《2019年全国统一高考数学试题(理科)(新课标Ⅱ)(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年全国统一高考数学试题(理科)(新课标Ⅱ)(解析版).pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、20192019 年全国统一高考数学试题（理科）年全国统一高考数学试题（理科）（新课标）（新课标）一、单选题一、单选题1 1设集合设集合 A A=x x|x x2 2-5-5x x+60+60，B B=x x|x x-10-1 b b，则，则A Aln(ln(a a b b)0)0C Ca a3 3 b b3 300【答案】【答案】C【解析】【解析】本题也可用直接法，因为a b，所以ab0，当ab 1时，ln(a b)0，知 A 错，因为y 3是增函数，所以3a3b，故 B 错；因为幂函数y x是增函数，x3B B3 3a a3b b a b，所以a3b3，知 C 正确；取a 1,b 2，满足
2、a b，1 a b 2，知D错【详解】第 3 页 共 19 页取a 2,b 1，满足a b，ln(a b)0，知 A 错，排除 A；因为9 3a 3b 3，知 B 错，排除 B；取a 1,b 2，满足a b，1 a b 2，知 D 错，排除 D，因为幂函数y x是增函数，a b，所以a3b3，故选 C【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断7 7设设 ，为两个平面，则为两个平面，则 的充要条件是的充要条件是A A 内有无数条直线与内有无数条直线与 平行平行B B 内有两条相交直线与内有两条相交直线与 平行平行C
3、 C，平行于同一条直线平行于同一条直线D D，垂直于同一平面垂直于同一平面【答案】【答案】B【解析】【解析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是/的充分条件，由面面平行性质定理知，若/，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是/的必要条件，故选 B【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若a,b,a/b，则/”此类的错误38 8若抛物线若抛物线 y y2 2=2=2pxpx（p p00）的
4、焦点是椭圆）的焦点是椭圆A A2 2C C4 4【答案】【答案】Dx23py2p1的一个焦点，则的一个焦点，则 p p=B B3 3D D8 8【解析】【解析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程，即可解出p，或者2，0）利用检验排除的方法，如p 2时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（，排除 A，同样可排除 B，C，故选 D【详解】第 4 页 共 19 页x2y2p1的一个焦点，所以因为抛物线y 2px(p 0)的焦点(,0)是椭圆3pp22p3p p ()2，解得p 8，故选 D2【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养9 9下列函数中，以下列函
5、数中，以A Af f(x x)=cos 2)=cos 2x x C Cf f(x x)=cos)=cosx x【答案】【答案】A【解析】【解析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养画出各函数图象，即可做出选择【详解】因为y sin|x|图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为y cos x cosx，为周期且在区间为周期且在区间(，)单调递增的是单调递增的是242B Bf f(x x)=sin 2)=sin 2x x D Df f(x x)=sin)=sinx x ，在区间(,)单4 22 调递增，A 正确；作出y sin2x的图象，由图象知，其周期为，在区间(,
6、)单4 22周期为2，排除 C，作出y cos2x图象，由图象知，其周期为调递减，排除 B，故选 A【点睛】利用二级结论：函数y f(x)的周期是函数y f(x)周期的一半；y sinx不是周期函数；第 5 页 共 19 页1010已知已知 a a（0 0，），2sin2=cos2+12sin2=cos2+1，则，则 sin=sin=2B BA A1533552 55C CD D【答案】【答案】B【解析】【解析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1 关系得出答案【详解】24sin cos 2cos.2sin 2 cos21，0,cos 021sin 0,2sin cos，
7、又sin2cos21，5sin2 1,sin2，5又sin 0，sin【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉5，故选 B5x2y21111设设 F F 为双曲线为双曲线 C C：221（a a00，b b00）的右焦点，）的右焦点，O O 为坐标原点，以为坐标原点，以 OFOF 为为ab直径的圆与圆直径的圆与圆 x x2 2+y y2 2=a a2 2交于交于 P P、Q Q 两点若两点若|PQPQ|=|=|OFOF|，则，则 C
8、 C 的离心率为的离心率为A A2C C2 2【答案】【答案】A【解析】【解析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与 a 关系，可求双曲线的离心率【详解】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ x轴，又B B3D D5cPQ|OF|c，|PA|,PA为以OF为直径的圆的半径，2cA为圆心|OA|2第 6 页 共 19 页 c c P,，又P点在圆x2 y2 a2上，2 2c2c2c2c2222 a，即 a,e 2 2442ae 2，故选 A【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，
9、双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来1212设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为 R R，满足，满足f(x1)2 f(x)，且当，且当x(0,1时，时，8f(x)x(x1).若对任意若对任意x(,m，都有，都有f(x)，则，则 m m 的取值范围是的取值范围是9A A,49B B,375,C C2【答案】【答案】B8,D D3【解析】【解析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决【详解】x(0,1时，f(x)=x(x1)，f(x+1)=2 f(x)，f(x)2 f(
