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1、第二十一章第二十一章一元二次方程一元二次方程21211 1一元二次方程一元二次方程21通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax bxc0(a0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念2了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax bxc0(a0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别活动 1 1复习旧知1什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式12(1)2x
2、1(2)mxn0(3)10(4)x 1x3下列哪个实数是方程 2x13 的解？并给出方程的解的概念2A0B1C2D3活动 2 2探究新知根据题意列方程1教材第 2 页问题 1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程2教材第 2 页问题 2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有 5 个队参赛，每个队比赛几场？一共有 20 场比赛吗？如果不是 20 场比赛，那么究竟比赛多少场
3、？(3)如果有 x 个队参赛，一共比赛多少场呢？3一个数比另一个数大 3，且两个数之积为 0，求这两个数提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？4一个正方形的面积的 2 倍等于 25，这个正方形的边长是多少？活动 3 3归纳概念提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念1一元二次方程：只含有_个未知数，并且未知数的最高次数是_，这样的_方程，叫做一元二次方程2 一元二次方程的一般形式是 ax bxc0(a0)，其中 ax 是二次项，a 是二次项系数；bx
4、 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制 a0，b，c 可以为 0 吗？(3)2x x10 的一次项系数是 1 吗？为什么？3一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)活动 4 4例题与练习例 1在下列方程中，属于一元二次方程的是_1122(1)4x 81；(2)2x 13y；(3)2 2；xx(4)2x 2x(x7)0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是 2.注意有些方程化
5、简前含有二次项，但是化简后二次项系数为 0，这样的方程不是一元二次方程例 2教材第 3 页例题例 3以2 为根的一元二次方程是()2222Ax22x10Bx2x20Cx2x20Dx2x20总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等练习：1若(a1)x 3ax10 是关于 x 的一元二次方程，那么 a 的取值范围是_2将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项(1)4x 81；(2)(3x2)(x1)8x3.3教材第 4 页练习第 2 题4若4 是关于 x 的一元二次方程 2x 7xk0 的一个根，则 k 的值为_答案
6、：1.a1；2.略；3.略；4.k4.活动 5 5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第 4 页习题 21.1 第 17 题.22221.221.2解一元二次方程解一元二次方程21212.12.1配方法配方法(3(3 课时课时)第第 1 1 课时课时直接开平方法直接开平方法理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax c0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解 a(exf)c0 型的一元二次方程重点运用开平方法解形
7、如(xm)n(n0)的方程，领会降次转化的数学思想难点通过根据平方根的意义解形如 x n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(xm)n(n0)的方程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题 1：填空(1)x 8x_(x_)；(2)9x 12x_(3x_)；(3)x px_(x_).p2p解：根据完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)().22问题 2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了 x 9，根据平方根的意义，直接开平方得 x3，如果 x
8、 换元为 2t1，即(2t1)9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把 2t1 变为上面的 x，那么 2t13即 2t13，2t13方程的两根为 t11，t22例 1解方程：(1)x 4x41(2)x 6x92分析：(1)x 4x4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x2)1.(2)由已知，得：(x3)2直接开平方，得：x3 2即 x32，x3 2所以，方程的两根 x132，x232解：略例 2市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m提高到 14.4m，求每年人均住房面积增长率分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是1
9、010 x10(1x)；二年后人均住房面积就应该是 10(1x)10(1x)x10(1x)解：设每年人均住房面积增长率为 x，222222222222222222222则：10(1x)14.4(1x)1.44直接开平方，得 1x1.2即 1x1.2，1x1.2所以，方程的两根是 x10.220%，x22.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x22.2 应舍去所以，每年人均住房面积增长率应为 20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想”三、巩固练习教材第 6 页练习
10、四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如 x p(p0)的方程，那么 x p转化为应用直接开平方法解形如(mxn)p(p0)的方程，那么 mxn p，达到降次转化之目的若 p0 则方程无解五、作业布置教材第 16 页复习巩固 1.2222第第 2 2 课时课时配方法的基本形式配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题通过复习可直接化成 x p(p0)或(mxn)p(p0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤重点讲清直接降次有困难，如 x 6x160 的一元二次方程的解题步骤难点将不可直接降次解方程化为
