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1、勾股定理经典例题类型一：勾股定理的直接用法类型一：勾股定理的直接用法 1 1、在、在 RtRtABCABC 中，中，C=90C=90 (1)(1)已知已知 a=6a=6，c=10 c=10，求，求 b b，(2)(2)已知已知 a=40a=40，b=9b=9，求，求 c c；(3)(3)已知已知 c=25c=25，b=15b=15，求，求 a.a.思路点拨思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。举一反三举一反三【变式】【变式】:如图如图B B=ACDACD=90=90,ADAD=13,
2、=13,CDCD=12,=12,BCBC=3,=3,则则 ABAB 的长是多少的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用类型二：勾股定理的构造应用 2 2、如图，已知：在、如图，已知：在中，中，.求：求：BCBC的长的长.1 1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价 a a 元，则购买这种草元，则购买这种草皮至少需要（皮至少需要（）A A、450a450a 元元B B、225a225a 元元C C、150a150a 元元，D D、300a
3、300a 元元于于P P.求证：求证：20m15030m举一反三【变式举一反三【变式 1 1】如图，已知：】如图，已知：.【变式【变式 2 2】已知：如图，】已知：如图，B=B=D=90D=90，A=60A=60，AB=4AB=4，CD=2CD=2。求：四边形。求：四边形 ABCDABCD 的面积。的面积。类型三：勾股定理的实际应用类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A A 点出发，沿北偏东点出发，沿北偏东 6060方向走了方向走了了了 5
4、00m500m 到达目的地到达目的地 C C 点。点。（1 1）求）求 A A、C C 两点之间的距离。两点之间的距离。（2 2）确定目的地）确定目的地 C C 在营地在营地 A A 的什么方向。的什么方向。三三第 1 页举举 一一 反反【变式】【变式】到达到达 B B 点，然后再沿北偏西点，然后再沿北偏西 3030方向走方向走一辆装满货物的卡车，其外形高一辆装满货物的卡车，其外形高 2.52.5 米，宽米，宽 1.61.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?（二）用勾股定理求最短问题（二）用勾股定理求
5、最短问题 4 4、如图，一圆柱体的底面周长为、如图，一圆柱体的底面周长为 20cm20cm，高为，高为 4cm4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C C，试，试求出爬行的最短路程求出爬行的最短路程类型四：利用勾股定理作长为类型四：利用勾股定理作长为的线段的线段 5 5、作长为、作长为、的线段。的线段。作法：如图所示作法：如图所示的点。的点。举一反三举一反三【变式】在数轴上表示【变式】在数轴上表示解析：可以把解析：可以把看作是直角三角形的斜边，看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，
6、为了有利于画图让其他两边的长为整数，而而 1010 又是又是 9 9 和和 1 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3 3 和和 1 1。作法：如图所示在数轴上找到作法：如图所示在数轴上找到 A A 点，使点，使 OA=3OA=3，作，作 ACACOAOA 且截取且截取 AC=1AC=1，以，以 OCOC 为半径，为半径，以以 O O 为圆心做弧，弧及数轴的交点为圆心做弧，弧及数轴的交点 B B 即为即为类型五：逆命题及勾股定理逆定理类型五：逆命题及勾股定理逆定理 6 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
7、1 1原命题：猫有四只脚原命题：猫有四只脚（正确）（正确）2 2原命题：对顶角相等（正确）原命题：对顶角相等（正确）3 3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）（正确）4 4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）（正确）7 7、如果、如果ABCABC 的三边分别为的三边分别为 a a、b b、c c，且满足，且满足 a a+b+b+c+c+50=6a+8b+10c+50=6a+8b+10c，判断，判断ABCABC 的形状。的形状。举一反三【变式举一反三【变式
8、1 1】四边形】四边形 ABCDABCD 中，中，B=90B=90，AB=3AB=3，BC=4BC=4，CD=12CD=12，AD=13AD=13，求四边形，求四边形 ABCDABCD 的面积。的面积。第 2 页2 22 22 2。【变式【变式 2 2】已知】已知:ABCABC的三边分别为的三边分别为 m m n n,2mn,m,2mn,m+n+n(m,n(m,n 为正整数为正整数,且且 m mn),n),判断判断ABCABC是否为直角三角形是否为直角三角形.2 22 22 22 2【变式【变式 3 3】如图正方形】如图正方形 ABCDABCD，E E 为为 BCBC 中点，中点，F F 为为
