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1、第第五五章章 梁梁的的变变形形测测试试练练习习1 1.判判断断改改错错题题5-1-1梁 上 弯 矩 最 大 的 截 面,挠 度 也 最 大,弯 矩 为 零 的 截 面,转 角 亦 为 零.（）5-1-2两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。（）5-1-3 悬臂梁受力如图所示，若A点上作用的集中力P在AB段上作等效平移，则A截面的转角及挠度都不变。（）5-1-4图示均质等直杆（总重量为W），放置在水平刚性平面上，若A端有一集中力P作用，使AC部分被提起，CB部分仍与刚性平面贴合，则在截面C上剪力和弯矩均为零。（）P
2、PABACB题 5-1-3 图题 5-1-4 图5-1-5挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。（）5-1-6等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。（）5-1-7 两简支梁的抗刚度EI及跨长 2a均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的。（）5-1-8简支梁在图示任意荷载作用下，截面C产生挠度和转角，若在跨中截面C又加上一个集中力偶M0作用，则梁的截面C的挠度要改变，而转角不变。()2qq(x)qPCBAACBBACqaaaal/2l/2题 5-1-7 图题 5-1-8 图5-1-9一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按
3、图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。（）5-1-10图示变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有 6 个积分常量。（）qqP题 5-1-9 图题 5-1-10 图2 2填填空空题题5-2-1挠曲线近似微分方程y(x)M(x)的近似性表现在和。EIP1。P25-2-2已知图示二梁的抗弯度EI相同，若使二者自由端的挠度相等，则P1P2a2a题 5-2-2 图5-2-3应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是：。5-2-4在梁的变形中挠度和转角之间的关系是。5-2-5用积分法求图示的外伸梁（BD为拉杆）的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边界条件是，连续条件是。5-
4、2-6用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是，连续条件是。5-2-7图示结构为次超静定梁。DEAPxCxPBABACalll/2y题 5-2-5 图题 5-2-6 图题 5-2-7 图5-2-8纯弯曲梁段变形后的曲率与外力偶矩M的关系为，其变形曲线为曲线。5-2-9两根EI值相同、跨度之比为 1：2 的简支梁，当承受相同的均布荷载q作用时，它们的挠度之比为。5-2-10当梁上作用有均布荷载时，其挠曲线方程是x的次方程。梁上作用有集中力时，挠曲线方程是x的次方程。梁上作用有力偶矩时，挠曲线方程是x的次方程。5-2-11图示外伸梁，若AB段作用有均布荷载，BC段上无荷载，
5、则AB段挠曲线方程是x的次方程；BC段挠曲线方程是x的次方程。qABC题 5-2-11 图5-2-12减小梁变形的主要途径有：，。Px2(3l x)，则该梁的弯矩方程为。5-2-13已知梁的挠度曲线方程为y(x)6EI5-2-14梁的变形中，挠度和截面弯矩M的关系是,挠度和截面剪力Q的关系是。5-2-15为使图示AB段的挠曲线为一直线，则x=。5-2-16要使图示简支梁的挠曲线的拐点位于距A端l/3 处，则M1:M2=。5-2-17图示静定梁，其BD上无荷载作用，若已知B截面的挠度yB,则C截面的挠度yC=，D截面的转角D=。PPM1ACBAM2BBDDACx3l/2l/3aaala题 5-2