11、可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x 15(2)4(x1)90(3)4x 16x169(4)4x 16x7老师点评：上面的方程都能化成 x p 或(mxn)p(p0)的形式，那么可得xp或 mxn p(p0)如：4x 16x16(2x4)，你能把 4x 16x7 化成(2x4)9 吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：2222222222222(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多 6m，并且面积为 16m，求场地的长和宽各是多少？(
12、1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有 x 的完全平方式而后二个不具有此特征既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x 6x160 移项x 6x16两边加(6/2)使左边配成 x 2bxb 的形式x 6x3 169左边写成平方形式(x3)25 降次x35 即 x35 或 x35解一次方程x12，x28可以验证：x12，x28 都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为 2m，长为 8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是为了降次，把
13、一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解例 1用配方法解下列关于 x 的方程：122(1)x 8x10(2)x 2x 02三、巩固练习教材第 9 页练习 1，2.(1)(2)四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有 x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程五、作业教材第 17 页复习巩固 2，3.(1)(2)222222222第第 3 3 课时课时配方法的灵活运用配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目重点讲清配方法的解题步骤难
14、点对于用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为 1 的一元二次方程，要先化二次项系数为 1，再用配方法求解一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x 4x70(2)2x 8x10老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有 x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题解：略(2)与(1)有何关联？二、探索新知22讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为 1；(3)常数项移到右边；(4)
15、方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(xp)q 的形式，如果 q0，方程的根是 xp q；如果 q0，方程无实根例 1解下列方程：(1)2x 13x(2)3x 6x40(3)(1x)2(1x)40分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有 x 的完全平方式解：略三、巩固练习教材第 9 页练习 2.(3)(4)(5)(6)四、课堂小结本节课应掌握：1配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤2配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性在
16、今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到五、作业布置教材第 17 页复习巩固 3.(3)(4)补充：(1)已知 x y z 2x4y6z140，求 xyz 的值(2)求证：无论 x，y 取任何实数，多项式 x y 2x4y16 的值总是正数.22222222221.2.221.2.2公式法公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax bxc0(a0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程重点求根公式的推导和公式法的应用难点一元二次方程求根公式的推导一、复习引入1前面我们学习过解
17、一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x 4(2)(x2)7提问 1这种解法的(理论)依据是什么？提问 2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程)2 面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式)222(学生活动)用配方法解方程2x 37x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为 1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(xp)q
18、的形式，如果 q0，方程的根是 xp q；如果 q0，方程无实根二、探索新知用配方法解方程：(1)ax 7x30(2)ax bx30如果这个一元二次方程是一般形式 ax bxc0(a0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题b b 4acbb 4ac问题：已知 ax bxc0(a0)，试推导它的两个根 x1，x2(这个方2a2a22222222程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a，b，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去解：移项，得：ax bxcbc2二次项系数化为 1，得 x xaabb2cb
19、22配方，得：x x()()a2aa2ab2b 4ac即(x)22a4ab 4ac4a 0，当 b 4ac0 时，024a22222b2b 4ac2(x)()2a2abb 4ac直接开平方，得：x2a2ab b 4ac即 x2ab b 4acbb 4acx1，x22a2a由上可知，一元二次方程 ax bxc0(a0)的根由方程的系数 a，b，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax bxc0，当 b 4ac0 时，将 a，b，c 代入b b 4ac式子 x就得到方程的根2a(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的
20、理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根222222222例 1用公式法解下列方程：(1)2x x10(2)x 1.53x122(3)x 2x 0(4)4x 3x202分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可补：(5)(x2)(3x5)0三、巩固练习教材第 12 页练习 1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)四、课堂小结本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程；(2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让 a0；2)找出系数 a，b，c，注意各项的系数包括符号；3)计算 b
