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1、第七章第七章一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程7-17-1 求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。dx x ydt1）dy x y tdtdx x 2ydt2），当t 0时，x y 1dy x ydt3）dxdydzz yx zy xd(x y)2(x y)t。dt解解 1）方程组的两式相加，得令z x y，上方程化为一阶线性方程dz 2z t，dt解之得11z C1e2tt 24112t C1。即得一个首次积分为1(t,x,y)(x y t)e24d(x y)t，方程组的两式相减，得dt12解之得另一个首次积分为2(t,x,y)x y t C2。21x易验证det2 x1y det11
2、2 0。112x因此，1(t,x,y)C1和2(t,x,y)C2是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为111(t,x,y)(x y t)e2t C1，2412(t,x,y)x y t2 C2。2从中可解得通解为12112tx C eC t t 12448。111y Ce2tC t2t 124482）方程组的两式相比，得dxx 2y，dyx y变形得恰当方程x d x 2y d y y d x x d y 0，解之得一个首次积分为x2 2y22xy C1，即1(t,x,y)(x y)2 y2 C12。给方程组第一式乘以y，第二式乘以x，再相减得yx xy (x2 2y22xy)(x y)2
3、 y2，yx yy xy yy 1，22(x y)yyx yy xy yy1(x y)2 y2两边积分，得另一个首次积分为2(t,x,y)arctan2yt C2，x y易验证1(t,x,y)C1和2(t,x,y)C2是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为(x y)2 y2 C12，arctanyt C2，x y通解为 C1)c o t C1)si ns(C2tx (C2 C1sinC2，C2 C1cosC2。，其中C1 si nsC2ty C1c o tx cost sint。y cost容易得满足t 0时，x y 1的解为3）三个分式相加，得d(x y z)dydz，0 x zy x
4、则一个首次积分为x y z C1。给三个分式的分子分母分别乘以x,y,z，再相加，得d(x2 y2 z2)ydyzdz，0 x zy x又得另一个首次积分为x2 y2 z2 C2。容易验证x y z C1，x2 y2 z2 C2是两个独立的首次积分，所以方程组的通积分为x y z C1，x2 y2 z2 C2。评注：评注：求首次积分时，注意利用部分方程的相加、相减、相比，利用比例的基本性质等。还要注意验证首次积分的独立性。7-27-2 求下列方程的通解及满足给定条件的解。1）(z 2yz y)22uuu(xy xz)(xy xz)0 xyz2）(y x 2x)34zz(2y4 x3y)9z(x
5、3 y3)xy3）(y z u)uuu(z u x)(u x y)x y zxyz4）xuuu y z nu,n为自然数。xyzzz 0，x 0,z y3xy5）yz解解 1）这是一阶线性齐次偏微分方程，它的特征方程组为dxdydz，22xy xzxy xzz 2yz y由此得dydzy zy z即得一个首次积分为y 2yz z C1。22又由dxdydz，得22xy xzxy xzz 2yz yxdxdydz，z2 2yz y2y zy zxdxydyzdz，2222z 2yz yy zyyz z利用合比性质得xdxydyydzxdx ydy zdz，22220z 2yz yy zyyz z
6、则另一个首次积分为x2 y2 z2 C2。容易验证这两个首次积分相互独立，故得原方程的通解u (x2 y2 z2,y22yz z2)其中为任意二元连续可微函数。2）原方程的特征方程组为dxdydz，y3x 2x42y4 x3y9z(x3 y3)由此得dxdydzxy9z，(y3 2x3)(2y3 x3)x3 y3即dxdydzxy3z。3(y3 x3)3(y3 x3)因此ln xyz C1所以得特征方程组的一个首次积分13xyz C1。13dy2y4 x3y又为齐次方程，令y ux，则34dxxy 2xdu2u4uu x3dxu 2分离变数，得u32dx，du 3xu(u 1)即3u22dx(
7、3)du，xu 1u积分可得u31。ln2 C2u x因而得另一首次积分y3 x3 C2，22x y容易验证这两个首次积分相互独立，故得原方程的隐式解y3 x3(xyz,22)0，x y其中为任意二元连续可微函数。3）原方程的特征方程组为13dxdydzdu。y z uz u xu x yx y z由合比性质得dx dy dz dudx dy3(x y z u)y x由此可得一个首次积分(x y z u)(y x)C1。同理，由13dx dy dz dudy dz，3(x y z u)z y可得另一个首次积分(x y z u)(z y)C2。再由13dx dy dz dudz du，3(x y
