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1、20212021-20222022 学年江苏省南京市第一中学高三上学期期中学年江苏省南京市第一中学高三上学期期中数学试题数学试题一、单选题（本大题共8 8 小题，共 40.040.0分）1.已知复数，为虚数单位)，若12是纯虚数.则实数=()1A.21B.2111C.2D.32.已知集合=|=，=|1.C.|0 1B.|1 1D.|1 0，命题：函数=(1)是减函数，则命题成立是命题成立的()A.充分不必要条件C.必要不充分条件B.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知 0，0，直线1：(4)1=0，2：2=0，且1 2，则1的最小值为()11A.27.在二项式(1B.4C.32D.54)的
2、展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为()A.354B.43C.143D.141第 1 页，共 24 页=准线为.点在上，直线交轴于点，若8.已知抛物线:2=4的焦点为，则点到准线的距离为()3A.3B.4C.5D.6二、多选题（本大题共4 4 小题，共 20.020.0分）9.若将函数象，则下列说法正确的是()的图象向左平移个单位长度，得到函数()的图A.()的最小正周期为B.()在区间上单调递减对称1C.函数()的图象关于点D.()在10.关于函数()=上的最小值为2|log2(12)|1|1的性质的描述，正确的是()A.()的定义域为(1,0)
3、(0,1)C.()的图象关于原点对称B.()有且仅有一个零点D.()的值域为(,0)11.已知实数满足 ln=1.则下列关系式中可能成立的是()A.B.C.D.12.在正方体1中，是棱1的中点，是侧面11内的动点，且1与平面1的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是()A.点的轨迹是一条线段B.1与是异面直线C.1与1不可能平行D.三棱锥 1的体积为定值三、单空题（本大题共4 4 小题，共 20.020.0分）13.已知双曲线2916=1的左右焦点分别是1,2，点是双曲线右支上一点，且，则三角形12的面积等于2+sin214.已知sin(3+)=2sin(2+)，则sin=1+cos232第 2
4、 页，共 24 页15.三棱锥 中，平面，=23，=3，=2 3，是边上的一个动点，且直线与面所成角的最大值为3，则该三棱锥外接球的表面积为()=()+()，()=1，当 1时，16.已知函数()的定义域是(0,+)，3()0，则满足不等式()(2)2的的取值范围为1四、解答题（本大题共6 6 小题，共 70.070.0分）17.已知数列满足3=6，+1=2+1(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；11(2)若_，求数列的前项和在=+1；=(1)；=+(3)三个条件中选择一个补充在第11(2)问中，并对其求解，如果多写按第一个计分18.在 中，=6，cos=4，点在边上，=4，为锐角
5、(1)若=6 2，求线段的长度；(2)若=2，求sin的值3第 3 页，共 24 页19.今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数).学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组(1)第一小组决定从单次完成1 15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，单次完成11 15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？记抽到“单次完成引体向上1 5个”该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
6、(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的2 2列联表体育成绩不优秀体育成绩优秀总计学业优秀10050150学业不优秀20050250总计300100400请你根据联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？参考公式及数据：2=()()()()第 4 页，共 24 页()20.500.400.250.150.100.050.025 0.01 0.005 0.001(2 0)020.如图，在四棱锥 中，底面，底面为直角梯形，=90,=2=2 2,分别为,的中点0.460.711.322.072.713.845.0246.6