21、4ac，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果(4)初步了解一元二次方程根的情况五、作业布置教材第 17 页习题 4，522221.2.321.2.3因式分解法因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题重点用因式分解法解一元二次方程难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x x0(用配方法)(2)3x 6x0(用公式法)11112老师点评：(1)配方法将方程两边同除以 2 后
22、，x 前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上()，2244同时减12去().(2)直接用公式求解4二、探索新知22(学生活动)请同学们口答下面各题(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？(2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x1)0(2)3x(x2)0因为两个因式乘积要等于 0，至少其中一个因式要等于 0，也就是(1)x0 或 2x10，所以 x10，x21.2(2)3x0 或 x20，所以 x10，x22.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法
23、都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法例 1解方程：1322222(1)10 x4.9x 0(2)x(x2)x20(3)5x 2x x 2x(4)(x1)(32x)44思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？三、巩固练习教材第 14 页练习 1，2.四、课堂小结本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别使各一次因式等于 0.五、作业布置教材第 17 页习题 6，8，10，
24、11.21.2.421.2.4一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系1掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用2培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力3渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律4培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神重点根与系数的关系及其推导难点正确理解根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系一、复习引入1已知方程 x ax3a0 的一个根是 6，则求 a 及另一个根的值2由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更
25、简洁的关系？2bb 4acbb 4ac3 由求根公式可知，一元二次方程 ax bxc0(a0)的两根为x1，x2.2a2a222观察两式右边，分母相同，分子是bb 4ac与b b 4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：方程x 2x0 x 3x40 x 5x60222222x12x2x1x2x1x2观察上面的表格，你能得到什么结论？(1)关于 x 的方程 x pxq0(p，q 为常数，p 4q0)的两根 x1，x2与系数 p，q 之间有什么关系？(2)关于 x 的方程 ax bxc0(a0)的两根 x1，x2与系数 a，b，c 之间又有何关系呢？你
26、能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：方程2x 7x403x 2x505x 17x60小结：根与系数关系：(1)关于 x 的方程 x pxq0(p，q 为常数，p 4q0)的两根 x1，x2与系数 p，q 的关系是：x1x2p，x1x2q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零)(2)形如 ax bxc0(a0)的方程，可以先将二次项系数化为 1，再利用上面的结论即：对于方程ax bxc0(a0)bc2a0，x x 0aabcx1x2，x1x2aa(可以利用求根公式给出证明)例 1不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：(1)x 3x10(2)2x 3x50122(3)x
27、 2x0 (4)2x 6x33(5)x 10 (6)x 2x10例 2不解方程，检验下列方程的解是否正确？(1)x 2 2x10 (x1 21，x2 21)7 735 732(2)2x 3x80 (x1，x2)44例 3已知一元二次方程的两个根是1 和 2，请你写出一个符合条件的方程(你有几种方法？)例 4已知方程 2x kx90 的一个根是3，求另一根及 k 的值变式一：已知方程 x 2kx90 的两根互为相反数，求 k；222222222222222x1x2x1x2x1x2变式二：已知方程 2x 5xk0 的两根互为倒数，求 k.三、课堂小结1根与系数的关系2根与系数关系使用的前提是：(1
28、)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零四、作业布置1不解方程，写出下列方程的两根和与两根积(1)x 5x30(2)9x2x(3)6x 3x20(4)3x x102已知方程 x 3xm0 的一个根为 1，求另一根及 m 的值3已知方程 x bx60 的一个根为2，求另一根及 b 的值.222222221.321.3实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程(2(2 课时课时)第第 1 1 课时课时解决代数问题解决代数问题1经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤2通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体
29、步骤3通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系一、引入新课1列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成 2 个，经过 3 次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成 x 个，经过 3 次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成 2 个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过 3 次分裂后共有多少个细胞？二
30、、教学活动活动 1：自学教材第 19 页探究 1，思考教师所提问题有一人患了流感，经过两轮传染后，有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，第一轮传染后共有_人患流感第二轮传染后共有_人患流感(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则依题意第一轮传染后有(x1)人患了流感，第二轮有x(1x)人被传染上了流感于是可列方程：1xx(1x)121解方程得 x110，x212(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了 10 个人