6、-16 图题 5-2-17 图题 5-2-15 图3 3选选择择题题5-3-1简支梁长为l，跨度中点作用有集中力P，则梁的最大挠度f=()（EI=常量）5Pl5Pl3Pl4Pl3A.B.C.D.384EI48EI48EI3EI5-3-2悬臂梁长为l，梁上作用有均布荷载q，则自由端截面的挠度为。()ql4ql3ql4ql3A.B.C.D.6EI6EI8EI8EI5-3-3两梁尺寸及材料均相同，而受力如图示，则两梁的A 弯矩相同，挠曲线形状不相同B 弯矩相同，挠曲线形状相同C 弯矩不相同，挠曲线形状不相同D 弯矩不相同，挠曲线形状相同5-3-4图示(a)、(b)两梁，长度、截面尺寸及约束均相同，图
7、(a)梁的外力偶矩作用在C截面，图(b)梁的外力偶矩作用在B支座的右作侧，则两梁AB段的内力和弯曲变形的比较是()。A。内力相同，变形不相同B内力及变形均相同C内力及变形均不相同BCM0AD内力不相同，变形相同(a)alM0=PlBM0ACl(b)allP题 5-3-3 图题 5-3-4 图5-3-5当用积分法求图示梁的挠度曲线方程时，在确定积分常量的四个条件中，除x=0,A=0;x=0,yA=0 外，另两个条件是()。A（yc）左=(yc)右，（C）左=（C）右B（yc）左=(yc)右，yB=0CyC=0，yB=0DyB=0，C=05-3-6图示简支梁在分布荷载q（x）=f（x）作用下，梁的
8、挠度曲线方程为其中，积分常量()。EIy(x)M(x)dxdxCx D,，A.C 0,D 0B.C 0,D 0C.C 0,D 0D.C 0,D 0qq(x)M0BABACxyy题 5-3-6 图题 5-3-5 图5-3-7挠曲线方程中的积分常梁主要反映了A 对近似微分方程误差的修正B 剪力对变形的影响C 约束条件对变形的影响D 梁的轴向位移对变形的影响5-3-8图示悬臂梁在B、C两截面上各承受一个力偶矩作用，两力偶矩大小相等，转向相反，使梁产生弯曲变形。B截面的变形为()。Ay 0,0B.y 0,0BCy 0,0D。y 0,0题 5-3-8 图5-3-9图示简支梁受集中力作用，其最大挠度f发生
9、在（）。A集中力作用处B。跨中截面C转角为零处D。转角最大处5-3-10两简支梁EI及l均相同，作用荷载如图所示。跨中截面C分别产生挠度yC和转角C,则两梁C点的挠度及两梁C点的转角有（）。AC相等，yC不相等B。C不相等，yC相等CC和 都不相等D。C和yC都相等2qqABABCCll题 5-3-10 图M0M0C4 4计计算算题题5-4-1试画出图示各梁挠曲线的大致形状。qMM00PPall/2l/2l/3l/3l/3(b)(c)(a)PqPPPl/2l/2aaaal/2l/2(d)(e)(f)题 5-4-1 图25-4-2一简支梁承受图示分布荷载q=Kx（K为已知），试求此梁的挠曲线方程
10、（设EI=常量）。5-4-3已知图示梁的带积分常量的挠曲线方程为3ql22ql31EIy1(x)x1x1C1x1 D1(0 x1)161223ql22ql3qlEIy2x2x2(x2)4C2x2 D21612242l(x2 l)2试求方程中的积分常量。5-4-4试用叠加法求图示梁B点的挠度和转角。（EI=常量）P=qlqqq(x)=Kx2AABBxCCxBAl/2l/2l/2l/2yy题 5-4-4 图题 5-4-3 图题 5-4-2 图5-4-5外伸梁受图示荷载作用，试求C截面的挠度和A截面的转角。（EI=常量。）5-4-6矩形截面梁AB的抗弯刚度为EI，受力如图示。试问B端支座向上抬高为多
