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1、名师推荐精心整理学习必备人教版数学必修五人教版数学必修五第二章第二章 数列数列 重难点解析重难点解析第二章 课文目录21数列的概念与简单表示法22等差数列23等差数列的前 n 项和24等比数列25等比数列前 n 项和【重点】【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。6、等比数列的前 n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项
2、和公式【难点】【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。2、理解递推公式与通项公式的关系。3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 数列的定义数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列数列.注意注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须
3、不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.数列的项数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项项.各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第2 项，第 n 项，.数列的一般形式数列的一般形式：a1,a2,a3,an,，或简记为an，其中an是数列的第 n 项 数列的通项公式数列的通项公式：如果数列an的第 n 项an与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是n 11(1)n1|.an，也可以是an|cos22数列通项
4、公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项5.5.数列与函数的关系：数列与函数的关系：*数列可以看成以正整数集 N（或它的有限子集1，2，3，n）为定义域的函数an f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。名师推荐精心整理学习必备反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)，f(n)，6
5、6数列的分类：数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6。是有穷数列有穷数列无穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6是无穷数列无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列7 7数列的表示方法数列的表示方法（1 1）通项公式法）通项公式法如果数列an的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公
6、式就叫做这个数列的通项公式。如数列的通项公式为的通项公式为；的通项公式为；（2 2）图象法）图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势（3 3）递推公式法）递推公式法如果已知数列an的第 1 项（或前几项），且任一项an与它的前一项an1（或前 n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的
7、递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：a13,a2 5,an an1an2(3 n 8)4 4、列表法、列表法简记为典型例题：例例 1 1：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33,；(2)426810,；315356399 (3)0,1,0,1,0,1,；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,；(5)2,6,12,20,30,42,.名师推荐精心整理学习必备2n1(1)n解：解：(1)an2n1；(2)an；(3)an；2(2n 1)(2n 1)(4)将数列变形为 10,
8、21,30,41,50,61,70,81,an；(5)将数列变形为 12,23,34,45,56,，ana11例例 2 2：设数列an满足写出这个数列的前五项。1a 1(n 1).nan1解：解：二、等差数列二、等差数列1 1等差数列等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列an,若anan1=d(与 n 无关的数或字母)，n2，nN，则此数列是等差数列，d 为公差。2 2等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：an
9、a1(n 1)d【或anam(nm)d】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列an的首项是a1，公差是 d，则据其定义可得：a2 a1 d即：a2 a1 da3a2 d即：a3 a2 d a1 2da4a3 d即：a4 a3 d a13d由此归纳等差数列的通项公式可得：an a1(n 1)d已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差 d，便可求得其通项an。由上述关系还可得：am a1(m1)d即：a1 am(m1)d则：ana1(n 1)d=am(m1)d(n1)d am(nm)d即等差数列的第二通项公式anam(nm)d d=3 3有几种方法可以计算公差有几种方法可以计
10、算公差 d damanmnana1a am d=nn 1n m4 4结论：结论：（性质）（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，aman apaq d=anan1 d=即m+n=p+qm+n=p+qaman apaq(m,n,p,q(m,n,p,q N)N)但通常 由am an ap aq推不出 m+n=p+q，am an amn典型例题：典型例题：例例 1 1：求等差数列 8，5，2的第 20 项名师推荐精心整理学习必备-401 是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：解：例例 3 3：求等差数列 3，7，11，的第 4 项与第 10 项.例例 5 5：100 是不是
11、等差数列 2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.例例 6 6：20 是不是等差数列 0，31，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.2例例 8 8：在等差数列an中，若a1+a6=9,a4=7,求a3,a9.三、等差数列的前三、等差数列的前 n n 项和项和1 1等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式 1 1：Snn(a1 an)2证明：Sn a1 a2 a3 an1 anSn an an1 an2 a2 a1+：2Sn(a1 an)(a2 an1)(a3 an2)(an an)a1 an a2 an1 a3 an22Sn n(a1 an)由此得：Snn(a1