31、变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动 2：自学教材第 19 页第 20 页探究 2，思考老师所提问题两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为 x，则一年后，甲种药品的成本下降了_元，此时成本为_元；两年后，甲种药品下降了_元，此时成本为_元(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为 a
32、，增长率为 x，则一月(或一年)后产量为 a(1x)；二月(或二年)后产量为 a(1x)；n 月(或 n 年)后产量为 a(1x)；如果已知 n 月(n 年)后总产量为 M，则有下面等式：Ma(1x).(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：_.三、课堂小结与作业布置课堂小结1列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答最后要检验根是否符合实际2传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立3若平均增长(降低)率为 x，增长(或降低)前的基准数是 a，增长(或降低)n 次后的量是 b，则有：a(1x)b(常见 n2)4成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药
33、品，它的下降率不一定也较nnn2小作业布置教材第 2122 页习题 21.3 第 27 题第第 2 2 课时课时解决几何问题解决几何问题1通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题2通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易3通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程活动 1 1创设情境1长方形的周长_，面积_，长方体的体积公式_2如图所
34、示：(1)一块长方形铁皮的长是 10cm，宽是 8cm，四角各截去一个边长为 2cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是_，高是_，体积是_(2)一块长方形铁皮的长是 10cm，宽是 8cm，四角各截去一个边长为 xcm的小正方形，制成一个长方体容器，(3)这个长方体容器的底面积是_，高是_，体积是_活动 2 2自学教材第 2020 页第 2121 页探究 3 3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽
35、度(精确到 0.1cm)(1)要设计书本封面的长与宽的比是_，则正中央矩形的长与宽的比是_(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为 97？试与同伴交流一下(3)若设上、下边衬的宽均为 9xcm，左、右边衬的宽均为 7xcm，则中央矩形的长为_cm，宽为_cm，面积为_cm.(4)根据等量关系：_，可列方程为：_.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为 9xcm和 7xcm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动 3 3变式练习如图所示，在一个长为 50 米，宽为 30 米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽
36、且互相垂直的两条路的面积占 25%，求路的宽度2答案：路的宽度为 5 米活动 4 4课堂小结与作业布置课堂小结1利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄2清题目中的数量关系2根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要3进行检验作业布置教材第 22 页习题 21.3 第 8，10 题第二十二章第二十二章二次函数二次函数22221 1二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质22221.11.1二次函数二次函数1从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验
37、如何用数学的方2法去描述变量之间的数量关系2理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式3会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围重点二次函数的概念和解析式难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力一、创设情境，导入新课问题 1现有一根 12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题 2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书
38、课题)二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量 y 与 x 之间的关系：(1)圆的半径 x(cm)与面积 y(cm)；(2)王先生存入银行 2 万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为 x，两年后王先生共得本息 y 元；(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为 120m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为 x(m)，种植面积为 y(m)22(一)教师组织合作学习活动：1先个体探求，尝试写出 y 与 x 之间的函数解析式2上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨(1)y
39、x(2)y20000(1x)20000 x 40000 x20000(3)y(60 x4)(x2)x 58x1122222(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有 yax bxc(a，b，c 是常数，a0)的形式板书：我们把形如 yax bxc(其中 a，b，c 是常数，a0)的函数叫做二次函数(quadraticfunction)，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项三、做一做1下列函数中，哪些是二次函数？122(1)yx(2)y2(3)y2
40、x x1x(4)yx(1x)(5)y(x1)(x1)(x1)2分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)yx 1(2)y3x 7x12(3)y2x(1x)3若函数 y(m 1)xm m 为二次函数，则 m 的值为_四、课堂小结反思提高，本节课你有什么收获？五、作业布置教材第 41 页第 1，2 题.222222222.1.222.1.2二次函数二次函数 y yaxax2 2的图象和性质的图象和性质2通过画图，了解二次函数 yax(a0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是 y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的