9、 ABAB 上一点，且上一点，且 BF=BF=请问请问 FEFE 及及 DEDE 是否垂直是否垂直?请说明。请说明。【答案】答：【答案】答：DEDEEFEF。证明：设证明：设 BF=aBF=a，则，则 BE=EC=2a,AF=3aBE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,AB=4a,EF EF=BF=BF+BE+BE=a=a+4a+4a=5a=5a；DE DE=CE=CE+CD+CD=4a=4a+16a+16a=20a=20a。连接连接 DFDF（如图）（如图）DF DF=AF=AF+AD+AD=9a=9a+16a+16a=25a=25a。DF DF=EF=EF+DE+DE,FE FEDEDE
10、。练习练习一、判断直角三角形问题：一、判断直角三角形问题：1 1、.满足下列条件的满足下列条件的ABCABC，不是直角三角形的是，不是直角三角形的是A.A.b b=c ca a2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2ABAB。B.B.a ab bc c=3=34 45 C.5 C.C C=A AB BD.D.A AB BC C=12=12131315152 22 22 22 22 2、若一个三角形的三边长的平方分别为：、若一个三角形的三边长的平方分别为：3 3，4 4，x x则此三角形是直角
11、三角形的则此三角形是直角三角形的x x的值是的值是A.4A.42 2B.5B.52 2C.7C.72 22 2D.5D.5 或或 7 72 23 3、如果、如果ABCABC的三边分别为的三边分别为m m1 1，2 m2 m，m m+1(+1(m m1)1)那么那么A.A.ABCABC是直角三角形，且斜边长为是直角三角形，且斜边长为m m+1 B.+1 B.ABCABC是直角三角形，且斜边长是直角三角形，且斜边长 2 2 为为m m2 2C.C.ABCABC是直角三角形，但斜边长需由是直角三角形，但斜边长需由m m的大小确定的大小确定 D.D.ABCABC不是直角三角形不是直角三角形4 4、已知
12、、已知 RtRtABCABC 中，中，C=90C=90，若，若 a+b=14cma+b=14cm，c=10cmc=10cm，则，则 RtRtABCABC 的面积是（的面积是（）A A、24cm24cm2 2B B、36cm36cm2 22 2C C、48cm48cm2 22 22 22 2D D、60cm60cm2 25 5、下面几组数、下面几组数:7,8,9;7,8,9;12,9,15;12,9,15;m m+n+n,m,m n n,2mn(m,n,2mn(m,n均为正整数均为正整数,m,mn);n);a,a三边长的是三边长的是()A.()A.;B.;B.;C.;C.;D.;D.6 6、三角
13、形的三边长为三角形的三边长为(a b)2221,a2 2.其中能组成直角三角形的其中能组成直角三角形的 c2 2ab,则这个三角形是则这个三角形是()()A.A.等边三角形等边三角形;B.;B.钝角三角形钝角三角形;C.;C.直角三角形直角三角形;D.;D.锐角三角形锐角三角形.7 7、已知、已知x6 y 8(z 10)2 0,则由此则由此x,y,z为三边的三角形是为三边的三角形是三角形三角形.2 22 22 29 9、已知、已知a a，b b，c c为为ABCABC三边，且满足三边，且满足a a+b b+c c+338=10+338=10a a+24+24b b+26+26c c.试判断试判
14、断ABCABC的形状的形状.1010、若、若ABCABC的三边长为的三边长为a a,b b,c c，根据下列条件判断，根据下列条件判断ABCABC的形状的形状.第 3 页（1 1）a a+b b+c c+200=12+200=12a a+16+16b b+20+20c c(2)(2)a aa a b b+ababacac+bcbcb b=0=02 22 22 23 32 22 22 22 23 31111、已知，、已知，ABCABC 中，中，AB=17cmAB=17cm，BC=16cmBC=16cm，BCBC 边上的中线边上的中线 AD=15cmAD=15cm，试说明，试说明ABCABC 是等
15、腰三角形。是等腰三角形。经典例题精析经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1 1、若直角三角形两直角边的比是、若直角三角形两直角边的比是 3 3：4 4，斜边长是，斜边长是 2020，求此直角三角形的面积。，求此直角三角形的面积。举一反三举一反三【变式【变式 1 1】等边三角形的边长为】等边三角形的边长为 2 2，求它的面积。，求它的面积。注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a a，则其面积为，则其面积为a a。【变式【变式 2 2】直角三角形周长为】直角三角形周长为 12cm12cm，斜边长为，