7、357.87910.828(1)求证：/平面；(2)若截面与底面所成锐二面角为4，求的长度21.已知点(1,)(0)，不垂直于轴的直线与椭圆:4+=1相交于3(1,1),(2,2)两点(1)若为线段的中点，证明：2121222；1第 5 页，共 24 页(2)设的左焦点为，若在的角平分线所在直线上，且被圆2+2=4截得的弦长为23，求的方程22.已知函数()=ln+(1)若()有两个零点，求的取值范围；(2)设()=()+，若对任意的 (0,+)，都有()恒成立，求的取值范围1第 6 页，共 24 页答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题利用复
8、数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数1=，2=2+，12=()(2+)=(2+1)+(2)，又 12是纯虚数，所以2+1=0且 2 0，可得=2故选 A12.【答案】【解析】【分析】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题先把集合、解出来，再求交集即可【解答】=|1=|1，解：由题意，集合=|=+1=|1，根据集合的交集的运算，可得 =|1 1故选：11第 7 页，共 24 页3.【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量的运算，属于基础题的值，再利用模的计算公式即可求解根据平面向量的数量积运算求出 【解答】解：因为(+)=+|2=+4=2，所以 =2，22所以|+|=(+)2=+2
9、 +=1+2 (2)+4=1故选 C4.【答案】【解析】【分析】本题主要考查数列的递推关系、数列求和，属于中档题根据题意得到当 2时，利用迭代法进行数列求和得=+2 2，再利用29=0.61830.计算即可【解答】解：根据题意得，30=832040，假设的前项和为，则当 2时，=+2 2，则28=30 1，因为随着的增大，相邻两项之比接近0.618，则29=0.61830，由30=28+29+30=30 1+0.61830+30=2.61830 1 218万.故选 C5.【答案】【解析】【分析】第 8 页，共 24 页本题考查充分必要条件问题，属于基础题先分别解出，为真命题时的范围，再由充分条
10、件与必要条件的判断方法判断即可【解答】解：命题为真时，当=0时，2+1 0在上恒成立，当 0时，=2 4=(4)0，解得：0 0在上恒成立，有：0 1，解得 0；所以：当0 0；当 0时，不能推出0 0，0，所以+=4，+1+=5，所以+1+=5(+1+)(+1+)=5(2+1+1+1111111+1)5(2+2+1当且仅当=+1)=5，351144即=2，=2时取等号，+1+的最小值为5，+=4+1故选 D 7.【答案】第 9 页，共 24 页【解析】【分析】本题考查二项展开式的系数问题及“插空法”、排列公式、古典概型，属于中档题由已知求出，再利用通项可得有理项与无理项的项数利用“插空法”及
11、排列公式即可得出概率【解答】解：因为各项系数的和为128，令=1，2=128 解得=7，7172，二项式(+)7的通项为+1=7()=713其中当=0,2,4,6时为有理项，因为二项式的展开式中共有8项，全排列有88种排法，其中4项为有理项，4项为非有理项，有理项要求互不相邻，可先将4项非有理项全排列共44种，然后将4项有理项插入4项非有理项产生的5个空隙中共45种，4即有理项都互不相邻的排法有445种，所以有理项都互不相邻的概率为=故选 D444588=1148.【答案】【解析】【分析】本题考查抛物线的定义和性质，属于中档题过点作轴的垂线，垂足为，由三角形相似可知|=|=4，|=4|=4，可
12、得点到准线的距离【解答】解：由抛物线:2=4，可知(1,0)，即|=1(为坐标原点)，过点作轴的垂线，垂足为，由三角形相似可知|=|=4，所以|=4|=4，所以点到准线的距离为5故选 C|1|1第 10 页，共 24 页9.【答案】【解析】【分析】本题考查了三角函数图象的变换、余弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，属于中档题，由函数图象的变换可得()=cos(2+3)，结合余弦函数的周期性、单调性、对称中心等即可判断选项，得出答案【解答】解：()=cos2(+8)+12=cos(2+3).()的最小正周期为，选项 A 正确；当 0,2时，2+3 3,4时，故()在0,2上有增有减，选项
13、B错误；3因为(12)=0，所以()的图象关于点(12,0)对称，选项 C 正确；当 6,6时，2+3 0,项 D 正确故选 ACD 2，且当2+3=32，即=6时，()取最小值2，选3110.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了函数的定义域，值域，奇偶性，函数的零点，属于中档题解可判断，由()=0得log2(1 2)=0，可判断，由()=()，得函数()为奇函数，可判断，当 (0,1)时，()=log2(1 2)，结合奇函数可得()的值域，可判断【解答】解：由题意，函数有意义，|x 1|1 0,则满足解得1 0,即函数()的定义域为(1,0)(0,1)，所以 A 正确第 11 页，共 24