8、 z u)u z得第三个首次积分(x y z u)(u z)C3。容易验证这三个首次积分相互独立，故得原方程的隐式解13(x y z u)(y x),(x y z u)(z y),(x y z u)(u z)0其中为任意三元连续可微函数。4）原方程的特征方程为131313dxdydzduxyznu不难求得三个独立的首次积分yzu C1,C2,n C3。xxx于是，原方程的隐式通解为y zu(,n)0 x x x其中是各变元的连续可微函数。若能解出u，则得通解y zu xnF(,)。x x其中F为各变元的连续可微函数。5）这是一阶拟线性偏微分方程，它的特征方程组为dxdydz。yz10先求得一个
9、首次积分为z C2。代入得dxdy，C2y1解得另一个首次积分为2x C2y2 C2，即2x zy2 C1。容易验证这两个首次积分相互独立，故得原方程的隐式解(2x zy2,z)0其中是任意的二元连续可微函数。35将x 0,z y3代入z C2和2x zy2 C1，得C1，故所求满足条件的解为 C2z5(2x zy2)3，即z5(zy22x)3。评注：评注：求解一阶线性齐次偏微分方程或拟线性偏微分方程，实际上转化为求解一个常微分方程组的问题。7-37-3 求与下列曲面族正交的曲面（a为任意常数）。1）z axy2）xyz a解解 1）设所求曲面方程为z z(x,y)，则过曲面上任一点(x,y,
10、z)的法线方向为zz,1，而曲面z axy在(x,y,z)的法线方向为ay,xyax,1。由于所求曲面与z axy正交，所以在曲面z z(x,y)上的点满足a yzz ax1 0，xy这是一个一阶拟线性偏微分方程。它的特征方程组为dxdydz，ayax1由dxdy22，解得它的一个首次积分为1(x,y,z)x y C1。ayax由dxdzxdxdz和z axy，得，ayx1ay122即xdx zdz，另一个首次积分为2(x,y,z)x z C2。1x由于2x1ydet2y1y2y1z2x 2y0 ，202z2xz12x0 z det02z 4xz 0，即x,z解不为零时，其中的一个二阶子2z矩
11、阵的行列式不为零。所求曲面方程z z(x,y)满足(x2 y2,x2 z2)0，其中是任意的二元连续可微函数。b)设所求曲面方程为u(x,y,z)0，则过曲面上任一点(x,y,z)的法线方向为uuu，而曲面xyz a在(x,y,z)的法线方向为yz,xyzxz,xy。由于所求曲面与xyz a正交，所以在曲面u(x,y,z)0上的点满足yzuuu xz xy 0，xyz这是一个一阶线性齐次偏微分方程。它的特征方程组为dxdydz。yzxzxy由dxdy，解得它的一个首次积分为1(x,y,z)x2 y2 C1。yzxzdxdz22，得另一个首次积分为2(x,y,z)x z C2。yzxy由容易验证
12、这两个首次积分相互独立，所求曲面方程u(x,y,z)0满足u(x,y,z)(x2 y2,x2 z2)0其中是任意的二元连续可微函数。评注：求与一已知曲面族正交的曲面z z(x,y)，问题转化为求解一个一阶拟线性偏微分方程；求与一已知曲面族正交的曲面u(x,y,z)0，问题转化为求解一个一阶线性齐次偏微分方程，最终均是解一个常微分方程组的问题。7-47-4试证方程M(x,y)dx N(x,y)dy 0（1）有仅与x有关的积分因子的充要条件是(仅是x的函数。MN)Nyx证证 由定理2.2，函数(x,y)是方程（1）的积分因子的充分必要条件是(x,y)满足一阶偏微分方程：NMN M()（2）。xyy
13、x必要性。若方程（1）有仅与x有关的积分因子，设为(x)，则(x)必满足偏微分方程（2），即有N整理得(x)MN()(x)，xyx1d(x)1MN()，(x)dxNyx这就证明了(MN)N仅是x的函数。yxMN)N (x)下，一阶偏微分方程（2）有只与x有yx充分性。就是要证明在条件(关的解即可。求解一阶拟线性方程（2），它的特征方程为dxdyd，N MMN yx由第一分式和第三分式得MN dxdyxN，MN yxddx (x)dx即N(x)dx(x)dx C1，故 e显然，有一个首次积分为e为方程（2）的一个解，这个解是只与x有关的函数。这就证明了充分性。评注：评注：本题是第二章定理 2.2
14、 的结论 1，在这里我们又用一阶拟线性偏微分方程解的理论进行证明。7-57-5 证明以坐标原点为顶点的锥面方程可写为(,)0或z x()其中,为其变元的可微函数。证 设以坐标原点为顶点的锥面方程为z z(x,y)，则其上任一点(x,y,z)处的法线方y zx xyx向为z z,1，切线方向为x 0,y 0,z 0 x,y,z，故锥面z z(x,y)上的点x y(x,y,z)满足xzz y1 z 0，xy这是一个一阶线性非齐次偏微分方程，它的特征方程为dxdydz，xyz解之得，两个独立的首次积分为yz C1，C2，xxy zzy所以锥面方程为(,)0，若将解出，得z x()，其中,为其变元的可微函x xxx数。评注：评注：注意利用锥面的性质建立一阶偏微分方程。类似地，我们可以求得顶点在某一固定点的锥面方程。