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1、初三数学竞赛试题初三数学竞赛试题一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题2 分，共 20 分)1.下列各式中，最简二次根式为()A.B.C.10.如图，AB 是O 的弦，C 是 AB 的三等分点，连结 OC 并延长交O 于点 D。若 OC=3，CD=2，则圆心 O 到弦 AB 的距离是()A.62 B.9-2C.7D.25-32二、填空题(每小题 2 分，共 20 分)11.已知点 P(-3,2)，点 P是点 P 关于原点的对称点，则点 P的坐标是_。12.如果把一个圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，展开在一个平面上，那么它的展开图是一个_
2、形。aD.62.方程(x+1)x=0 的根是()A.x1=1，x2=0 B.x1=-1，x2=1 C.x1=-1，x2=0D.x1=x2=03.如图，PA、PB 分别切O 于 A、B，点 C 为优弧上一点，ACB=60，则APB 的度数是()A.60B.120C.30或 120D.3024.二次函数 y=-x-4x+2 的顶点坐标、对称轴分别是()A.(-2,6)，x=-2B.(2,6)，x=2 C.(2,6)，x=-2 D.(-2,6)，x=25.已知 RtABCRtABC，C=C=90，且AB=2AB，则sinA与 sinA的关系为()A.sinA=2sinA B.2sinA=sinAC.
3、sinA=sinA D.不确定6.在下面四种边长相等的正多边形的组合中，能作平面镶嵌的组合是()13.函数的自变量 x 的取值范围是_。14.方程组的解是_。7.如图，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，过点P 做 x 轴的垂线 PQ 交双曲线y=1于点 Q，连结 OQ，当点 P 向右运动时，RtQOP的面积()x15.正六边形的半径为 1cm，它的边心距等于_cm。216.二次函数 y=ax+bx+c 的图象如图所示，那么直线y=bx+c 不经过第_象限。17.已知圆的直径为 13cm，圆心到直线 l 的距离为 6cm，那么直线 l 和这个圆的公共点的个数有_个。18.已知 5x-xy-6
4、y=0，则22A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.保持不变D.无法确定8.已知O1和O2的半径分别为 2 和 m，圆心距为 n，且 2 和 m 都2是方程 x-10 x+n=0 的两根，则两圆的位置关系是()A.相交B.外离C.内切 D.外切9.将某氢氧化钠溶液加水，则描述溶液 pH 值与加水量(m)间变化规律的图象大致是()y的值为_。x19.ABC 内接于O，D 是 BC 边上的中点，若ABC+DAC=90，则ABC是_三角形。20.如图，等边ABC边长为 10cm，以 AB 为直径的O分别交 CA、CB 于 D、E 两点，则图中阴影部分的面积(结果2保留)是_cm。三、(第 21 小题 8
5、分，第 22 小题 10 分，共 18 分)21.当 x=22时，求的值。22.已知线段 AB 是O 的弦，点 P 是优弧上一个动点(P 不与 A、B 重合)，直线 l 是APB 的平分线。(1)画图并证明：当点 P 在优弧上运动时，APB 的平分线 l 过定点 Q；(2)当点 P 在优弧上运动时，APQ 的面积能否取得最大值，如果能，请用尺规作图确定点 P 在O 上的位置；如果不能，请说明理由。四、(10 分)23.在某文具商场中，每个画夹定价为20 元，每盒水彩定价为5 元。为促进销售，商场制定两种优惠方案：一种是买一个画夹赠送一盒水彩；另一种是按总价 92付款。一个美术教师欲购买画夹4
6、个，水彩若干盒(不少于 4 盒)。(1)设购买水彩数量为 x(盒)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中的 y 与 x 的函数关系式；(2)如果购买同样多的水彩，哪种方案更省钱？五、(10 分)24.如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB(见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺。(1)请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用m,n,表示，角用,表示，测倾器高度忽略不计)；(2)根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB(用字母表示)。
7、六、(11 分)25.如图，已知 A 为优弧中点，且 AB=BC，E 为劣弧上一点。(1)求证：AE=BE+CE(2)试猜想，当点 E 在优弧上运动时，线段 AE、BE、CE 之间具有怎样的关系，画图并证明你的猜想。七、(11 分)26.甲、乙两辆公共汽车分别自A、B 两地同时出发，相向而行。甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进。各车到达对方的出发点等候30 分钟立即依原路返回。当甲车行驶 65 千米后又与乙车相遇，求A、B 两地距离。参考答案一、选择题(20 分)1.B2.C3.A4.A5.C6.C7.C8.B9.A10.C二、填空题(20 分)11.(3,-2)12.扇13.0 x6
8、，且 x414.x=4，y=-1；或 x=-1，y=415.16.二17.218.或 119.等腰20.三、21.(8 分)解：.4 分当 x=2时，原式=.4 分22.(12 分)解：(1)图形2 分设 P 是O 上任意点，Q 为 l 与O 的交点3 分APQ=BPQQ 为中点即APB 的平分线过点 Q6 分(2)能取得最大值8 分12 分四、23.(10 分)解：(1)按优惠方案可得y1=204+(x-4)5=5x+60(x4)2 分按优惠方案可得y2=(5x+204)92%=4.6x+73.6(x4)4 分(2)比较y1-y1=0.4x-13.6(x4)令 y1-y1=0，得 x=347
9、 分当购买 34 盒水彩时，两种优惠方案付款一样多。8 分当 4x34 时，y134 时，y1y2，优惠方案付款较少。10 分五、24.(10 分)解(1)如图所示，在点 C 测得ACB=，在点D 测得ADB=，测得 DC=m.4 分(2)解：在 RtABC 中，设 AB=x，BC=xcot在 RtABD 中，BD=xcotBD=m+BC即 xcot=m+xcot解得 x=10 分(注：标记字母不同，结果正确，按以上标准给分)六、(12 分)25.(1)证明连结 ACAB=BC，且点 A 为中点ABC 为等边三角形在 AE 上截取 EF=BE，连结 BFAEB=ACB=60，且EF=BEEFB
10、 为等边三角形则4 分ABC=FBC=60ABF=EBF在ABF 和CBE 中AB=CBABF=CBFBF=BEABFCBFAF=CEAE=BE+CE6 分(2)AE=BE-CE8 分证明：连接 ACAB=BC，且 A 为中点ABC 为等边三角形在 BE 上取 EF=AE，连结 AFAEF=ACB=60,且EF=AE分EFA 为等边三角形BAC=FAE=60BAF=EAC在ABF 和ACE 中AB=ACBAF=EACAF=AEABFACEBF=CEAE=BE-CE12 分七、(12 分)26.设甲车的速度为 x(千米/时)，乙车的速度为 y(千米/时)，A、B 两地的距离为 S(千米)2 分即6 分得8 分去分母，化简得 S2-190S=010 分S0(舍)S190答：A、B 两地的距离为 190 千米。12 分八、(16 分)28.(1)由，PM+MQ=+r=1，得 r=2-32(2)点 M(0,r)=(0,2-3)，点 Q(rcos60,)即 Q()由已知直线过点M、Q，得解得 k=，m=2-35 分由 y=x2+bx+c 过点 O、Q，则C=0，得 b=即得8 分令，则，x2=0即得当x0 时 y0由已知得消去 y 得12 分设点 E 的横坐标为 x2，点 Q 的横坐标为由根与系数的关系得x2=-2则进而得线段 EQ 的长为 214 分+116 分