10、x1)，即f(x)右移1 个单位，图像变为原来的2 倍如图所示：当2 x 3时，f(x)=4f(x 2)=4(x 2)(x 3)，令第 7 页 共 19 页84(x2)(x3)，整理得：9x245x56 0，9788x(,m时，f(x)成立，(3x7)(3x8)0,x1,x2（舍），339即m 77，m,，故选 B33【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2 倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力二、填空题二、填空题1313我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有我国高铁发展迅速，
11、技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 1010 个车次个车次的正点率为的正点率为 0.970.97，有有 2020 个车次的正点率为个车次的正点率为 0.980.98，有有 1010 个车次的正点率为个车次的正点率为 0.990.99，则经停则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_._.【答案】【答案】098.【解析】【解析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2，其中高铁个数为 10+20+10=40，所以该站所有高铁平
12、均正点率约为【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养侧重统计数据的概率估算，难度不大易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值1414已知已知f(x)是奇函数，且当是奇函数，且当x 0时，时，f(x)eax.若若f(ln2)8，则，则39.2 0.9840a _._.【答案】【答案】-3第 8 页 共 19 页【解析】【解析】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案【详解】ax因为f(x)是奇函数，且当x 0时，f(x)e又因为ln2(0,1)，f(ln2)8，所以ealn2 8，两边
13、取以e为底的对数得aln23ln2，所以a 3，即3【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算1515ABC的内角的内角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c.若若b 6,a 2c,B 的面积为的面积为_._.【答案】【答案】6 3【解析】【解析】本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用a,c的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得b2 a2c22accosB，所以(2c)c 22cc即c212解得c 2 3,c 2 3（舍去）所以a 2c 4 3，22，则则ABC31 62，2SAB
14、C113acsin B 4 32 3 6 3.222【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误 解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算1616中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体半正多面体”（图（图 1 1）.半正多半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现
15、了数学的对称半正多面体体现了数学的对称美图美图 2 2 是一个棱数为是一个棱数为 4848 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为且此正方体的棱长为 1 1则该半正多面体共有则该半正多面体共有_个面，其棱长为个面，其棱长为_第 9 页 共 19 页【答案】【答案】共 26 个面.棱长为2 1.【解析】【解析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决【详解】由图可知第一层与第三层各有9 个面，计 18 个面，第二层共有 8 个面，所以该半正多面体共有188 26个面如图
16、，设该半正多面体的棱长为x，则AB BE x，延长BC与FE交于点G，延长BC交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，BGE为等腰直角三角形，BG GE CH 22x,GH 2x x (2 1)x 1，22x 12 1，即该半正多面体棱长为x2 1x1【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形三、解答题三、解答题1717BEBEECEC1 1.如图，如图，长方体长方体 ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面的底面 ABCDABCD是正
17、方形，是正方形，点点 E E在棱在棱AAAA1 1上，上，第 10 页 共 19 页（1 1）证明：）证明：BEBE平面平面 EBEB1 1C C1 1；（2 2）若）若 AEAE=A A1 1E E，求二面角，求二面角 B B ECEC C C1 1的正弦值的正弦值.【答案】【答案】（1）证明见解析；（2）32【解析】【解析】（1）利用长方体的性质，可以知道B1C1侧面A1B1BA，利用线面垂直的性质可以证明出B1C1 EB，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE 平面EB1C1；（2）以点B坐标原点，以BA,BC,BB1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为a
18、，B1B b，求出相应点的坐标，利用BE EC1，可以求出a,b之间的关系，分别求出平面EBC、平面ECC1的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角B EC C1的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角B EC C1的正弦值.【详解】证明（1）因为ABCD A1B1C1D1是长方体，所以B1C1面A1B1BA，所以BE B1C1又BE EC1，B1C1EC1 C1，B1C1,EC1平面EB1C1，因此BE 平面EB1C1；（2）以点B坐标原点，以BA,BC,BB1分别为x,y,z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，侧面A1B1BA，而BE 平第 11 页 共 19 页bB(
19、0,0,0),C(0,a,0),C1(0,a,b),E(a,0,)，2因为BE EC1，所以bbb22BEEC1 0(a,0,)(a,a,)0 a 0 b 2a，224所以E(a,0,a)，EC(a,a,a),CC1(0,0,2a),BE(a,0,a)，设m(x1,y1,z1)是平面BEC的法向量，所以ax az1 0,1 m (1,0,1)，ax ay az 0.11mEC 0.1mBE 0,设n(x2,y2,z2)是平面ECC1的法向量，nCC1 0,2az2 0,n (1,1,0)，所以ax2ay2az2 0.nEC 0.二面角B EC C1的余弦值的绝对值为mnm n11，22213.
