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1、精选优质文档-倾情为你奉上九年级知识点第一单元 二次根式1、二次根式式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这
2、几个二次根式叫做同类二次根式。4、二次根式的性质（1） （2） （3） （4）5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。第二单元 一元二次方程一、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接
3、开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，当b<0时，方程没有实数根。2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。三、一元二次方程根的判别式 根的判别式一元二次方程中，叫做一元二
4、次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。五、一元二次方程的应用主要类型（1）传播问题：主要是病毒传播和树枝分叉两种类型（2）单循环和双循环问题（3）增长率问题：变化前数量×（1x）n变化后数量，n为连续增长或降低的次数（4）销售问题：售价进价=利润；一件商品的利润×销售量=总利润；单价×销售量=销售额（5）面积和体积问题第三单元 旋转一、旋转 1、定义：把
5、一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。二、中心对称 1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。2、性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点
6、平分，那么这两个图形关于这一点对称。4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。三、坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P（-x，-y）2、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P（x，-y）3、关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P（-x，
7、y）第四单元 圆一、圆的相关概念 1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）直径等于半径的2倍。（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。大于半圆的
8、弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧四、圆的对称性 1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性：圆是以圆心
9、为对称中心的中心对称图形。五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。六、圆周角定理及其推论 1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对
10、的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。七、点和圆的位置关系 设O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：（1）d<r点P在O内；（2）d=r点P在O上；（3）d>r点P在O外。八、过三点的圆 1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。锐角三角形
11、的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边的中点上；钝角三角形的外心在三角形外。4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）：圆内接四边形对角互补。九、反证法 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。十、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那
12、么：（1）直线l与O相交d<r；（2）直线l与O相切d=r；（3）直线l与O相离d>r；十一、切线的判定和性质 1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。十二、切线长定理 1、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。十三、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点
13、，它叫做三角形的内心。内心的性质：三角形的内心到三角形三边距离相等。十四、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系（1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。（2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。（3）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么（1）两圆外离d>R+r；(2)两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R-r<d<R+r（Rr）；（4）两圆内切d=R-r（R>r）；（5）两圆内含
14、d<R-r（R>r）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。十五、正多边形和圆 1、正多边形的定义： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形和圆的关系： 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。十六、与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心： 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距
15、离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。十七、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。2、正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。4、正多边形的计算：要画出半径和一条边心距，利用半径和边心距及边长的一半构成的直角三角形进行计算，常考的正多边形为：正三角形、正方形和正六边形，因为这三种的中心角分别为120°、90°、60
16、6;都是特殊角，要多利用特殊角的直角三角形的性质。十八、弧长和扇形面积 1、弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为2、扇形面积公式：其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积:其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。补充：一、弦切角定理弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即：BAC=ADC二、相交弦定理：圆内的两条弦AB、CD相交于E，则有：AE·BE=CE·DE三、切割线定理PA为O切线，PBC为O割线，则第五单元：概率初步列表法求概率用树形图(树状图)求
17、概率用列举法求概率用频率估计概率实物代替模拟实验随机事件发生的可能性-概率的计算:,试验有n种结果发生,事件A包含(所发生的)其中的m种结果随机事件发生的可能性是有大小现实生活中存在大量随机事件第六单元：二次函数一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析
18、式；顶点式：y=a（xh）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（xx1）（xx2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（，）对于y=a（xh）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=，最值为，（k>0时为最小值，k<0时为最大值）由此可知y=ax2的顶点在坐标原点上，且y轴为对称轴即x=0抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“”，下“”）平移k（k
19、>0）个单位得到函数y=ax2±k，将y=ax2沿着x轴（右“”，左“”）平移h（h>0）个单位得到y=a（x±h）2在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（右减左加）在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a，b，c的作用：a的正负决定了开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=的右侧，y随x的增大而增大，此时
20、y有最小值为y=，顶点（，）为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴x=的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴x=的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最大值为y=，顶点（，）为最高点a的大小决定了开口的宽窄，a越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，a越小，开口越大，图像两边越靠近x轴；a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=<0，即对称轴在y轴左侧，垂直于x轴负半轴，当a，b异号时，对称轴x=>0，即对称轴在y轴右侧，垂直于x轴正半轴；c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与
21、y轴交于正半轴；c<0时，与y轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出第六单元：相似三角形一、比例1、 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段2、 比例中项：如果那么b叫做a、c的比例中项，也可以写成b2ac3、 比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比，如果a，b，c,d四个数满足，那么ad=bc，反过来，如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0）,那么，注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性如是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、
22、c、b、d成比例。二、相似多边形观察下面两组图形，(1)中的两个图形相似吗？为什么？(2)中的两个图形呢？ （如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？答： (1)中的两个图形不相似因为相似形需要满足两个条件，一个是对应角相等，一个是对应边成比例虽然(1)中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等，所以两个图形不相似(2)中的两个图形也不相似因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似小结：如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如(2)中的两个图形；如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如(1)中的两个图形对应边成比例，但对应角不
23、相等三、平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1l2l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C由DEBC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）定理:平行于三角形的一边,且和其它两边相交的直线,所截的三角形三边与原三角形相似.四、相似三角形1、相似三角形的基本概念：1.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。2、相
24、似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。3、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。（2）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。3、相似三角形的判定：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似 ABCABC如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边
25、对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 ABCABC如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 ABCABC补充：一、相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型)(3)三边对应成比例的两个三角形相似。(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。(5)两角对应相等的两个三角形相似。(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。(7)被斜边上的高
26、分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。常见的相似三角形小结：二、射影定理AD2=BD·CD AB2=BD·BC AC2=CD·BC特殊图形（双垂直模型）BAC=90° 第七单元 解直角三角形一、锐角三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。 2、如下图，在RtABC中，C为直角，则A的锐角三角函数为(A可换成B)：定 义表达式取值范围关 系正弦(A为锐角)余弦(A为锐角)正切(A为锐角)(倒数)余切(A为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切
27、值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要)三角函数30°45°60°11 6、正弦、余弦的增减性： 当0°90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。二、 解角直角三角形1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一条边）求所有未知的边和角。依据：边的关系：；角的关系：A+B=90°；边角关系：（见前面三角函数的定义
28、）。2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。 把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。（3）方向角：从南北方向线较近的一端起，到目标方向线的夹角，如图所示：射线OA为北偏东60°，射线OB为南偏西30°，此外，东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西南、西北。 3、解直角三角形的几种类型：一边一角来源:学科网ZXXK已知条件来源:Z,xx,k.Com来源:Zxxk.Com来源:学科网来源:学科网ZXXK解法来源:Z*xx*k.Com来源:Z+xx+k.Com来源:Z|xx|k.Com已知斜边和一个锐角A 已知一条直角边和一个锐角A 两边已知斜边和一条直角边 利用求A 已知两条直角边 利用，求A 专心-专注-专业