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1、第七章习习 题题 一一 0 01 0 0,采用斯密特正交化过程将其正交化,a=01 1解：解：取a=,a=01234 010为01 1 12 1 6 11 1 1 3012,=0=1,=,=0,取=321 206 1 112 11111 1 12 6 1 2 0=012342241 1 1 2 1 2 2,=0,=2.解：解：采用斯密特正交化过程将其正交化为：=1 1 1232 1 12 1 12,1 12 12 2 012 3 12 1 2 2=6 4 1 6 01231233.解：解：将 A 分块：A=(a,a,a)则a,a,a为标准正交向量组，满足：1i=j(a,a)=ij代入数字求得
2、a=b=-6，c=-3，d=-6。0ij4 4证明证明：(A+2I)=I,(A+2I)=(A+2I)2T从而(A+2I)(A+2I)=I,于是 A+2I是正交阵。T 15 5求a,b，使2得1为正交阵a2b1i=j1111得或，,)a=b=解：解：由a=，b=ij(aa=ij102222a6 6设A2=0 120b0为正交阵，求a,b。01=ij0i1解：解：由(a,a)=jij得=11b=，a或a=1，1b=2222习题二习题二1 1（1）.特征多项式为f()=(1)(3)，2解：解：单位化：e=1 1 A)0.求得3 11 1 当=1代I x=.求得 1 单位e=1 1(A)0化：入=12
3、 0 0 1 当=3代(I A)x=0求=1单位化：e=1 1 入得6 1 2 2 0 00令P=(e,e,e)原式P AP=0 10，P P=I。030当=0代入(I x=112231TT123 1 1 1 2（2）.1)(10)2 2 2 21 当=1代入(I A)x=0求=正交化：b=1,b=4得1 =01 2 5 0 1 0 5 2 1 单位化：e=2，e=4 1 2112解：特征多项式为f()=(，3 5 0 51 单位=当=10代入(I A)x=0.求2 化：得 2 3 1 5 1 1 e=2 3 3令P=(e1,e2,e3)2100 原式P AP=0 10，P P=I。0100T
4、T（3）.解：特征多项式为32f()=(3)，1 当=0代入(I x=求得A)0=11 0 1正交=0 21 111e=，e=1 1 1 2 6 2 0 2 0 2 11=1 当=3代(I A)x=0求得=1单位化：e1入3 11 0 00令P=(e,e,e)原式P AP=0 00，P P=I。030121233TT123 1 11 单位化：b=1,b=11 20 6222 00PAP1 2 2解：解：P=111容易求得P1=211由=0 306 111 16 00 4 11 411故A=P1=P0 30031401033 003 1 3 3 设 A 为实对应的特征值为 ，对应于1的特征0，1向量为11231 求 A。1 x 解：设属于 1的特征向量x=x则由正交性，有x(xx)0 =0得一1 231x312210 1 101 11101 个基础解系1=1 2=0取P=010求P=0 20 故 得0 1 1 0412 1 01 100P1 00 1A=P 010004 4 已知:三阶实对称阵A的三个特征值分别为1,2,5,且属于1，2 的特征向量分别为1=010 100(2,2,1),(2,1,2)，求属于 5 的特征向量。T11 x x 2 21 解：解：设属于5的特征向量x=x则由正交性，有 x=0得一 2 12 x x1 个基础解系x k2=k 为非零实数。2222335