11、少时，梁的A截面的弯矩和C截面的弯矩绝对值相等。（材料的抗拉与抗压性能相同）5-4-7图示弯曲的钢板梁AB，截面为矩形，宽度为b，高度为h，钢板放在刚硬地面上时原有曲率半径为，在两端受力P作用使其平直，则将有均布压力作用于刚硬地面C-C上。已知刚梁E（弹性模量），试求所需的P力及其在压平时梁内的最大正应力。PPP2M0=ql/2ABACBCCCl/2l/2lll/2题 5-4-6 图题 5-4-5 图题 5-4-7 图5-4-8长度为l、抗弯刚度为EI的悬臂梁AB，受均布荷载q作用而弯曲时，与半径为r的刚性圆柱面接触，如图所示。试求当梁上某一段AC与刚性圆柱面在C点接触（假设C点与梁左端A的距
12、离为x）时，B点的挠度。5-4-9单位长度重量为q、抗弯刚度为EI的矩形截面钢条，放置在水平刚性面上，刚条的一端伸出水平面一小段CD，如图所示。若伸出长度为a，试求刚条翘起而不与水平面接触的CD段的长度b。ql45-4-10超静定梁如图所示，AB段内作用有均布荷载q，当C支座向下沉陷 时，96EI试求梁的反力。qqBCACBABADxCl/2lbar题 5-4-10 图题 5-4-8 图题 5-4-9 图5-4-11矩形截面悬臂梁如图所示，梁长为l，在沿其截面高度h承受非均匀加热，设梁顶部温度改变为t1，底部温度改变为t2，且t2t1。温度沿截面高度呈线形改变。材料的线膨胀系数为a，弹性模量为
13、E,由于不均匀受热而使梁发生弯曲变形，当梁的悬臂端施加偶矩M0时，能使梁展直。问应施加多大的外力偶矩?M0t1hABt2bl题 5-4-11 图5-4-12悬臂梁AB和CD的自由端处用拉杆BC相连,受力如图所示,若AB梁和CD梁的抗弯刚度EI相等，试求在下列两种情况下C点的挠度.(1)当BC杆为刚性杆,即EA=时；(2)当BC杆长为lEI，EI 2时。2lAB8PCEIDll/2l/2题 5-4-12 图l/2ABEIClPl/2l/2l/25-4-13AB与BC两梁铰接于B，如图所示。已知两梁的抗弯度相等，P=40kN/m,，试求B点的约束力。5-4-14悬臂梁和简支梁材料和截面均相同。已知
14、E及未受力前AB梁B点与CD梁中点之间的间隙（垂直距离），如图所示，当受P力后AB梁在B点的挠度大于，试求各梁的支座反力。5-4-15具有初始挠度的AB梁如图所示，梁的EI和l均为已知。当梁上作用有三角形分布荷载时（q0已知），梁便呈直线形状。试求梁的初始挠曲线方程。lPDq0BAqPCl/2BBCAAxl/2lhx4m2m2mybl/2题 5-4-15 图题 5-4-13 图题 5-4-14 图题5-4-9解图5-4-16试根据对称性求图示梁的挠曲线方程。EI=常量5-4-17两端固定的等截面梁，梁上作用一外力偶矩M0，如图所示。欲使在固定端A的反力偶矩MA为零，则力偶矩M0应作用在梁上何位
15、置？（即x=？）8AM0l/2题 5-4-16 图qa2/2CBAM0l题 5-4-17 图xCB测测试试练练习习解解答答1 1 判判断断改改错错题题5-1-1。挠度和转角不仅与弯矩有关，而且与边界位移条件也有关，例如，当悬臂梁自由端作用有集中力P时，自由端的M=0，但挠度和转角都是最大值。5-1-2。凡弹性变形均与材料的弹性模量值有关。5-1-3。外力在研究的梁段以外，用等效力系代替不影响研究段的内力及变形。5-1-4。在C截面上弯矩为零而剪力不为力零。5-1-5。可以用于变截面梁，只是分母中的Iz不同。5-1-6。根据1 y(x)M(x)1,可知曲率最大值应在M最大的截面处（EI=常量EI
16、时）。5-1-7。若将 2q分解成正对称和反对称两组，就可明显看出，在正对称的q作用下C点有挠度，转角等于零。5-1-8。在C截面加上一力偶矩后C截面的挠度不变，而转角改变。5-1-9。应力不同，变形相同。因为变形只与Iz有关，而 T 形截面无论是还是，其惯性矩Iz是相等的。而应力不仅与Iz有关而且还与ymax（上下边缘到中性轴的距离）有关，这种方法的最大拉应力比这种方法的最大拉应力要大。5-1-10弯矩方程式有三个，但积分时要分成四段，因截面改变处要分段。2 2填填空空题题5-2-1忽略剪力Q的影响；1(y)1P1a3P2(2a)3P1(2a)35-2-28。因，所以 83EIa3P2a35
