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1、有限元概述第1页，本讲稿共32页第第1章章 概概 述述机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院School of Mechanical and Automobile Engineering第2页，本讲稿共32页前言关于有限元法英文缩写FEM（Finite Element Method）应用中习惯称有限元分析是一种连续结构离散化数值计算方法上世纪五十年代由美国飞机工程师提出（1956年，Turner）FEM与CAECAE计算机辅助工程（Computer Aided Engineering）CAE范围更广，还包含其它工程分析方法第3页，本讲稿共32页第一节第一节 有限元法的产生与基本思想有限元法的产生
2、与基本思想工程中遇到的数学方程可以分为两种：工程中遇到的数学方程可以分为两种：1）代数方程）代数方程2）微分方程）微分方程（例如：悬臂梁弯曲方程）（例如：悬臂梁弯曲方程）第4页，本讲稿共32页数学方程的求解方法数学方程的求解方法1）解析法（精确解）解析法（精确解）利用严格的数学推导进行求解利用严格的数学推导进行求解2）数值法（近似解）数值法（近似解）通过一定算法利用计算机进行求解通过一定算法利用计算机进行求解 差分法差分法常用的数值方法常用的数值方法 变分法变分法 有限元法有限元法 第5页，本讲稿共32页差分法差分法 基本思路：用均匀的网格离散求解域，用离散点的差基本思路：用均匀的网格离散求解
3、域，用离散点的差分代替微分，从而将微分方程的求解转化为线性代数分代替微分，从而将微分方程的求解转化为线性代数方程组的求解。方程组的求解。例例1：求解区间求解区间a,b上的一维函数上的一维函数y(x)，且，且y(x)满足满足第6页，本讲稿共32页 解：首先将解：首先将a,b划分为划分为n等分，相邻两节点之间的距离等分，相邻两节点之间的距离h称为步长，且称为步长，且h=(b-a)/n。n+1个节点上的函数值就是待求解的未知数个节点上的函数值就是待求解的未知数 第7页，本讲稿共32页导数的数学定义：导数的数学定义：因此，可以用差分近似代替微分得：因此，可以用差分近似代替微分得：第8页，本讲稿共32页
4、 在第在第1至第至第n-1个节点处将个节点处将(1-2)及及(1-3)代入代入(1-1)可得可得n-1个线性代数方程：个线性代数方程：再利用边界条件有再利用边界条件有 这样就可以求得未知函数这样就可以求得未知函数y(x)在在n+1个节点上的近似个节点上的近似值，而位于节点间的函数值则可以利用节点上的函数值，而位于节点间的函数值则可以利用节点上的函数值线性插值求得。值线性插值求得。第9页，本讲稿共32页变分法变分法 基本思路：微分方程边值问题的解等价于相应的泛函极基本思路：微分方程边值问题的解等价于相应的泛函极值问题的解。值问题的解。也就是使得未知函数泛函取得驻值的也就是使得未知函数泛函取得驻值
5、的y(x)就是方程的就是方程的解。解。*里兹里兹（Ritz）法法 是从一族假定解中寻求满足泛函变分的是从一族假定解中寻求满足泛函变分的“最好解最好解”因此，解的精确度取决于因此，解的精确度取决于“试探函数试探函数”的选取。的选取。第10页，本讲稿共32页边值问题的泛函表达式边值问题的泛函表达式对于边值问题：对于边值问题：其原问题的泛函可以表达为其原问题的泛函可以表达为第11页，本讲稿共32页例例2：求解以下边值问题：求解以下边值问题解：将方程代入解：将方程代入(1-4)求得其泛函求得其泛函第12页，本讲稿共32页设试探函数可以表示为：设试探函数可以表示为：则有：则有：第13页，本讲稿共32页
6、根据多元函数分析，泛函取驻值的必要条件是其对各自变根据多元函数分析，泛函取驻值的必要条件是其对各自变量的偏导均为零，如此可得：量的偏导均为零，如此可得：这样这样,就可以得到由就可以得到由n个关于个关于 的线性方程组成的方的线性方程组成的方程组，求解该方程组就可以求出这程组，求解该方程组就可以求出这n个待定系数，再回代到个待定系数，再回代到(1-6)就可以求出就可以求出y的近似表达式。的近似表达式。第14页，本讲稿共32页例例3：求解以下边值问题：求解以下边值问题根据（根据（1-4）可得泛函为：）可得泛函为：第15页，本讲稿共32页1）选取试探函数：）选取试探函数：将其代入（将其代入（1-8）进