16、斜边长为 5cm5cm，求直角三角形的面积。，求直角三角形的面积。【变式【变式 3 3】若直角三角形的三边长分别是】若直角三角形的三边长分别是 n+1n+1，n+2n+2，n+3n+3，求，求 n n。总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。先确定斜边，直角边。【变式【变式 4 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A A、8
17、8，1515，17 B17 B、4 4，5 5，6 C6 C、5 5，8 8，10 D10 D、8 8，3939，4040类型二：勾股定理的应用类型二：勾股定理的应用 2 2、如图，公路、如图，公路 MNMN 和公路和公路 PQPQ 在点在点 P P 处交汇，且处交汇，且QPNQPN3030，点，点 A A 处有一所中学，处有一所中学，APAP160m160m。假设拖拉机行驶时，周围。假设拖拉机行驶时，周围 100m100m 以内会受以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MNMN 上沿上沿 PNPN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已
18、知拖拉机的速度为方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？，那么学校受影响的时间为多少秒？总结升华总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾构造直角三角形以便利用勾股定理。股定理。举一反三举一反三【变式【变式 1 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内
19、走出了一条“路”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了。他们仅仅少走了_步路（假设步路（假设 2 2 步为步为 1m1m），却踩伤了花草。，却踩伤了花草。【答案】【答案】4 4【变式【变式 2 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。形。（1 1）直接写出单位正三角形的高及面积。）直接写出单位正三角形的高及面积。（2 2）图中的平行四边形）图中的平行四边形 ABCDABCD 含有多少个单位正三角形？平
20、行四边形含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCDABCD 的面积是多少？的面积是多少？（3 3）求出图中线段）求出图中线段 ACAC 的长（可作辅助线）的长（可作辅助线）。第 4 页类型三：数学思想方法类型三：数学思想方法方程的思想方法方程的思想方法 4 4、如图所示，已知、如图所示，已知ABCABC 中，中，C=90C=90，A=60A=60，思路点拨：由思路点拨：由，再找出，再找出、的关系即可求出的关系即可求出解：在解：在 RtRtABCABC 中，中，A=60A=60，B=90B=90-A=30A=30，则则因为因为，由勾股定理，得，由勾股定理，得，所以，所以，和和，求，求、的值。的
21、值。的值。的值。，。总结升华：在直角三角形中，总结升华：在直角三角形中，3030的锐角的所对的直角边是斜边的一半。的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边【变式】如图所示，折叠矩形的一边 ADAD，使点，使点 D D 落在落在 BCBC 边的点边的点 F F 处，已知处，已知 AB=8cmAB=8cm，BC=10cmBC=10cm，求，求 EFEF 的长。的长。解：因为解：因为ADEADE 及及AFEAFE 关于关于 AEAE 对称，所以对称，所以 AD=AFAD=AF，DE=EFDE=EF。因为四边形因为四边形 ABCDABCD 是矩形，所以是矩
22、形，所以B=B=C=90C=90，在在 RtRtABFABF 中，中，AF=AD=BC=10cm AF=AD=BC=10cm，AB=8cmAB=8cm，所以所以设设，则，则，即，即即即 EFEF 的长为的长为 5cm5cm。，解得，解得。所以所以。在在 RtRtECFECF 中，中，三、折叠问题三、折叠问题1 1、已知，如图长方形、已知，如图长方形 ABCDABCD 中，中，AB=3cmAB=3cm，AD=9cmAD=9cm，将此长方形折叠，使点，将此长方形折叠，使点 B B 及点及点 D D 重合，折痕为重合，折痕为 EFEF，则，则ABEABE 的面积为（的面积为（）A A、6cm6cm2
23、 2B B、8cm8cm2 2C C、10cm10cm2 2D D、12cm12cm2 2AED2 2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cmAC=6cm，BC=8cmBC=8cm，现将直角边，现将直角边 ACAC 沿直线沿直线 ADAD 折叠，使它落在斜边折叠，使它落在斜边 ABAB 上上,且及且及 AEAE 重合重合,你能你能求出求出 CDCD 的长吗？的长吗？CF第题图AB=8cmAB=8cm，BC=10 cmBC=10 cm，求，求 ECEC3 3、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边 ADAD 使点使点 D D 落在落在 BCBC 边的点边的点 F F11处，已知处，已知的长的长B第 5 页