17、-2-3小变形及材料为线弹性5-2-4y(x)(x)5-2-5x 0,yA 0 x l,yB 0;yB lBD;5-2-6yA 0,(1)A(2)A,(y1)A y2)A5-2-7二次5-2-81 M；圆弧线EI5q(l)45q(2l)4/1/165-2-91：16。因384EI384EI5-2-10 4；3；25-2-11 4；15-2-12 合理安排受力，减小M；减小l；加大EI5-2-13M(x)P(l x)5-2-14y(x)5-2-15l-a5-2-161/25-2-17yCM(x);EIy(x)Q(x)EI1yB/2a23 3选选择择题题5-3-1A5-3-2C5-3-3A5-3-
18、4B5-3-5B5-3-6D5-3-7C5-3-8D5-3-9C5-3-10B4 4 计计算算题题5-4-2梁的挠曲线方程为Kl3（1）求分布荷载的合力P q(x)dx 03tq(x)dx x3l求合力作用点到点的距离：d 0tP4PKl33PKl3,RB（2）求反力：RA41244Kx3x（3）列M(x)RA x 34Kl5M(x),D 0（4）代入y 中并积分，由边界条件确定C 90EI所以y(x)Kx(5l3x2 x5 4l5)360EI5-4-3（1）边界条件：x1 0,y11 0,解出C1 0 x1 0,y1 0,，解出D1 0（2）连续光滑条件：l,2lx1 x2,2x1 x2(y
19、1)C(y2)C,解出C2 0(y1)C(y2)C,，解出D2 0ql3ql4,(yB)q5-4-4（1）只有q作用时，(B)q6EI8EI（2）只有P=ql作用时:lP()2(B)PC)P2,2EIllP()3P()2ll(yB)P(yC)P(C)P2223EI2EI2（3）然后两者叠加：7ql3(B)q(B)PB24EI11ql4yB(B)q(B)P48EI5-4-5（1）只有M0M l12ql作用时，(A)M00(),3EI2yCM0l(B)M0()21(ql2)l（2）只有q作用时，(A)q8()6EI1l(ql2)lq()4l(yC)q82()3EI28EI（3）叠加：7ql3A(A
20、)M0(A)q,48EI45qlyC(yC)M0(yC)q()384EI5-4-6（1）将B约束解除，用反力RB代替。（2）由A、C两截面的弯拒绝对值相等可列方程（3）在P和RB1lPRBl P RBl，解出RB()223P作用下，求B点的挠度。3llP()3P()2RBl3l22 3EI2EI23EIPl3(负号表示向上)144EI5-4-7这是一个求变形和应力的综合题。（1）求压力P：依题意，当两端加上力P后使其平直且在C-C面上产生均布压力q，因此可以将其简化为两端铰支的简支梁，其反力均为P，C-C面上的均布压力q 2P。l5ql416Ebh3，（2）简支梁在均布压力q作用下中点的挠度等
21、于，解出P()384EI5l(3)MmaxM1224Ehql,maxmax28Wz5l5-4-8当q=0时，AB梁上没有外力，梁轴线平直，A端曲率为零。当荷载q由0增加，到q0时，梁A端的弯矩为1112，即有q0l，A端曲率Ar212q l1M(x)20,rEIEI得q02EI2rl1q(l x)211当q q0时，梁上某一段AC与刚性面接触，C点端曲率为2(x)rEI解得x l,2EIqr(2)B点的挠度包括三部分，即yB(yB)1(yB)2(yB)3x212EI2(yB)1为C点的挠度(yB)1(l)2r2rqr(yB)2为C点的转角引起B点的挠度(yB)212EI2EI(l)rqrqr(