41、内在关系，能运用相关性质解决有关问题重点从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数 yax 的性质，掌握二次函数解析式 yax 与函数图象的内在关系22难点画二次函数 yax 的图象一、引入新课1下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？(1)y3x1(2)y2x 7(3)yx2(4)y3(x1)12一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点，又有哪些性质呢？3上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节课我们先来探究二次函数中最简单的yax二、教学活动活动 1：画函数 yx 的图象(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)(2)提出问题：它的形状类似于什
42、么？(3)引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点活动 2：在坐标纸上画函数 y0.5x，y2x 的图象(1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正确的画图过程(2)引导学生观察二次函数 y0.5x，y2x 与函数 yx 的图象，提出问题：它们有什么共同点和不同点？(3)归纳总结：共同点：它们都是抛物线；除顶点外都处于 x 轴的下方；开口向下；对称轴是 y 轴；顶点都是原点(0，0)不同点：开口大小不同(4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数 yax 是当 a0 时的情况系数 a 越大，抛物线开口越大活动 3：在同一个直角坐标系中画函数 yx，y0.5x，y2x 的图象
43、类似活动 2：让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼出二次函数 yax(a0)的图象和性质二次函数 yax(a0)的图象和性质a0当x_图象(草图)开口方向顶点对称轴最高或最低点最值2222222222222222的图象和性质时，y 有最_值，是_.a0当x_时，y 有最_值，是_.活动 4：达标检测(1)函数 y8x 的图象开口向_，顶点是_，对称轴是_，当 x_时，y 随x 的增(2)大而减小(2)二次函数 y(2k5)x 的图象如图所示，则 k 的取值范围为_22(3)如图，yax；ybx；ycx；ydx.比较 a，b，c，d 的大小，用“”连接_2222答案：(1)下，
44、(0，0)，x0，0；(2)k2.5；(3)abdc.三、课堂小结与作业布置课堂小结1二次函数的图象都是抛物线2二次函数 yax 的图象性质：(1)抛物线 yax 的对称轴是 y 轴，顶点是原点(2)当 a0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点；|a|越大，抛物线的开口越小作业布置教材第 32 页练习2222221.31.3二次函数二次函数 y ya(xa(xh)h)2 2k k 的图象和性质的图象和性质1经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义2了解 yax，ya(xh)，ya(xh)k 三类二次函数图象之间的关系3会从图
45、象的平移变换的角度认识 ya(xh)k 型二次函数的图象特征21、从图象的平移变换的角度认识 ya(xh)k 型二次函数的图象特征2222 2、对于平移变换的理解和确定，学生较难理解一、复习引入二次函数 yax 的图象和特征：1名称_；2.顶点坐标_；3.对称轴_；4.当 a0 时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线上的最_点，图象在 x 轴的_(除顶点外)；当 a0 时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线上的最_点，图象在 x 轴的_(除顶点外)二、合作学习121122在同一坐标系中画出函数 y x，y(x2)，y(x2)的图象222(1)请比较这三个函数图象有什么共同特征？(2)顶点和对称轴有什么
46、关系？(3)图象之间的位置能否通过适当的变换得到？(4)由此，你发现了什么？三、探究二次函数 yax 和 ya(xh)图象之间的关系1121221结合学生所画图象，引导学生观察 y(x2)与 y x 的图象位置关系，直观得出 y x 的图象222向左平移两个单位12 y(x2)的图象2向右平移两个单位12122用同样的方法得出 y x 的图象 y(x2)的图象223请你总结二次函数 ya(xh)的图象和性质当h0时，向右平移h个单位22yax(a0)的图象当h0时，向左平移|h|个单位ya(xh)的图象函数 ya(xh)的图象的顶点坐标是(h，0)，对称轴是直线 xh.4做一做(1)抛物线y2
47、(x3)y3(x1)y4(x3)(2)填空：抛物线 y2x 向_平移_个单位可得到 y2(x1)；函数 y5(x4)的图象可以由抛物线_向_平移_个单位而得到四、探究二次函数 ya(xh)k 和 yax 图象之间的关系121在上面的平面直角坐标系中画出二次函数 y(x2)3 的图象22222222222222开口方向对称轴顶点坐标111222首先引导学生观察比较 y(x2)与 y(x2)3 的图象关系，直观得出：y(x2)的图象222向上平移3个单位12 y(x2)3 的图象(结合多媒体演示)21212再引导学生观察刚才得到的 y x 的图象与 y(x2)的图象之间的位置关系，由此得出：只要把
48、抛22物线1212y x 先向左平移 2 个单位，在向上平移 3 个单位，就可得到函数 y(x2)3 的图象222做一做：请填写下表：函数解析式12y x212y(x2)212y(x2)323.总结 ya(xh)k 的图象和 yax 图象的关系当h0时，向右平移h个单位当k0时，向上平移k个单位22yax(a0)的图象当h0时，向左平移|h|个单位ya(xh)的图象当k0时，向下平移|k|个单位ya(xh)k 的图象ya(xh)k 的图象的对称轴是直线 xh，顶点坐标是(h，k)口诀：(h，k)正负左右上下移(h 左加右减，k 上加下减)从二次函数 ya(xh)k 的图象可以看出：如果 a0，
49、当 xh 时，y 随 x 的增大而减小，当xh 时，y 随 x 的增大而增大；如果 a0，当 xh 时，y 随 x 的增大而增大，当 xh 时，y 随 x 的增大而减小4练习：课本第 37 页练习五、课堂小结1函数 ya(xh)k 的图象和函数 yax 图象之间的关系2函数 ya(xh)k 的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质六、作业布置教材第 41 页第 5 题22222222图象的对称轴图象的顶点坐标22.1.422.1.4二次函数二次函数 y yaxax2 2bxbxc c 的图象和性质的图象和性质(2(2 课时课时)2 2第第 1 1 课时课时二次函数二次函数 y yaxax
50、 bxbxc c 的图象和性质的图象和性质21掌握用描点法画出二次函数 yax bxc 的图象2掌握用图象或通过配方确定抛物线 yax bxc 的开口方向、对称轴和顶点坐标3经历探索二次函数 yax bxc 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次22函数yax bxc 的性质重点通过图象和配方描述二次函数 yax bxc 的性质难点理解二次函数一般形式 yax bxc(a0)的配方过程，发现并总结 yax bxc 与 ya(xh)k的内在关系一、导入新课1二次函数 ya(xh)k 的图象，可以由函数 yax 的图象先向_平移_个单位，再向_平移_个单位得到2二次函数 ya(