12、 an)2从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2 2 等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式 2 2：Sn na1n(n 1)d2n(n 1)d2用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an但an a1(n 1)d代入公式 1 即得：Sn na1此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d（有时比较有用）对等差数列的前对等差数列的前n项和公式项和公式2 2：Sn na1n(n 1)d可化成式子：2Snd2dn (a1)n，当 d0，是一个常数项为零的二次式22名师推荐精心整理学习必备3 3 由Sn的定义可知，当 n=1 时，S1=a1；当 n2 时，an=Sn-Sn1，即a
13、n=S1(n 1).Sn Sn1(n 2)4 4 对等差数列前项和的最值问题有两种方法对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）利用an:当an0，d0，前n项和有最大值可由an0，且an10，求得n的值当an0，前n项和有最小值可由an0，且an10，求得n的值（2）利用Sn：由Snd2dn (a1)n利用二次函数配方法求得最值时n 的值22典型例题：典型例题：例例 2 2：等差数列10，6，2，2，前 9 项的和多少？解：解：例例 3 3：等差数列前 10 项的和为 140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第 6 项解解例例 6 6：已知等差数列an中，S3=21，S6=64，求
14、数列|an|的前 n 项和 Tn例例 7 7：在等差数列an中，已知 a6a9a12a1534，求前 20 项之和例例 8 8：已知等差数列an的公差是正数，且a3a7=12，a4a6=4，求它的前20 项的和 S20的值例例 9 9：等差数列an、bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若Sna1002n，则等于 Tn3n 1b1002A1B3199200CD299301名师推荐精心整理学习必备a100Sn2n与发生联系，可用等差数列的前 n项b100Tn3n1n(a1+an)和公式Sn=把前n项和的值与项的值进行联系2分析分析 该题是将例例 1010：解答下列各题：(1)已知：等差数列an
15、中 a23，a617，求 a9；(2)在 19 与 89 中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为 1350，求这几个数；(3)已知：等差数列an中，a4a6a15a1750，求 S20；(4)已知：等差数列an中，an=333n，求 Sn的最大值四、等比数列四、等比数列1 1等比数列等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q0），即：1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)an成等比数列an=q（q0）an1an1=q（n N,q0）an2 隐
16、含：任一项an 0且q 0“an0”是数列an成等比数列的必要非充分条件3 q=1 时，an为常数。2.2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式 1:1:an a1qn1(a1q 0)由等比数列的定义，有：a2 a1q；a3 a2q (a1q)q a1q2；a4 a3q (a1q2)q a1q3；an an1q a1qn1(a1q 0)3.3.等比数列的通项公式等比数列的通项公式 2:2:an amqm1(a1q 0)4 4既是等差又是等比数列的数列既是等差又是等比数列的数列：非零常数列5 5等比数列与指数函数的关系等比数列与指数函数的关系：名师推荐精心整理学习必备ax等比数列an的通项公式a
17、n a1qn1(a1q 0),它的图象是分布在曲线y 1q（q0）上q的一些孤立的点。当a1 0，q 1 时，等比数列an是递增数列；当a1 0，0 q 1，等比数列an是递增数列；当a1 0，0 q 1时，等比数列an是递减数列；当a1 0，q 1 时，等比数列an是递减数列；当q 0时，等比数列an是摆动数列；当q 1时，等比数列an是常数列。6 6等比中项：等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a,G，b 成等比数列，那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项.即G=ab（a,b 同号）如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a,G，b 成等比数列，则Gb G2 a
18、b G ab，aGGb，即 a,G,b 成等比数列aG2a,G,b 成等比数列G=ab（ab0）反之，若 G=ab,则7 7等比数列的性质：等比数列的性质：若 m+n=p+k，则aman apak在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢？由定义得：am a1qm1an a1qn1ap a1q22p1ak a1qk1aman a1qmn2，apak a1qpk2则aman apak8 8判断等比数列的方法：判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法9 9 等比数列的增减性：等比数列的增减性：当 q1,a10 或 0q1,a11,a10,或 0q0时,an是递减数列;当
19、 q=1 时,an是常数列;当 q0，则 lga1,lga2,lga3成等差 注注（1）an成等比lgan成等差（2）an成等差aan成等比典型例题：典型例题：例例 1 1：求和：解：解：.名师推荐精心整理学习必备定义等差数列一般地,如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫公差an1an a2a1（nN）递推关系an1an d（nN）an1an anan1（n 2,nN*）*等比数列一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列这个常数叫公比an1a2（nN*）ana1an1 q（
20、q 0,nN*）anan1an（n 2,nN*）anan1*通a a(n1)d（nN*）n1项公式求an pnq（p,q为常数,nN*）2Sn n(a1an)（nN）*an a1qn1（nN）an pqn（p,q是常数,q 0,p 0,nN*）和Sn na1公式n(n1)d(nN*)2*na1,q 1*Sna1(1qn)(nN)1q,q 1Sn An2 Bn(A,B是常数,nN)na1,q 1*nNSn(，A 0)nA Aq,q 1若 p+q=s+r,p、q、s、rN*,则若 p+q=s+r,p、q、s、rN*,则apaq asar.apaq asar.an主对任意 c0,c1,c要性 为等比数列.对任意 c0,c1,若 an恒大于 0，则logcan为等差数列.an1an1 an,nN,n 2.若an、bn为两等比数列，则anbn为等比数列.若bn为正项等差自然数列，则abn为等比数列.Sn,S2n Sn,S3n S2n,为等比数列.2an1an1 2an,nN*,n 2.若an、bn分别为两等差数列，则anbn为等差数列.若bn为正项等差自然数列，则abn为等差数列.质Sn,S2n Sn,S3n S2n,为等差数列.