20、所以二面角B EC C1的正弦值为1()222【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.18181111分制乒乓球比赛，每赢一球得分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 1 分，当某局打成分，当某局打成 10:1010:10 平后，每球交换发球权，平后，每球交换发球权，先多得先多得 2 2 分的一方获胜，该局比赛结束分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为球时甲得分的概率为 0.50.5，乙发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为
21、 0.40.4，各球的结果相互独立，各球的结果相互独立.在在某局双方某局双方 10:1010:10 平后，甲先发球，两人又打了平后，甲先发球，两人又打了 X X 个球该局比赛结束个球该局比赛结束.（1 1）求）求 P P（X X=2=2）；（2 2）求事件）求事件“X X=4=4 且甲获胜且甲获胜”的概率的概率.第 12 页 共 19 页【答案】【答案】（1）0.5；（2）0.1【解析】【解析】(1)本题首先可以通过题意推导出PX 2所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出P X4所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，
22、后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果。【详解】(1)由题意可知，PX 2所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”所以P X20.5 0.4 0.5 0.60.54包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”(2)由题意可知，P X所以P X【点睛】40.5 0.6 0.5 0.4+0.5 0.4 0.5 0.40.1本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出PX 2以及P X4所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题。1919已知数列已知数列 a an n 和和 b bn n 满足满足 a a1 1=1=1，b
23、 b1 1=0=0，4an1 3anbn4，4bn1 3bnan4.（1 1）证明：）证明：a an n+b bn n 是等比数列，是等比数列，a an n b bn n 是等差数列；是等差数列；（2 2）求）求 a an n 和和 b bn n 的通项公式的通项公式.【答案】【答案】（1）见解析；（2）an12nn12，bn12nn12。【解析】【解析】(1)可通过题意中的4an1 3anbn4以及4bn1 3bnan4对两式进行相加和相减即可推导出数列anbn是等比数列以及数列anbn是等差数列；(2)可通过(1)中的结果推导出数列anbn以及数列anbn的通项公式，然后利用数列anbn以
24、及数列anbn的通项公式即可得出结果。【详解】(1)由题意可知4an1 3anbn4，4bn1 3bnan4，a1b1所以4an 11，a1b11，124bn 13anbn43bnan42an2bn，即an 1bn 1anbn，所以数列anbn是首项为1、公比为1的等比数列，anbn21n 1，2第 13 页 共 19 页因为4an所以an 114bn 13anbn4bn 13bnan44an4bn8，anbn2，数列anbn是首项1、公差为2的等差数列，anbn2n 1。1n 1，2(2)由(1)可知，anbn所以an【点睛】12anbn2n 1，12anbnanbn12nn，bn12anb
25、nanbn12nn12。本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题。2020已知函数已知函数fx ln x.x 1（1 1）讨论）讨论 f f(x x)的单调性，并证明的单调性，并证明 f f(x x)有且仅有两个零点；有且仅有两个零点；（2 2）设）设 x x0 0是是 f f(x x)的一个零点，证明曲线的一个零点，证明曲线 y y=ln=ln x x 在点在点 A A(x x0 0，lnln x x0 0)处的切线也是曲处的切线也是曲线线y e的切线的切
26、线.【答案】【答案】（1）函数f(x)在(0,1)和(1,)上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【解析】（1）对函数f(x)求导，结合定义域，判断函数的单调性；x（2）先求出曲线y lnx在A(x0,ln x0)处的切线l，然后求出当曲线y e切线的斜率xxx1与l斜率相等时，证明曲线y e切线l在纵轴上的截距与l在纵轴的截距相等即可.【详解】（1）函数f(x)的定义域为(0,1)(1,)，x1x21f(x)的定义域为(0,1)(1,)，f(x)ln x f(x)2，因为函数x1x(x1)所以f(x)0，因此函数f(x)在(0,1)和(1,)上是单调增函数；1111e2x 0
