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1、20202020 年江苏省高考数学试卷（理科）年江苏省高考数学试卷（理科）副标题题号得分一一、填空题（本大题共 1414小题，共 70.070.0分）1.已知集合=1,0，1，2，=0,2，3，则 =_2.已知 i是虚数单位，则复数=(1+)(2 )的实部是_3.已知一组数据 4，2a，3 ，5，6的平均数为 4，则 a 的值是_4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次，观察向上的点数，则点数和为5 的概率是_5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为2，则输入 x 的值是_2256.在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线2=1(0)的一条渐近线方程为=，则该双曲线的离5212.已知522+4
2、=1(,)，则2+2的最小值是_=D 在边 BC上，=4，=3，=90，13.在 中，延长 AD 到 P，使得=9.若+3(为常数)，则 CD的长度是_()2二总分3A、B是圆C：2+(2)2=36上的两个动点，14.在平面直角坐标系xOy中，已知(,0)，满足=，21则 面积的最大值是_二、解答题（本大题共 1111小题，共 140.0140.0分）15.在三棱柱 111中，1 平面 ABC，E，F分别是 AC，1的中点(1)求证：/平面11；(2)求证：平面1 平面1心率是_7.已知=()是奇函数，当 0时，()=3，则(8)的值是_8.已知sin2(4+)=3，则2的值是_9.如图，六角
3、螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的 已知螺帽的底面正六边形边长为 2cm，高为 2cm，内孔半径为0.5，则此六角螺帽毛坯的体积是_310.将函数=3(2+4)的图象向右平移6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_是公比为q的等比数列11.设是公差为d的等差数列，已知数列+的前n项和=2 +2 1()，则+的值是_2216.在 中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、.已知=3，=2，=45(1)求 sinC 的值；(2)在边 BC上取一点 D，使得cos=5，求tan的值4第 1 页，共 10 页17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底
4、O 在水平线 MN上，桥 AB与MN平行，为铅垂线(在 AB上).经测量，左侧曲线 AO上任一点 D 到 MN的距离1(米)与 D 到的距离(米)之间满足关系式1=402；右侧曲线 BO上任一点 F到 MN的距离2(米)与 F到的距离(米)之间满足关系式2=8003+6.已知点 B 到的距离为 40米(1)求桥 AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩 CD和 EF，且CE为 80米，其中C，E在 AB上(不包括端点).桥墩 EF每米造价(万元)，桥墩 CD每米造价2(万元)(0)，问为多少米时，桥墩 CD与 EF的总造价最低？311=()与()=+(,)在区间 D 上恒有()()()
5、19.已知关于 x 的函数=()，(1)若()=2+2，()=2+2，=(,+)，求()的表达式；(2)若()=2+1，()=，()=，=(0,+)，求 k 的取值范围；(3)若()=4 22，()=42 8，()=4(3)34+22(0 0，求数列的通项公式；3(3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“3”数列，且 0？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由1对应的变换作用下得到点(3,4)21.平面上的点(2,1)在矩阵=1(1)求实数 a，b的值；(2)求矩阵 M的逆矩阵1=1的左、右焦点分别为1、2，点A 在椭圆 E 上且在第一象限内，2 12，直线1与椭圆 E 相交于另一点 B
6、(1)求 12的周长；的最小值；(2)在 x轴上任取一点 P，直线 AP与椭圆 E 的右准线相交于点Q，求(3)设点 M 在椭圆 E上，记 与 的面积分别为1，2，若2=31，求点 M的坐标第 2 页，共 10 页22.在极坐标系中，已知(1,3)在直线 l：=2上，点(2,6)在圆 C：=4上(其中 0，0 2)(1)求1，2的值；(2)求出直线 l与圆 C的公共点的极坐标23.设 ，解不等式2|+1|+|0)的一条渐近线方程为=55，可得2=5，所以2=2，所以双曲线的离心率为：=故答案为：23=4+52=，23利用双曲线的渐近线方程，求出a，然后求解双曲线的离心率即可本题考查双曲线的简单
7、性质的应用，是基本知识的考查7.【答案】4【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题由奇函数的定义可得()=()，由已知可得(8)，进而得到(8)【解答】解：=()是奇函数，可得()=()，当 0时，()=3，可得(8)=83=4，则(8)=(8)=4，故答案为：4224.【答案】9【解析】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次，可得基本事件的总数为6 6=36种，而点数和为 5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共 4 种，则点数和为 5的概率为=36=9故答案为：9分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典
