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1、1.2.21.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算基本初等函数的导数公式及导数的运算法则法则(二二)学习目标1理解函数的和、差、积、商的求导法则2理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数3能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导知识链接前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松我们已经会求f(x)5 和g(x)1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则预习导引1导数运算法则法则f(x)g(x)f(x)g(x)语言叙述两个函数的和(或差)的
2、导数，等于这两个函数的导数的和(或差)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)fxfxggxxfxgxgx2(g(x)0)2复合函数的求导法则复合函数的概念复合函数的求导法则上分母的导数，再除以分母的平方一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导
3、数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积要点一利用导数的运算法则求函数的导数例 1求下列函数的导数：(1)yx32x3；(2)y(x21)(x1)；(3)y3xlgx.解(1)y(x3)(2x)33x22.(2)y(x21)(x1)x3x2x1，y(x3)(x2)x13x22x1.(3)函数y3xlgx是函数f(x)3x与函数g(x)lgx的差由导数公式表分别1得出f(x)3 ln 3，g(x)，利用函数差的求导法则可得xln 10 x1(3 lgx)f(x)g(x)3 ln 3.xln 10 xx规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备
4、求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数跟踪演练 1求下列函数的导数：(1)y54x3；(2)y3x2xcosx；(3)ye lnx；(4)ylgx2.x1x解(1)y12x2；(2)y(3x2xcosx)6xcosxxsinx；ex(3)yexlnx；x12(4)y.xln 10 x3要点二求复合函数的导数例 2求下列函数的导数：(1)yln(x2)；(2)y(1sinx)2；解(1)ylnu，ux21yxyuux(lnu)(x2)1.ux2(2)yu2，u1sinx，yxyuux(u2)(1sinx)2ucosx2cosx(1sinx)规律方法应用复合函数的
5、求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导(4)善于把一部分表达式作为一个整体(5)最后要把中间变量换成自变量的函数熟练后，就不必再写中间步骤1跟踪演练 2(1)ye2x1；(2)y(x2)2.解(1)yeu，u2x1，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)法一y(x2)2x4x4，yx(4x)411214x 1.22x法二令ux2，则yxyuux2(x2)(x2)11201.2(x2)2xx要点三导数的应用例 3求过点(1，1)与曲
6、线f(x)x32x相切的直线方程解设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为kf(x0)3x202故切线方程为yy0(3x202)(xx0)3(x0，y0)在曲线上，y0 x02x0又(1，1)在切线上，将式和(1，1)代入式得21(x302x0)(3x02)(1x0)1解得x01 或x0.25故所求的切线方程为y1x1 或y1(x1)4即xy20 或 5x4y10.规律方法(1，1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解t1跟踪演练3已知某运动着的物体的运动方程为s(t)22t2(位移单位：m，t时间单位：s)，求t3 s
7、 时物体的瞬时速度t1t11122解s(t)22t222t 22t2，ttttts(t)2234t，11tt12323s(3)12，92727323即物体在t3 s 时的瞬时速度为m/s.271下列结论不正确的是()A若y3，则y0B若f(x)3x1，则f(1)31C若yxx，则y12xD若ysinxcosx，则ycosxsinx答案D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解 D 项，ysinxcosx，y(sinx)(cosx)cosxsinx.cosx2函数y的导数是()1xA.Bsinxxsinx1x2xsinxsinxcosx1x2Ccosxsinxxsinx1x答案Ccosx解析y
8、1xcosxsinxxsinx.1x23曲线ysinx1xcosx1x21cosxsinxxsinx1x2Dxx2在点(1，1)处的切线方程为()By2x1Dy2x2Ay2x1Cy2x3答案A解析yxx2xx22x22x221222，ky|x12，切线方程为y12(x1)，即y2x1.14直线yxb是曲线ylnx(x0)的一条切线，则实数b_.2答案ln 21解析设切点为(x0，y0)，111y，x2x01x02，y0ln 2，ln 2 2b，bln 21.2求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算
9、法则，联系基本函数的导数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1设y2exsinx，则y等于()A2excosxC2exsinxcosx)答案D解析y2(exsinxexcosx)2ex(sinxcosx)B2exsinxD2ex(sinxx2a22当函数y(a0)在xx0处的导数为 0 时，那么x0()xAaCa答案Bx2a22xxx2a2解析yxx22由x20a0 得x0a.BaDa2x2a2，x2x13 设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10 垂直，则a等于()x1A21C2答
10、案D1B2D2x12解析y1，x1x1y2x112.y|x3.2a2，即a2.4已知曲线yx3在点P处的切线斜率为k，则当k3 时的P点坐标为()A(2，8)(1,1)C(2,8)答案B解析y3x2，k3，3x23，x1，则P点坐标为(1，1)或(1,1)5 设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_答案4解析依题意得f(x)g(x)2x，11D，82B(1，1)或f(1)g(1)24.136已知f(x)x3xf(0)，则f(1)_.3答案1解析由于f(0)是一常数，所以f(x)x23f(0)，令x0，
11、则f(0)0，f(1)123f(0)1.7求下列函数的导数：(1)y(2x23)(3x1)；(2)yxsincos.22解(1)法一y(2x23)(3x1)(2x23)(3x1)4x(3x1)3(2x23)18x24x9.法二y(2x23)(3x1)6x32x29x3，y(6x32x29x3)18x24x9.1(2)yxsincosx sinx，22211yxsinx1 cosx.22二、能力提升sinx18曲线y 在点M，0处的切线的斜率为()sinxcosx241A22C2答案B解析cosxsinxcosxsinxysinxcosxcosxsinx2xxxx1B22D21sinxcosxx
12、2，故y|1，421曲线在点M，0处的切线的斜率为.249已知点P在曲线y值范围是()A0，)43C(，24答案D解析y4tt22t14exex14ex，设tex(0，)，则y22xxe 2e 1B，)42D3，)44上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取ex1413，t 2，y1,0)，)1t4t 2t10(2013江西)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.答案2解析令tex，则xlnt，所以函数为f(t)lntt，即f(x)lnxx，所以f(x)1，即f(1)12.x111求过点(2,0)且与曲线yx3相切的直线方程解点(2,0)不在曲线yx3上，可令切点坐
13、标为(x0，x30)由题意，所求直线方3x3x000程的斜率ky|xx03x23x20，即0，解得x00 或x03.x02x0211当x00 时，得切点坐标是(0,0)，斜率k0，则所求直线方程是y0；当x03 时，得切点坐标是(3,27)，斜率k27，则所求直线方程是y2727(x3)，即 27xy540.综上，所求的直线方程为y0 或 27xy540.12已知曲线f(x)x33x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程解设切点为(x0，y0)，则由导数定义得切线的斜率kf(x0)3x203，切线方程为y(3x203)x16，又切点(x0，y0)在切线上，y03(x201)
14、x016，2即x303x03(x01)x016，解得x02，切线方程为 9xy160.三、探究与创新b13设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4yx120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0 和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值7(1)解由 7x4y120 得yx3.411当x2 时，y，f(2)，22b又f(x)a2，x7f(2)，42a22由，得b7a44.a1解之得b3故f(x)x.3b1.x(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y12知3x曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为3yy012(xx0)，x033即yx012(xx0)x0 x06令x0 得y，从而得切线与直线x0 的交点坐标为0，.x0 x06令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)16所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为2x0|2x|6.0故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.