22、yB)3为CD段当作悬臂梁在q作用下B点的挠度(yB)3qEI(l x)428EL2qr以上三种挠度叠加，即为点B的挠度yB1EI(l2)2r qr5-4-9由于AB段平直，所以B点的弯矩、转角及挠度均等于零。B点和C点与刚性平面接触，简化为铰支座，则BCD端简化为外伸臂梁。在该梁上作用有均布荷载q(自重)但要满足B 0的条件，如图（a）所示。求B时，可取BC为简支梁，而CD上的均布力向C点平移得一集中力qa和一力偶矩M0B(B)q(B)M0解出b 12qa，如图（b）所示。根据=0 的条件求解b，即21(qa2)b3qb2 02EI6EI2aBCDBbqa2/25-4-10这是一个在外力作用
23、及有支座位移下的一次超静定问题。将C约束解除，用约束力ql4RC代替，成为基本结构。变形协调条件是yC （向上）。96EI3RCl3ql4在q和RC共同作用下求出yC，并将其代入变形协调方程，解出48EI24EIRC1115ql()，然后根据平衡方程求出RA、RB即RAql(),RBql().，。122485-4-11梁在不均匀温度的变化下，发生弯曲和伸长变形，由于t2t1，所以轴线以上伸长少，而轴线以下伸长大，使梁发生凸向下的弯曲变形，B点有向上的挠度，设为(B)t。在梁的自由端上作用力偶矩M0后，能使变形展直，B点又回到原水平位置，设M0作用下B点的 挠 度 为(B)M0。由(B)t=(B
24、)M0，变 形 条 件 可 以 解 出M0值。其 中M0l2a(t2t1)l2a(t2t1)EI(B)t,(B)M0，代入变形条件中解得M0。2h2EIh5-4-12（1）当杆BC的EA=时，杆不变形，将BC杆切短，用RBC代替其约束，取基本结构。变形协调条件为yB=yc()，解出RBC（2）当EA RBCl35Pl35P,则 yC yB。323EI96EIEA时，杆BC有伸长变形，同样将BC杆切段，用RBC代替，取基本结构。l2lRBCRBCl32这 时 的 变 形 协 调 条 件 为yC yB lBC,lBC，解 出EA2EIRBC5P25Pl3,yC56336EI。5-4-13这是一个二
25、次超静定问题。若不计杆的轴向变形，则结构无水平约束力，将该问题简化为B铰只有一个垂直约束力为未知数的结构。在B铰处切断，用约束力RB代替，取出基本结构，并根据B点的变形协调条件建立补充方程(yB)AB=(yB)BC(yB)AB(yB)BCq44RB44,8EI3EI432 P2R 4P2B23EI3EI2EI代入变形协调方程求出R=8.75kN5-4-14因为AB梁点的挠度大于，因此在P作用下AB梁与CD梁共同受力，成了一次超静定问题。若将两梁拆开，约束反力R分别作用在梁上，则成为基本结构。变形协调方程为(yB)AB(yB)CD 将(yB)AB(P R)l3Rl3,(yB)CD，3EI48EI
26、代入变形协调方程解出R 1648EIP，并由平衡条件求个梁的约束反力，1717l3RC RDR,RA P R,MA(P R)l.211q0 x2q0 x326l5-4-15（1）将A端的约束反力用MA、RA表示；（2）列出弯矩方程M(x)MA RAx（3）代入挠曲线近似微分方程并积分；(4)根据A端的位移边界条件求出C=0,D=0;”(5)根据B端的边界条件，即x=l时，M=0（即y=0）；x=l时，yB=0 解出MA 12q0l2,RAq0l；155q0 x2(4l38l2x 5lx2 x3)。(6)最后的出初始挠度曲线方程y 120lEI5-4-16结构为对称，而外力M0为反对称。若将结构取出一半（如取左边一半），则成为A端为固定端、C端为铰支座的单跨超静定梁。在C截面上作用有力偶矩M0，AC段的长度2为l。只要解出AC梁的挠度方程即可，CB段的挠度曲线与AC段组成反对称的挠度曲线，21M02M03(x x).4EI2ly(x)5-4-17若不计梁AB的轴向变形，这是一个二超静定问题。将A固定端解除用约束反力RA、MA=0,代替，并由A点的A=0、y=0 的变形条件建立两个补充方程，并令MA=0，求出x l。3