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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设z 1i2i，则|z|1i2AB12CD22已知集合A x x x2 0，则RA Ax 1 x 2Cx|x 1Bx 1 x 2Dx|x 1x|
2、x 2x|x 23某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4设Sn为等差数列an的前项和，若3S3 S2 S4，a1 2，则a5A12B10C10D125设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线y f(x)在点(0,0
3、)处的切线方程为Ay 2xBy xCy 2xDy x6在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB A31ABAC44B13ABAC44C31ABAC44D13ABAC447某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A2 17B2 5C3D28设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为A5B62的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN=3D8C7ex，x 0，g(x)f(x)xa若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取
4、值范围是9已知函数f(x)ln x，x 0，A1，0）B0，+）C1，+）D1，+）10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC ABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 II，其余部分记为 III在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III 的概率分别记为 p1，p2，p3，则Ap1=p2Cp2=p3Bp1=p3Dp1=p2+p3x211已知双曲线 C：y21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点3分别为 M、N.若OMN 为直角三角形，则|
5、MN|=A32B3C2 3D412已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为A3 34B2 33C3 24D32二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。x 2y 2 013若，满足约束条件x y 1 0，则z 3x 2y的最大值为_y 014记Sn为数列an的前项和，若Sn 2an1，则S6_15 从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案）16已知函数fx 2sin xsin2x，则fx的最小值是_三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过
6、程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17（12 分）在平面四边形ABCD中，ADC 90，A 45，AB 2，BD 5.（1）求cosADB；（2）若DC 2 2，求BC.18（12 分）如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF BF.（1）证明：平面PEF 平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.19（12 分）x2 y21的右焦点为F，过F的直线与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).设椭圆C:2（1）
7、当与轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA OMB.20（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0 p 1)，且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品
8、进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21（12 分）已知函数f(x)1 xaln xx（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：fx1 fx2 a2x1 x2（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4 4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y k|x|2.以坐标原点为极点
9、，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2cos3 0.（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.23选修 4 5：不等式选讲（10 分）已知f(x)|x1|ax1|.（1）当a 1时，求不等式f(x)1的解集；（2）若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求的取值范围.2参考答案：1C2B3A4B5D6A7B8D9C10A11B12A13.614.6315.1616.17.（12 分）3 32解：（1）在ABD中，由正弦定理得BDAB.sinAsinADB由题设知，252，所以sinADB.5sin45sinADB由题设知，ADB90，所以co
10、sADB 1223.2552.5（2）由题设及（1）知，cosBDC sinADB 在BCD中，由余弦定理得BC2 BD2 DC22BDDC cosBDC 258252 22525.所以BC 5.18.（12 分）解：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以 BF平面 PEF.又BF 平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.（2）作 PHEF，垂足为 H.由（1）得，PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点，HF的方向为 y 轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz.由（1）可得，DEPE.又 DP=2，DE=1，所以 PE=3.又 PF=1，EF=2，故 P
11、EPF.可得PH 33,EH.2233333),D(1,0),DP (1,),HP (0,0,)为平面 ABFD 的法向量.22222则H(0,0,0),P(0,0,3HPDP3|4设 DP 与平面 ABFD 所成角为，则sin|.4|HP|DP|3所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为19.（12 分）解：（1）由已知得F(1,0)，l 的方程为 x=1.3.4由已知可得，点 A 的坐标为(1,22)或(1,).22所以 AM 的方程为y 22x2或y x2.22（2）当 l 与 x 轴重合时，OMAOMB0.当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB.
12、当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y k(x1)(k 0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，则x12,x22，直线 MA，MB 的斜率之和为kMAkMB由y1 kx1k,y2 kx2k得y1y2.x12x22kMA kMB2kx1x23k(x1 x2)4k.(x12)(x22)x2 y21得将y k(x1)代入2(2k21)x24k2x2k22 0.4k22k22,x1x22所以，x1 x2.2k212k 14k34k 12k38k34k 0.则2kx1x23k(x1 x2)4k 22k 1从而kMAkMB 0，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以OMAOMB.综上，OMAO
13、MB.20.（12 分）2218解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p)C20p(1 p).因此18217217f(p)C2202p(1 p)18p(1 p)2C20p(1 p)(110p).令f(p)0，得p 0.1.当p(0,0.1)时，f(p)0；当p(0.1,1)时，f(p)0.所以f(p)的最大值点为p0 0.1.（2）由（1）知，p 0.1.（i）令Y表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知Y:B(180,0.1)，X 20225Y，即X 4025Y.所以EX E(4025Y)4025EY 490.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的
14、检验费为400 元.由于EX 400，故应该对余下的产品作检验.21.（12 分）1ax2ax1解:（1）f(x)的定义域为(0,)，f(x)21.xxx2（i）若a 2，则f(x)0，当且仅当a 2，x 1时f(x)0，所以f(x)在(0,)单调递减.aa24aa24（ii）若a 2，令f(x)0得，x 或x.22aa24aa24)U(,)时，f(x)0；当x(0,22aa24 aa24aa24aa24,)时，f(x)0.所以f(x)在(0,),(,)单当x(2222aa24 aa24,)单调递增.调递减，在(22（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a 2.2由于f(x)的两个极
15、值点x1,x2满足x ax1 0，所以x1x21，不妨设x1 x2，则x21.由于f(x1)f(x2)ln x1ln x2ln x1ln x22ln x21 1a 2a 2a，1x1 x2x1x2x1 x2x1 x2 x2x2所以f(x1)f(x2)1 a2等价于 x22ln x2 0.x1 x2x2设函数g(x)1 x2ln x，由（1）知，g(x)在(0,)单调递减，又g(1)0，从而当x(1,)x时，g(x)0.所以f(x1)f(x2)1 x22ln x2 0，即 a2.x2x1 x222选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）【解析】（1）由x cos，y sin得C2的直角坐标方程
16、为(x1)y 422（2）由（1）知C2是圆心为A(1,0)，半径为的圆C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线由题设知，记y轴右边的射线为，y轴左边的射线为 由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于与C2只有一个公共点且与C2有两个公共点，或与C2只有一个公共点且与C2有两个公共点学#当与C2只有一个公共点时，A到所在直线的距离为，所以经检验，当k 0时，与C2没有公共点；当k|k 2|2，故k 4或k 03k214时，与C2只有一个公共点，与C2有两个公共点3|k 2|2，故k 0或k 43k21当与C2只有一个公共点时，A到所在直线的距离为，所以经检验，当k 0时，与C2没有公共点；当k 综上，所求C1的方程为y 4时，与C2没有公共点34|x|2323选修 4-5：不等式选讲（10 分）2,x 1,【解析】（1）当a 1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)2x,1 x 1,2,x 1.故不等式f(x)1的解集为x|x（2）当x(0,1)时|x1|ax 1|x成立等价于当x(0,1)时|ax 1|1成立若a 0，则当x(0,1)时|ax 1|1；若a 0，|ax 1|1的解集为0 x 综上，的取值范围为(0,21222，所以1，故0 a 2aa