角形的面积的和是 2ab，正方形的面积为a b。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a b 2ab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即
3、a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2222a2b2 2ab。2得到结论：一般的，如果a,bR,那么a b 2ab(当且仅当a b时取号)3思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为a b 2ab (a b)当22222a b时,(ab)2 0,当a b时,(ab)2 0,所以，(a b)0，即(a b)2ab.41 1）从几何图形的面积关系认识基本不等式ab 222ab2特别的，如果 a0,b0,我们用分别代替 a、b，可得ab 2 ab，ab(a0,b0)2ab 2 2）从不等式的性质推导基本不等式ab 2通常我们把上式写作：ab 用分析法证明：abab (1)2只要证 a+b (
4、2)要证（2），只要证 a+b-0（3）要证要证（3），只要证（-）2（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。3 3）理解基本不等式ab ab的几何意义2探究：探究：课本第 110 页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点，AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于AB 的弦 DE，连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab 何解释吗？2易证tADtDB，那么DAB即Dab.这个圆的半径为ab的几2a ba b，显然，它大于或等于CD，即ab，其中当且仅当点C与22ab几何意义是“半径不小于半弦半径不小于半弦”2圆心重合，即ab时，等
5、号成立.因此：基本不等式ab 评述：评述：1.如果把a b看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，2a b为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本2那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.补充例题例 1已知x、y都是正数，求证：(1)yx2；xy(2)（xy）（xy）（xy）x y.分析：在运用定理：223333a bab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把2xy22330，0，x0，y0，x0，y0yx握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：x，
6、y都是正数(1)xyxyxy 22 即2.yxyxyx(2)xy20 xy0 x2y22x2y20 x3y32x3y3（xy）（xy）（xy）2xy2x2y22x3y3x y223333即（xy）（xy）（xy）x y.2233333.3.随堂练习随堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证（ab）（bc）（ca）abc分析：对于此类题目，选择定理：果.解：a，b，c都是正数ab2ab0a bab（a0，b0）灵活变形，可求得结2bc2bc0ca2ac0（ab）（bc）（ca）2ab2bc2acabc即（ab）（bc）（ca）abc.4.4.课时小结课时小结本节课，我们学习了重要不等式ab2ab；
7、两正数a、b的算术平均数（几何平均数（ab）及它们的关系（22a b），2a bab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、2b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问a2 b2a b2题：ab，ab（）.225.5.评价设计评价设计课本第 113 页习题A组的第 1 题课题:3.43.4 基本不等式基本不等式ab 第 2 课时授课类型：授课类型：新授课【教学目标】【教学目标】1知识与技能：进一步掌握基本不等式ab 能够解决一些简单的实际问题2过程与方法：通过两个例题的研究，进
8、一步掌握基本不等式ab ab2ab；会应用此不等式求某些函数的最值；2ab，并会用此定2理求某些函数的最大、最小值。3情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点】【教学重点】基本不等式ab【教学难点】【教学难点】利用基本不等式ab【教学过程】【教学过程】ab的应用2ab求最大值、最小值。21.1.课题导入课题导入1重要不等式：如果a,bR,那么a b 2ab(当且仅当a b时取号)2基本不等式：如果 a,b 是正数，那么 22a bab(当且仅当a b时取号).2a b为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均
9、数2a b2ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者a2 b2 2ab和要求 a,b 都是正数。2.2.讲授新课讲授新课例 1（1）用篱笆围成一个面积为100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 xy=100，篱笆的长为 2（x+y）m。由2x yxy，2可得x y 2 100，2(x y)40。等号当且仅当 x=y 时成立，此时 x=y=10.因此，这个矩形的长、
10、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为xm，则长为（362x）m，其中 0 x1，其2112x362x2362)面积Sx（362x）2x（362x）(2822当且仅当 2x362x，即 x9 时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为 9 m 时菜园面积最大为 81 m2解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为 y m,则 2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜园的面积为 xym2。由xy x y18 9，可得xy 8122当且仅当 x=y,即 x=y=9 时，等号成立。因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m2归纳：归纳：1.
11、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，bR R，且abM，MM2为定值，则ab，等号当且仅当ab时成立.42.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，bR R，且abP，P为定值，则ab2P，等号当且仅当ab时成立.例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为 3m，如果池底每1m2的造价为 150 元，池壁每 1m2的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为 l 元，根据
12、题意，得l 240000720(x 1600)x 240000 7202 x1600 x 240000 720240 297600当x 1600,即x 40时,l有最小值2976000.x因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600元评述评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。归纳：归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象
13、为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.3.3.随堂练习随堂练习1.已知x0，当x取什么值时，x2课本第 113 页的练习 1、2、3、4281的值最小?最小值是多少?2x4.4.课时小结课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应
14、具备三个条件：一正二定三取一正二定三取等。5.5.评价设计评价设计课本第 113 页习题A组的第 2、4 题课题:3.43.4 基本不等式基本不等式ab 第 3 课时授课类型：授课类型：习题课【教学目标】【教学目标】1知识与技能：进一步掌握基本不等式ab ab2ab；会用此不等式证明不等式,会应用此2ab，并会用此定理求2不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；2过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式ab 某些函数的最大、最小值。3情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点】【教学重点】掌握基
15、本不等式ab ab，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值2【教学难点】【教学难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。【教学过程】【教学过程】1.1.课题导入课题导入1基本不等式：如果 a,b 是正数，那么a bab(当且仅当a b时取号).22用基本不等式ab ab求最大（小）值的步骤。22.2.讲授新课讲授新课1 1）利用基本不等式证明不等式）利用基本不等式证明不等式246m 24。m24思维切入因为 m0,所以可把和6m分别看作基本不等式中的a 和 b,直接利用基本不m例 1已知 m0,求证等式。证明因为 m0,，由基本不等式得24246m 26m 2 246 212 24
16、mm当且仅当24=6m，即 m=2 时，取等号。m246m=144 为定值的前提条件。m规律技巧总结规律技巧总结注意：m0 这一前提条件和3.3.随堂练习随堂练习1 1思维拓展 1已知 a,b,c,d 都是正数，求证(abcd)(acbd)4abcd.思维拓展 2求证(a b)(c d)(ac bd).例 2求证:222224a 7.a3思维切入由于不等式左边含有字母 a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44a(a3)3.这样变形后,在用基本不等式即可得证.a3a34443(a3)3 2g(a3)3 2 4 3 7a3a3a3证明当且仅当4=a-3 即 a=5 时,等号成
17、立.a3规律技巧总结规律技巧总结通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)2)利用不等式求最值利用不等式求最值9的最小值;x9 (2)若 x0,求f(x)4x思维切入本题(1)x0 和4x9=36 两个前提条件;(2)中 x0 来转化.x解1)因为 x0 由基本不等式得f(x)4x99939 2 4x 2 36 12,当且仅当4x 即 x=时,f(x)4x取xxx2x最小值 12.(2)因为 x0,由基本不等式得:999 f(x)(4x)(4x)()2(4x)()2 36 12,xxx所以f(x)12.当且仅当4x 规律技巧总结规律技巧总结利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.939即 x=-时,f(x)4x取得最大-12.x2x随堂练习随堂练习2 2思维拓展 1求f(x)4x思维拓展 2若 x0,y0,且9(x5)的最小值.x5281,求 xy 的最小值.xy4.4.课时小结课时小结用基本不等式ab ab证明不等式和求函数的最大、最小值。25.5.评价设计评价设计证明：a b 2 2a2b若x 1，则x为何值时x 221有最小值，最小值为几？x 1