8、概率的计算公式可得所求值本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题5.【答案】32,0【解析】解：由题意可得程序框图表达式为分段函数=，+1,0若输出 y值为2时，由于2 0，所以解+1=2，即=3，故答案为：3由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题14118.【答案】3【解析】解：因为sin2(41+)=22，则sin(34+)=1cos(+2)22=1+222=，3解得2=3，故答案为：3
9、根据二倍角公式即可求出本题考查了二倍角公式，属于基础题119.【答案】123 2【解析】【分析】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果【解答】解：六棱柱的体积为：6 2 2 2 60 2=123，圆柱的体积为：(0.5)2 2=2，所以此六角螺帽毛坯的体积是：(123 2)3，第 4 页，共 10 页1故答案为：123 210.【答案】=24【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题利用三角函数的平移可得新函数()=(6)，求()的所有对称轴=24+移后的图象中与 y轴最近的对称轴的方程，【解答】解：因为函数
10、=3(2+4)的图象向右平移6个单位长度可得()=()=3(2+)=3(2 6341275故答案为：4由+的前 n项和=2 +2 1()，由是公差为 d的等差数列，设首项为1；求出等差数列的前 n 项和的表达式；是公比为 q的等比数列，设首项为1，讨论当 q 为 1 和不为 1时的前 n项和的表达式，由题意可得 1，由对应项的系数相等可得d，q 的值，进而求出+的值本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质，属于中档题12.【答案】5，从而可判断平2【解析】解：方法一、由522+4=1，可得2=由2 0，可得2(0,1，则2+2=242511452114524，+2=451+4
11、452=(42+51112)3)，=，当且仅当2=2，2=10，24则=()的对称轴为2 12=2+，即=724可得2+2的最小值为5；方法二、4=(52+2)42(故2+25，当且仅当52+2=42=2，即2=2，2=10时取得等号，可得2+2的最小值为5故答案为：5方法一、由已知求得2，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值；方法二、由4=(52+2)42，运用基本不等式，计算可得所求最小值本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题4413452+2+422)2+2=254(2+2)2，724当=0时，=，5当=1时，=24，所以平移后的图象中与y
12、轴最近的对称轴的方程是=24，故答案为：=245511.【答案】4【解析】解：因为+的前 n项和=2 +2 1()，因为是公差为 d 的等差数列，设首项为1；是公比为 q 的等比数列，设首项为1，所以的通项公式=1+(1)，所以其前 n项和：中，当公比=1时，其前 n项和=1，所以+的前 n 项和=22+(12)+1=2 +2 1()，显然没有出现2，所以 1，则的前 n项和为：21(1)1111+1+(1)213.【答案】0 或5【解析】解：如图，以 A为坐标原点，分别以 AB，AC所在直线为 x，y轴建立平面直角坐标系，则(4,0)，(0,3)，=，得=(+)+(+()由22+)，)(=2
13、+(2 3)整理得：=2(4,0)+(2 3)(0,3)=(8,6 9)由=9，得642+(6 9)2=81，解得=25或=0=(0,9)，此时 C与 D 重合，|=0；当=0时，当=25时，直线 PA的方程为=直线 BC 的方程为4+3=1，27968273318=22+(12)，=11，所以=2+(12)+1111=2 +2 1()，2=112=1由两边对应项相等可得：解得：=2，1=0，=2，1=1，=211=1所以+=4，第 5 页，共 10 页联立两直线方程可得=3，=3 2即(25,25)，|=(25)2+(25 3)2=的长度是 0 或5故答案为：0或5 的以 A 为坐标原点，分
14、别以 AB，AC所在直线为 x，y轴建立平面直角坐标系，求得 B与 C 的坐标，再把坐标用 m 表示由=9列式求得 m 值，然后分类求得D的坐标，则 CD的长度可求本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题14.【答案】105【解析】解：圆 C：2+(2)2=36的圆心(0,2)，半径为 6，如图，作 PC所在直径 EF，交 AB于点 D，因为=，=6，所以 ，EF为垂径，要使面积最大，则 P，D位于 C的两侧，并设=，可得=+=1，故=1+，=2=236 2，44可令=6，=2|=(1+)36 2=(1+6)6=6+182，0 2，设函数()=6+182，