14、 页因为()的定义域为(1,0)(0,1)，所以由()=0得log2(1 2)=0，注意 0，()没有零点，所以不正确由上可知()的定义域为(1,0)(0,1)，可得，则满足()=()，所以函数()为奇函数，图象关于原点对称，所以C正确当 (0,1)时，1 2(0,1)，所以=log2(1 2)(,0)又由函数()为奇函数，可得()的值域为(,0)(0,+)，所以不正确故选 AC11.【答案】【解析】【分析】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题先进行转化，再画出指数函数、对数函数以及幂函数图象，即可得出关系【解答】解：根据题意可得ln =(0)，则，分别为直线=(0)与=
15、ln和=和=的图象的交点的横坐标，分别作出=ln和=和=的图象，如图所示；111由图象可知，可能的关系为 ，或 ，或 ，故选 ABC第 12 页，共 24 页12.【答案】【解析】【分析】本题主要考查立体几何中的动点轨迹问题，属于较难题首先画图找到平面1/平面1，根据面面平行的性质定理得到点的轨迹，接着依次判断选项即可.解决该类题目一般是通过线线，线面，面面之间的平行垂直关系，根据判定定理或者性质定理得到动点的轨迹，接着再求题目的相关问题，考查体积是定值的问题时，一般就是研究距离和面积是不是定值，关键在于选择合适的顶点和底面【解答】【详解】如图，分别找线段1，11中点为，连接1,1，因为正方体
16、1，易得/1,面1，1面1，所以/面1，1/1，1 面1，1 面1，所以1/面1，又 1=，,1 面1，所以平面1/平面1，因为1与平面1的垂线垂直，又1 平面1，所以直线1与平面1平行，第 13 页，共 24 页所以1 面1，又点是侧面11内的动点，且面1 面11=，所以点的轨迹为线段，故选项 A正确；由图可知，1与是异面直线，故选项 B正确；当点与点重合时，直线1与直线1平行，故选项 C错误；因为/1，面1，1面1，所以/面1，则点到平面1的距离是定值，又三角形1的面积是定值，所以三棱锥 1的体积为定值，故选项D正确故选：13.【答案】48【解析】【分析】本题重点考查双曲线的定义和性质，考
17、查等腰三角形的面积计算，属于基础题由题意可得，的值，可得|2|，利用双曲线的定义可得|1|，结合三角形的形状和面积公式可得结果【解答】解：由=3，=4，2+2=2,得=5，所以|2|=|12|=5 2=10，再由双曲线定义得：|1|2|=2=6，所以|1|=16，所以 12是等腰三角形，过顶点2作底边1的高，可得高为6，所以 12的面积是2 6 16=48故答案为：48114.【答案】3【解析】第 14 页，共 24 页4【分析】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，二倍角公式，属于基础题利用诱导公式化简已知式子，求出tan=2，利用二倍角公式化简所求式子，再把分式的分子分母同时除以cos
18、，即可求出结果【解答】解：由诱导公式，sin(3+)=2sin(2+)，可得sin=2cos，即tan=2，故=sin2+2cos24sin2+sin2sin2+2sincossin2+2cos23=tan2+2tantan2+2=34故答案为：315.【答案】【解析】【分析】本题考查了几何体外接球的应用问题，考查了空间想象能力和运算能力，属于较难题根据题意画出图形，结合图形找出 的外接圆圆心与三棱锥 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积【解答】解：三棱锥 中，平面，设直线与平面所成角为，如图所示：可知：为直线与平面所成角，3则=，且的最大值是，23()=23，的最小值是3，即到的
19、距离为3，=23，在 中可得=6，即可得=6；第 15 页，共 24 页取 的外接圆圆心为，作/，设 的外接圆的半径为，61200=2，解得=23；=23，取为的中点，设三棱锥 外接球的半径为，=23，=2，由勾股定理得=2+2=，2三棱锥 的外接球的表面积是=42=4 (故答案为57572)2573=5716.【答案】(2,4【解析】【分析】本题考查了抽象函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题先由已知条件判断函数的单调性，再解不等式即可【解答】解：设任意1，2(0,+)且1 2，因为()=()+()，所以()()=()，2取=2，=1，则=，12即(2)(1)=(1)，2因为1，
