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1、绝密启用前试题类型：试题类型：年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学本试题卷共页，题（含选考题）本试题卷共页，题（含选考题），全卷满分分，考试用时分钟，全卷满分分，考试用时分钟第卷第卷一一.选择题：本题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符选择题：本题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.2A x|x 4x3 0，B x|2x3 0，则AB（）设集合（）（）设(1i)x 1 yi，其中，是实数，则x yi=（）（）已知等差数列an前项的和为，a10=8，则a100=（）（）某公司的班车在，发车，
2、学.科网小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是（）x2y21表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则（）已知方程22m n3m n的取值范围是（）（）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28，则它的表面积是（）3（）（）（）（）（）函数e x在的图像大致为（）（）若a b 10，c1，则（）执行右面的程序图，如果输入的x 0，y 1，n 1，则输出，的值满足第 1 页()以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的标准线于，两点.已知4 2，2 5，则的焦点到准线的距离为（）()平面过正方体的
3、顶点，平面，a平面，a平面，则，所成角的正弦值为（）),x 为f(x)的零点，x.已知函数f(x)sin(x+)(0，244为y f(x)图像的对称轴，且f(x)在，单调，则的最大值为（）18 365第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第()题()题为必考题，每个试题考生都必须作答.第()题()题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共小题，每小题分()设向量(，)，(，)，且，则.()(2x x)5的展开式中，的系数是.（用数字填写答案）（）设等比数列满足，则的最大值为。（）某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时；生产一件产品需要甲材料
4、，乙材料，用个工时，生产一件产品的利润为元，生产一件产品的利润为元。该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过个工时的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为元。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（）（本小题满分为分），的对边分别为，已知2cos C(acos B+b cos A)c.ABC的内角，（）求；第 2 页（）若c 7,ABC的面积为（）（本小题满分为分）3 3，求ABC的周长2如图，在以，为顶点的五面体中，面为正方形，AFD 90，且二面角与二面角都是60（）证明：平面；（）求二面角的余弦值（）（本小题满分分）某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一
5、易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元，.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买台机器的同时购买的易损零件数.（）求X的分布列；（）若要求P(X n)0.5，确定n的最小值；（）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n 19与n20之中选其一，应选用哪个？.（本小题满分分）设圆x2 y22x15 0的圆心为，直线过点（）且与
6、轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点.第 3 页（）证明EAEB为定值，并写出点的轨迹方程；（）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，学科网过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.（）（本小题满分分）已知函数()求的取值范围；()设，是的两个零点，学科.网证明：.有两个零点.请考生在、请考生在、题中任选一题作答题中任选一题作答,如果多做如果多做,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分,做答时请写清题做答时请写清题号号（）（本小题满分分）选修：几何证明选讲如图，是等腰三角形，.以为圆心，为半径作圆.()证明：直线与相切；()点在上，且四点共圆，证明：.（）（本小题满分分）选修：坐
7、标系与参数方程在直线坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）。在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（）说明是哪种曲线，学.科.网并将的方程化为极坐标方程；（）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求。（）（本小题满分分），选修：不等式选讲已知函数().（）在答题卡第（）题图中画出()的图像；第 4 页（）求不等式()的解集。年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案理科数学参考答案一、一、选择题：本大题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项选择题：本大题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
8、目要求的是符合题目要求的.二、填空题：本大题共小题，每小题分二、填空题：本大题共小题，每小题分三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（）（本小题满分为分）解：（）由已知及正弦定理得，2cosCsincos sincossinC，即2cosCsin sinC故2sinCcosC sinC可得cosC，所以C 12123（）由已知，absinC 又C33 32，所以ab 6由已知及余弦定理得，a2b22abcosC 7故a2b213，从而ab 252所以C的周长为57（）（本小题满分为分）解：（）由已知可得F DF，F F，所以F平面
9、FDC又F平面F，故平面F平面FDC（）过D作DG F，垂足为G，由（）知DG 平面F第 5 页以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，GF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz由（）知DF为二面角DF的平面角，故DF 60，则DF 2，DG 3，可得1,4,0，3,4,0，3,0,0，D0,0,3由已知，/F，所以/平面FDC又平面CD平面FDC DC，故/CD，CD/F由/F，可得 平面FDC，所以CF为二面角C F的平面角，CF 60从而可得C 2,0,3所以C 1,0,3，0,4,0，C 3,4,3，4,0,0设n x,y,z是平面C的法向量，则x3z 0nC 0，即，4y
10、0n 0所以可取n 3,0,3mC 0设m是平面CD的法向量，则，m 0同理可取m 0,3,4则cos n,m 故二面角 C的余弦值为（）（本小题满分分）nm2 19 n m192 19学科网19解：（）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为，的概率分别为，从而所以X的分布列为X第 6 页P0.040.160.240.240.20.080.04（）由（）知P(X 18)0.44，P(X 19)0.68，故n的最小值为.（）记Y表示台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当n 19时，EY 192000.68(19200500)0.2(19200 2500)0.