15、0 2，()=6+362=6(122+6)，由()=6(122+6)=0，解得=3(=4 0舍去)，显然，当0 3，()0，()递减；当3 0，()递增，5结合在(0,2)递减，故=3时，()最大，此时=1 cos2=，322223113111818722118572 218所以1 ，又因为 ，1=，平面1，1 平面1，所以 平面1，因为 平面1，所以平面1 平面1【解析】(1)证明/1，然后利用直线与平面平行的判断定理证明/平面11；(2)证明1 ，结合 ，证明 平面1，然后证明平面1 平面1本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，
16、是中档题16.【答案】解：(1)因为=3，=2，=45.，由余弦定理可得：=2+2 2=9+2 2 3 2 2=5，2由正弦定理可得=，所以=45=，525225所以=；55(2)因为cos=5，所以sin=1 cos2=5，在三角形 ADC中，易知 C为锐角，由(1)可得=1 sin2=25，525，2543所以在三角形 ADC中，sin=sin(+)=sin+cos=11 5因为 (0,2)，所以cos=1 sin2=，25所以tan=cos=11【解析】(1)由题意及余弦定理求出 b边，再由正弦定理求出sinC 的值；(2)三角形的内角和为180，cos=5，可得为钝角，可得与+互为补角
17、，所以sin=sin(+)展开可得sin及cos，进而求出tan的值本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题4sin217.【答案】解：(1)2=8003+6，点 B 到的距离为 40米，可令=40，可得2=800 403+6 40=160，即为|=160，由题意可设1=160，由402=160，解得=80，则|=80+40=120米；(2)可设=，则=80，由31111故()=6+36=105，333则 面积的最大值为105故答案为：105求得圆的圆心 C和半径，作 PC所在直径 EF，交 AB于点 D，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三
18、角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题15.【答案】证明：(1)，F 分别是 AC，1的中点所以/1，因为 平面11，1平面11，所以/平面11；(2)因为1 平面 ABC，平面1，5520 40，可得0 40，0 80 0，当0 20时，0，函数 y递减；8003综上所述，M 点坐标为(2,0)或(7,7).【解析】(1)由椭圆标准方程可知 a，b，c的值，根据椭圆的定义可得 12的周长=2+2，代入计算即可(2)由椭圆方程得(1,2)，设(,0)，进而由点斜
19、式写出直线AP方程，再结合椭圆的右准线为：=4，得点 Q 为(4,21)，再由向量数量积计算最小值即可(3)在计算 与 的面积时，AB可以最为同底，所以若2=31，则 O到直线 AB距离1与 M到直线 AB 距离2，之间的关系为2=31，根据点到直线距离公式可得1=5，2=5，所以题意可以转化为 M点应为与直线 AB平行且距离为5的直线与椭圆的交点，设平行于AB的直线 l为3 4+=0，与直线 AB 的距离为5，根据两平行直线距离公式可得，=6或 12，然后在分两种情况算出M 点的坐标即可本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题19.【答案
20、】解：(1)由()=()得=0，又()=2+2，()=2+2，所以(0)=(0)=2，所以，函数()的图象为过原点，斜率为2的直线，所以()=2，经检验：()=2，符合任意，(2)()()=(1 )，设()=1 ，设()=1=119939343212当20 0，函数 y 递增，所以当=20时，y 取得最小值，即总造价最低答：(1)桥|长为 120米；(2)为 20米时，桥墩 CD与 EF 的总造价最低【解析】(1)由题意可令=40，求得2，即的长，再令1=|，求得 a，可得|=+；(2)可设=，则=80，0 0，()单调递增，在(0,1)上，()(0)=1+0，1，所以=1，当+12 0 时，
21、即 1时，所以(2,0)或(7,7).当=12时，直线 l为3 4+12=0，即=4(+4)，=4(+4)21联立22，可得42+18+24=0，=9 (36 56)0，所以无解，+3=1433212 0，即(+1)2 4(+1)0，解得1 3，综上，0,3(3)因为()=4 22，所以()=43 4=4(+1)(1)，x2(2,1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2 01+0 0 01+()()00所以函数=()的图象在=0处的切线为：334242，=(40 40)(0)+(0 20)=(40 40)30+20第 7 页，共 10 页可见直线=()为函数=()的图象在=(0|2)处的切线
22、由函数=()的图象可知，当()()在区间 D上恒成立时，|1,2，又由()()=0，得42 4(3)+34 22 8=0，设方程()()=0的两根为1，2，则1+2=3，12=342284，所以|1 2|=(1+2)2 412=(3)2(34 22 8)=6 54+32+8，2=，则 1,2，由图象可知，=|1 2|=3 52+3+8，设()=3 52+3+8，则()=32 10+3=(3)(3 1)，所以当 1,2时，()0时进行讨论，进而得出答案(3)因为()=4 22，求导，分析()单调性及图象得函数=()的图象在=0处的切线为：=342，可推出直线=()为函数=()的图象在=(0 0，