27、,y ，0，当x(0,1)，时，而f()ln显然当x(0,1)，1ee1e1e函数f(x)有零点，而函数f(x)在x(0,1)上单调递增，故当x(0,1)时，函数f(x)有唯一的零点；第 14 页 共 19 页e12e21e2322当x(1,)时，f(e)lne 0,f(e)lne 22 0，e1e1e 1e 122因为f(e)f(e)0，所以函数f(x)在(e,e)必有一零点，而函数f(x)在(1,)上是单调递增，故当x(1,)时，函数f(x)有唯一的零点综上所述，函数f(x)的定义域(0,1)(1,)内有 2 个零点；（2）因为x0是f(x)的一个零点，所以f(x0)ln x0 x01x
28、1 0 ln x00 x01x01y ln x y 11k y lnxA(x,ln x)，所以曲线在，故曲线00处的切线l的斜率x0 xx 11(x x0)而ln x00，x0 x01y lnx在A(x0,ln x0)处的切线l的方程为：y ln x0所以l的方程为y x22.，它在纵轴的截距为x0 x01x01xxxxx设曲线y e的切点为B(x1,e1)，过切点为B(x1,e1)切线l，y e y e，所xx以在B(x1,e1)处的切线l的斜率为ex1，因此切线l的方程为y e1x e1(1 x1)，x当切线l的斜率k1 e等于直线l的斜率k x111x1e x1(ln x0)，时，即x0
29、 x0(1ln x0)1(1ln x0)，而x01切线l在纵轴的截距为b1 e(1 x1)exlnx0ln x0 x01x0112b(1)，所以1，直线l,l的斜率相等，在纵轴上的截x0 x01x01x01x距也相等，因此直线l,l重合，故曲线y lnx在A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y e的切线.【点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.2121已知点已知点 A A(2,0)(2,0)，B B(2,0)(2,0)，动点，动点 MM(x x,y y)满足直线满足直线 AMAM 与与 BMBM 的斜率之积为的斜率之积为 1.记记 MM2的轨迹
30、为曲线的轨迹为曲线 C C.（1 1）求）求 C C 的方程，并说明的方程，并说明 C C 是什么曲线；是什么曲线；（2 2）过坐标原点的直线交）过坐标原点的直线交 C C 于于 P P，Q Q 两点，点两点，点 P P 在第一象限，在第一象限，PEPEx x 轴，垂轴，垂第 15 页 共 19 页足为足为 E E，连结，连结 QEQE 并延长交并延长交 C C 于点于点 G G.（i i）证明：）证明：PQG是直角三角形；是直角三角形；（ii ii）求）求PQG面积的最大值面积的最大值.（二）选考题：共（二）选考题：共1010 分请考生在第分请考生在第2222、2323 题中任选一题作答。如
31、果多做，则题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分按所做的第一题计分【答案】【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【解析】（1）分别求出直线 AM 与 BM 的斜率，由已知直线 AM 与 BM 的斜率之积为1，2可以得到等式，化简可以求出曲线C 的方程，注意直线AM 与 BM 有斜率的条件；（2）（i）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q 两点的坐标，进而求出点E的坐标，求出直线QE的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出G的坐标，再求出直线PG的斜率，计算kPQkPG的值，就可以证明出PQG是直角三角形；（ii）由（i）可知P,Q,G三点坐标，PQG是直角三角形，
32、求出PQ,PG的长，利用面积公式求出PQG的面积，利用导数求出面积的最大值.【详解】（1）直线AM的斜率为知：yy(x 2)，直线BM的斜率为(x 2)，由题意可x2x2yy1 x2 2y2 4,(x 2)，所以曲线 C 是以坐标原点为中心，x2 x2222xy焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为1,x 2；42（2）（i）设直线PQ的方程为y kx,由题意可知k 0,直线PQ的方程与椭圆方程22x,x,22y kx,2k 12k 1,点P在第一x22y2 4联立,即2或22k2kx 2y 4.y.y.222k 12k 1象限，所以P(22k 12,2k2k 12),Q(22k 12
33、,2k2k 12)，因此点E的坐标为(22k 12,0)kkky x，可得直线QE方程：，与椭圆方程联2222k 1第 16 页 共 19 页直线QE的斜率为kQEkk22y x,4k x12k 8222y2(2k)x 0（）立，设2k 1，消去得，222k 12k 1x22y2 4.点G(x1,y1)，显然Q点的横坐标22k 12和x1是方程（）的解12k282226k 4所以有x，代入直线QE方程中，得2k 1 x 112k22k21(k22)2k21y12k232(k 2)2k 1，所以点G的坐标为(k 2)2k 1(k 2)2k 1，2222(6k24,2k3)2k3直线PG的斜率为;
