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1、排列组合根底知识一、一、两大原理两大原理1.1.加法原理加法原理（1）定义：做一件事，完成它有n类方法，在第一类方法中有n1中不同的方法，第二类方法中有n2种不同的方法.第n类方法中nn种不同的方法，那么完成这件事共有N n1 n2.nn种不同的方法。（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。（3）特点：分成几类，就有几项相加。例 1.从甲地到乙地，可以乘动车，也可以乘汽车；一天中动车有3班，汽车有 2 班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？如上图，从甲地到乙地共有 3+2 种方法。2.2.乘法原理乘法原理（1）定义做一件事，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有m1中不同的
2、方法，做第二个步骤有m2种不同的方法.做第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N m1m2.mn种不同的方法。（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。（3）特点：分成几步，就有几项相乘。例 2.从甲地到乙地，要先从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中火车 2 班，汽车 3 班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的方法？解：由上图可知共有的可能路线为：火车 1汽车 1，火车 2汽车1火车 1汽车 2，火车 2汽车2第 1 页火车 1汽车 3，火车 2汽车3所以共有24 8种方式。二、二、排列组合排列组合1.1.排列排列（1）排列的定义：从n
3、个不同的元素中，任取m个m n元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。（2）使用排列的三条件n个不同元素；任取m个；讲究顺序。2.2.组合组合（1）组合的定义：从n个不同的元素中，任取m个m n元素并为一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。（2）使用三条件n个不同元素；任取m个；并为一组，不讲顺序。排列与组合的共同点排列与组合的共同点：都是“从n个不同元素中任取m个元素；排列与组合的不同点排列与组合的不同点：排列与元素的顺序有关系，而组合与元素的顺序无关。也就是说：组合是选择的结果，而排列是选择后再排列的结果也就是说：组合是选择的结果，而排列是
4、选择后再排列的结果。3 排列数的定义排列数的定义：从n个不同的元素中，任取m个m n元素所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，记为mAn。第 2 页例 1.从甲、乙、丙三个中任取 2 个人分别参加明天上午和下午的比赛。问共有多少种方式？解：由上图可知，共有 6 种方式。需要注意：此题相当于从 3 个不同的元素中任取 2 个元素，并按一定的顺序排列，所有共有的排列数为A32，即A32 6 32，其中上标 2 是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项 3，而且之后的每项总是比前一项少 1。例 2.从 a,b,c,d 四个元素中任取 2 个排成一列共有多少种可能？解 所以的可能排
5、列为：ab,ba,ac,ca,ad,da,bc,cb,bd,db,cd,dc.共有 12 种，即A421243，其中上标 2 是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项 4，而且之后的每项总是比前一项少 1。例 3.从 a,b,c,d 四个元素中任取 3 个排成一列共有多少种可能？解 所以的可能排列为：abc,acb,bac,bca,cab,cba,abd,adb,bad,bda,dab,dba,acd,adc,cad,cda,dac,dca.bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有 24 种，即A4324432，其中上标 3 是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项 4，而且之后的每项总
6、是比前一项少 1由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式mAn n(n 1)(n 2).(n m 1)n!，其中上标m表示相乘的项数，(n m)!其中n!n(n 1)21。1n n,An n!。尤其：An01,An5 组合数的定义：从n个不同的元素中，任取m个m n元素所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，记为mCn。第 3 页例 4.从甲、乙、丙三个中任取 2 个人参加某项比赛。问共有多少种方式？解：可能的组合为：甲乙，甲丙，乙丙。所以共有3 种需要注意：此题相当于从 3 个不同的元素中任取 2 个元素并成一组，所有共有的组合数为C32，即C32 3。这个结果与例 1
7、比拟发现例 2.从 a,b,c,d 四个元素中任取 2 个并成一组，共有多少种可能？解 所以的可能排列为：ab,ac,ad,bc,bd,cd.共有 6 种，即C426。这个结果与例 2 比拟发现例 6.从 a,b,c,d 四个元素中任取 3 个并成一组，共有多少种可能？解 所以的可能排列为：abc,abd,acd,bcd。共有 4 种，即C434。这个结果与例 3 比拟发现由上面的规律可以得出下面组合数的计算公式1nmnm n,Cn1,Cn Cn尤其：Cn01,Cnm我们这本书用nm表示Cn。下面 3 题要求学解题过程1.甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛，(1)列出所有各场比赛的上方；2列出所有冠军的可能情况。2.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？3.旅行社有豪华游 5 种和普通游 4 种，某单位欲从中选择 4 种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有种。A.60B.100C.120D140第 4 页