11、08(192003500)0.04 4040.学科网当n 20时，可知当n 19时所需费用的期望值小于n 20时所需费用的期望值，故应选n 19.（本小题满分分）解：（）因为|AD|AC|，EB/AC，故EBD ACD ADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x 1)2 y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：（）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y k(x 1)(k 0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).y k(x 1)由得(4k23)x28k2x 4k212
12、0.x2y213 48k24k212则x1 x22，x1x22.4k 34k 312(k21)所以|MN|1 k|x1 x2|.4k232过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y (x 1)，A到m的距离为4k23|PQ|2 4()4.故四边形MPNQ的面积22k 1k 121k2k 12，所以22S 11|MN|PQ|12 12.学科网24k 3第 7 页可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8 3).当l与x轴垂直时，其方程为x 1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8 3).（）（本小题满分分）解：（）f(x)
13、(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)（）设a 0，则f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点（）设a 0，则当x(,1)时，f(x)0；当x(1,)时，f(x)0 所以f(x)在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b 0且b ln，则故f(x)存在两个零点（）设a 0，由f(x)0得x 1或x ln(2a)若a ，则ln(2a)1，故当x(1,)时，f(x)0，因此f(x)在(1,)上单调递增又当x 1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点学科网若a ，则ln(2a)1，故当x(1,ln(2a)时，f(x)0；当x(ln(2a),)时，f(x
14、)0因此f(x)在(1,ln(2a)单调递减，在(ln(2a),)单调递增又当x 1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点e2e2a2综上，a的取值范围为(0,)（）不妨设x1 x2，由（）知x1(,1),x2(1,)，2 x2(,1)，f(x)在(,1)上单调递减，所以x1 x2 2等价于f(x1)f(2 x2)，即f(2 x2)0由于f(2 x2)x2e2x a(x21)2，而f(x2)(x22)exa(x21)2 0，所以22设g(x)xe2x(x2)ex，则g(x)(x1)(e2xex)所以当x 1时，g(x)0，而g(1)0，故当x 1时，g(x)0第 8 页从而g(x2)f(2
15、 x2)0，故x1 x2 2请考生在、请考生在、题中任选一题作答题中任选一题作答,如果多做如果多做,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分,做答时请写清题做答时请写清题号号（）（本小题满分分）选修：几何证明选讲解：（）设E是AB的中点，连结OE，因为OAOB,AOB 120，所以OE AB，AOE 60OE AO，在RtAOE中，即O到直线AB的距离等于圆O的半径，所以直线AB12与O相切（）因为OA 2OD，所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心，设O是A,B,C,D四点所在圆的圆心，作直线OO由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OO AB同理可证，OO
16、 CD所以AB/CD（）（本小题满分分）解：x acost（t均为参数）y 1 asint1为圆心，a为半径的圆方程为x2 y22y 1a2 0C1为以0，2 2sin1 a2 0即为C1的极坐标方程C2：4cos学科网两边同乘得2 4cos即x 22 y2 4C3：化为普通方程为y 2x2 x2 y2，cos x第 9 页由题意：C1和C2的公共方程所在直线即为C3得：4x 2y 1 a2 0，即为C3（）（本小题满分分）x 4，x13fx3x 2，1 x 234 x，x2解：如图所示：当x1，x 4 1，解得x5或x 3当1 x 3，3x 2 1，解得x 1或x1231 x 1或1 x 332当x3，4 x 1，解得x5或x 323x 3或x52综上，x1或1 x3或x53 fx1，解集为，131，3 5，第 10 页