23、则=1，同上分析不存在三个不同的数列；1时，2+(1 )+1=0无解，1 3时，=(1 )2 4 3时，即0 0，设 2，=1 0，则0 1 ，则对任意 ，条件+1=1或+1=3或+11,=11,=1,2=3，此时=1，=3，=3均符合,2,31,=11,=11,=1对应=，=3 1,=2，=3 1,=3，0,20,30,=2,4则存在三个不同的数列为“3”数列，且 0，综上可得0 0，令=()0，13123 =，列方程组，求出 a、b 的值；【解析】(1)由114(2)设矩阵 M的逆矩阵为1=32则(1 3)3+3(1 3)=0，2=1时，=，由 0，可得=1，则+1=，即+1=0，此时唯一
24、，不存在三个不同的数列，322 1时，令=13，则+1=0，则(1)+(1 )+1=0，3101 =，列方程组求出 m、n、p 和 q 的值即可，利用01本题考查了矩阵的变换与计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题22.【答案】解：(1)(1,3)在直线 l：=2上，第 8 页，共 10 页 1cos=2，解得1=43点(2,6)在圆 C：=4上，2=46，解得2=2=2(2)由直线 l与圆 C 得，方程组=4 0,2)，2=2，=4 =4 sin4=22故公共点的极坐标为(22,4).【解析】(1)直接根据点 A 在直线 l上，列方程求出1的值，点 B 在圆 C 上，列方程求出2的值；(2
25、)联立直线 l与圆 C的方程，然后求出其公共点的极坐标即可本题考查的知识要点：极坐标与极坐标方程的关系和根据简单曲线极坐标方程求交点坐标，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型3+2,023.【答案】解：2|+1|+|=+2,1 03 2,13+2 4+2 43 2 4 2|+1|+|4，或或，1 0 0 0 或1 0或2 1，2 ，33不等式的解集为|2 3.【解析】先将2|+1|+|写为分段函数的形式，然后根据2|+1|+|4，利用零点分段法解不等式即可本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题24.【答案】解：(1)如图，连接 OC，=，O为 BD的中点，222=
26、(1,1,1)=(1,0,2)，设直线 AB与 DE 所成角为，则=|=|1+2|1+4=1+1+115，1515即直线 AB与 DE 所成角的余弦值为；15，则2=111(2)=，=，44设(,y，)，则(1,y，)=(4，2，0)，(4,2,0)7 1=(1,2,0)=(1,1,1)，=(4,2,0)，113 1=(1,1,1)，设平面 DEF的一个法向量为=1+1+1=0 =(2,7,5)；由，取1=2，得=71+11=0 42=(2,2,2)，设平面 DEC的一个法向量为=2+2+2=0 =(2,1,1)由，取2=2，得=2+22=0|=|=|4+75|4+49+25=4+1+1113
27、13 sin=1 cos2=1 13=23913【解析】(1)由题意画出图形，连接 OC，由已知可得 ，以 O 为坐标原点，分别以OB，OC，OA=(1,0,2)，=(1,1,1)，设所在直线为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到直线 AB 与 DE所成角为，由两向量所成角的余弦值，可得直线AB与 DE 所成角的余弦值；113 1=，设(,y，)，由向量等式求得(,0)，进一步求出平面DEF的一个法(2)由=4，得44 2向量与平面 DEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得，再由同角三角函数基本关系式求解本题考查利用空间向量求空间角，考查空间想象能力与逻辑思维能力和
28、运算求解能力，是中档题25.【答案】解：(1)由题意可知：1=3，1=3，则2=31+331=27；2=1+(+)1=3333312221116272121217112(2)由题意可知：+1=3+33=3+9，+1=3+(33+33)+3(1 )=9+3，两式相加可得2+1+1=3+3+3=3(2+)+3，则：2+=3(21+1)+3，122121222211212以 O 为坐标原点，分别以OB，OC，OA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 =2，=1，则=2 2=5 1=2(1,0，0)，(0,0，2)，(0,2，0)，(1,0，0)，是 AC的中点，(0,1，1)，所以，2+1=3(21+1 1)，因为21+1 1=3，数列2+1是首项为3，公比为3的等比数列，第 9 页，共 10 页1111所以2+1=(3)，即2+=(3)+1，所以()=2+0 (1 )=(3)+1【解析】(1)利用已知条件求出1=3，1=3，推出2；2即可(2)推出+1=3+9，+1=9+3，得到2+1+1=3(2+)+3，推出2+1=112121212111(21+1 1)，说明数列2+1是首项为，公比为 的等比数列，然后求解的通项公式以及333期望即可本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是难题11第 10 页，共 10 页