34、kPG(k22)2k216k24(k 2)2k 1222k2k32k(k22)12k212,26k 42(k22)k2k21因为kPQkPG k()1,所以PQ PG，因此PQG是直角三角形；（ii）由（i）可知：P(1k22k 12,2k2k 12),Q(22k 12,2k2k 12)，G的坐标为(k 2)2k 1(k 2)2k 1，2222(6k24,2k3)PQ(22k 1222k 12)(222k2k 1)(222k2k 12k32)24 1k22k 12k2k 1222，PG(,6k24(k 2)2k 1222k 12(k 2)2k 122)4k k21(k22)2k21SPQG14
35、k k214 1k28(k3k)2(k22)2k212k212k45k228(k 1)(k 1)(2k43k22)S,因为k 0，所以当0 k 1时，S 0，函数422(2k 5k 2)S(k)单调递增，当k 1时，S 0，函数S(k)单调递减，因此当k 1时，函数S(k)有最大值，最大值为S(1)【点睛】第 17 页 共 19 页16.9本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.2222 选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在极坐标系中，在极坐标系中，O O 为
36、极点，点为极点，点M(0,0)(0 0)在曲线在曲线C:4sin上，直线上，直线 l l过点过点A(4,0)且与且与OM垂直，垂足为垂直，垂足为 P P.（1 1）当）当0=3时，求时，求0及及 l l 的极坐标方程；的极坐标方程；（2 2）当）当 MM 在在 C C 上运动且上运动且 P P 在线段在线段 OMOM 上时，求上时，求 P P 点轨迹的极坐标方程点轨迹的极坐标方程.【答案】【答案】（1）0 2 3，l 的极坐标方程为sin(6)2；（2）4cos()42【解析】【解析】（1）先由题意，将0=3代入 4sin即可求出0；根据题意求出直线l的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2
37、）先由题意得到 P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【详解】（1）因为点M(0,0)(0 0)在曲线C:4sin上，所以0 4sin0 4sin即M(2 3,3 2 3；3)，所以kOM tan33，因为直线 l 过点A(4,0)且与OM垂直，所以直线l的直角坐标方程为y 3(x4)，即x+3y 4 0；3因此，其极坐标方程为cos3sin 4，即 l 的极坐标方程为sin()2；6（2）设P(x,y)，则kOPyy，kAP，xx4由题意，所以kOPkAPOP AP，y222 1，故2整理得x y 4x 0，1，x 4x因为 P 在线段 OM 上，M 在 C
38、上运动，所以0 x 2,2 y 4，2所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos 0，即 4cos(42).【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.第 18 页 共 19 页2323 选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲 已知已知f(x)|xa|x|x2|(xa).（1 1）当）当a 1时，求不等式时，求不等式f(x)0的解集；的解集；（2 2）若）若x(,1)时，时，f(x)0，求，求a的取值范围的取值范围.【答案】【答案】（1）(,1)；（2）1,)【解析】【解析】（1）根据a 1，将原不等式化为|x1|x|x2|(x1)0，分别讨论x 1，1
39、 x 2，x 2三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论a1和a 1两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当a 1时，原不等式可化为|x1|x|x2|(x1)0；当x 1时，原不等式可化为(1 x)x(2 x)(x1)0，即(x1)0，显然成立，此时解集为(,1)；当1 x 2时，原不等式可化为(x1)x(2 x)(x1)0，解得x 1，此时解集为空集；当x 2时，原不等式可化为(x1)x(x2)(x1)0，即(x1)0，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)；（2）当a1时，因为x(,1)，所以由f(x)0可得(a x)x(2 x)(xa)0，即(xa)(x1)0，显然恒成立；所以a1满足题意；当a 1时，f(x)22 2(xa),a x 1，因为a x 1时，f(x)0显然不能成2(xa)(1 x),x a立，所以a 1不满足题意；综上，a的取值范围是1,).【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.第 19 页 共 19 页