20、2(0,+)且1 1,19又当 1时，()0恒成立，所以(2)(1)=(1)0，即(1)09所以 2 0，解得2 7.879所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关【解析】本题考查分层抽样，考查古典概型的计算与应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立性检验，属于中档题(1)由频率分布直方图确定单次完成15、610、1115个引体向上人数比例，即610个中选3个，1115个中选6个，可得从15中选2个，又因为单次完成1115个引体向上的人共有120人，由古典概型的概率公式即可得结果;的所有可能取值有0、1、2，分别计算出每个取值对应的概率，即可得分布列，由公式计算数学期望即可；(
21、2)由2 2列联表中的数据计算得2，与临界值表比较即可得答案20.【答案】(1)证明：取的中点，连接,，是的中点，/，且=2底面为直角梯形，=90，=2=22，/,=，211/，且=四边形是平行四边形，/又 平面,平面，第 20 页，共 24 页/平面(2)解：如图，分别以,所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设=(0)，则(0,0,0),(0,22,0),(22,2,0),(22,0,0),(2,0,),(0,2,)，22=(2,2,),=(22,0,)，22取平面的一个法向量为 设平面的法向量为2=(,)，则有 2=0,2=0,2 2+2=0,即22+2=0,不妨取=42，则=,=，即
22、，解得=4，即的长为4.【解析】本题考查线面平行的判定，考查利用空间向量求两平面的夹角，属于中档题(1)取的中点，连接,，可证得/，由线面平行的判定可得/平面；(2)建立空间直角坐标系，设=(0)，取平面的一个法向量为，第 21 页，共 24 页再求出平面的法向量，利用公式可得的长21.【答案】解：(1)由4+=1可得32+42=12，3因为(1,)(0)是(1,1)，(2,2)两点的中点，所以2+1=2，2+1=2，因为,在椭圆上，所以2231+41=12,2232+42=1222两式相减得：3(1 2)(1+2)+4(1 2)(1+2)=0，所以2121=4(1+2)=123(+)3(2)
23、42=4，1233因为(1,)(0)为中点，故点在椭圆的内部，所以+4又因为 0，所以0 2，故32121；4231在的角平分线所在直线上，被圆2+直线方程为=0，(2)当的斜率为0时，2=4截得的弦长为4，不符合题意；当的斜率不为0时，设直线:=+，由=+，得(32+4)2+6+32 12=0，223+4=12则=48(32 2+4)0，即32 2 4，则1+2=32+4，12=6321232+4，又(1,0)，则 轴，因为平分，所以+=0，即1+1+2+1=0，得1(2+1)+2(1+1)=1(2+1)+2(1+1)=212+(+1)(1+2)=2 321232+412+(+1)(632+
24、4)=0，所以6+24=0，因为 0所以解得=4，所以，直线的方程为=4，因为被圆2+2=4截得的弦长为23，圆的半径为=2，则圆心(0,0)到直线:=4的距离为2()=4 3=1，2所以=1+2=1，第 22 页，共 24 页42则=15，且满足32 2 4，于是的方程为 15+4=0【解析】本题考查了椭圆的中点弦问题，考查点差法，考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于较难题(1)由,在椭圆上，代入椭圆方程，可得0 ，即可证明结论；2(2)当的斜率为0时，不符合题意；当的斜率不为0时，设直线:=+，与椭圆方程联立，再利用平分列式，即可求出的方程被圆2+2=4截得的弦长为23，可得直线
25、的方程，32121=4，利用点在椭圆的内部，可得322.【答案】解：(1)令()=，则()=12，当0 0；当 时，()0，所以()在(0,)上单调递增，在(,+)上单调递减，当 0时，()；当=时，()=；当 +时，()0，所以当0 ，即 0，不等式()恒成立，11111在(0,+)上恒成立，(0)，则()=2+ln2令()=1，1令()=2+，则()=(2+2)+0，()在(0,+)上为增函数，又(1)=0，()=1112 1 0，2 1=120 0(,1)，使得(0)=0，即0+0=0，0 0时，()0，即()0时，()0，即()0，()在(0,+)上单调递增，()=(0)=00010，第 23 页，共 24 页20由0+0=0，可得001=ln00=ln=(ln)000111ln10，令()=，则(0)=(ln)，0又()=(+1)0，()在(0,+)上单调递增，0=ln，则0=，0011 00=1，()=(0)=1，综上所述，满足条件的的取值范围是 100010=1+010=1，【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点以及不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算求解能力，属于难题(1)令()=，求导研究函数()的单调性及取值情况，分析可得 0)，()的最小值即可第 24 页，共 24 页