7、行计算后得泛函为：）进行计算后得泛函为：然后使泛函对然后使泛函对a的偏导等于零，有：的偏导等于零，有：第16页，本讲稿共32页2）选取试探函数：）选取试探函数：将其代入（将其代入（1-8）进行计算后得泛函为：）进行计算后得泛函为：然后使泛函对然后使泛函对a的偏导等于零，有：的偏导等于零，有：第17页，本讲稿共32页有限元法有限元法 在差分法和变分法的基础上建立起来的，结合了在差分法和变分法的基础上建立起来的，结合了两种方法的优点。两种方法的优点。第18页，本讲稿共32页基本思想：基本思想：1）离散）离散 差分法：差分法：对方程进行离散对方程进行离散 网格规则网格规则 有限元法：对物理模型进行离
8、散有限元法：对物理模型进行离散 网格不规则网格不规则 (即使写不出方程也可以求解即使写不出方程也可以求解)2）分片插值）分片插值 变分法：在整个求解区域采用统一插值函数变分法：在整个求解区域采用统一插值函数 有限元法：针对每一个单元选择插值函数有限元法：针对每一个单元选择插值函数 第19页，本讲稿共32页第20页，本讲稿共32页有限元法的产生有限元法的产生1943年，年，Courant尝试应用定义在三角区域上的分片连续函数尝试应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理相结合，求解和最小位能原理相结合，求解St.Venant扭转问题。扭转问题。现代有限元法的第一个成功尝试是现代有限元法的第
9、一个成功尝试是Turnet,Clough等人在分等人在分析飞机结构时于析飞机结构时于1965年得到的成果，是将刚架位移法推广年得到的成果，是将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题。应用于弹性力学平面问题。1960年，年，Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了提出了“有限单元法有限单元法”的名称。的名称。第21页，本讲稿共32页Turner等人最早提出有限单元法时是利用直接刚度法，它等人最早提出有限单元法时是利用直接刚度法，它来源于结构分析的刚度法，只能处理一些比较简单的实际来源于结构分析的刚度法，只能处理一些比较简单的实际问题。问题。1963-1
10、964年，年，Besseling,Melosh和和Jones等人证明了有限等人证明了有限单元法是基于变分原理的里兹法的另一种形式。单元法是基于变分原理的里兹法的另一种形式。1960年后，随着电子计算机的发展，有限单元法的年后，随着电子计算机的发展，有限单元法的发展速度才显著加快。发展速度才显著加快。第22页，本讲稿共32页第二节第二节 有限元法的应用有限元法的应用有限元的优越性有限元的优越性1)能够分析形状复杂的结构能够分析形状复杂的结构2)能够处理复杂的边界条件能够处理复杂的边界条件3)能够保证规定的工程精度能够保证规定的工程精度4)能够处理不同类型的材料能够处理不同类型的材料第23页，本讲
11、稿共32页有限元的应用领域有限元的应用领域1）线性静力分析）线性静力分析2）动态分析）动态分析3）热分析）热分析4）流场分析）流场分析5）电磁场计算）电磁场计算6）非线性分析）非线性分析7）过程仿真）过程仿真第24页，本讲稿共32页车辆工程中有限元主要应用范围按学科分类弹性力学断裂力学塑性力学结构分析动力学流体力学热力学电磁学声学几乎覆盖车辆工程几乎覆盖车辆工程中的各个学科，如果中的各个学科，如果包含交叉学科和边缘包含交叉学科和边缘学科，范围则更广学科，范围则更广第25页，本讲稿共32页按汽车结构分析分类汽车结构强度和刚度分析汽车结构强度和刚度分析静强度失效载荷产生超过屈服极限或强度极限的应力
12、载荷可是真的静载，也可为动载峰值结构变形影响运动关系检查运动干涉变形过大失效问题世界著名案例：日本车制动油管常见汽车零常见汽车零部件失效部件失效静强度失效静强度失效疲劳失效疲劳失效共振原因失效共振原因失效第26页，本讲稿共32页汽车结构模态分析汽车结构模态分析属动力学分析领域分析结构的固有特征固有频率固有振型模态阻尼模态刚度广范用于汽车结构动态特性设计广泛用于解决汽车结构振动噪声问题系统固有特性 输入输入（激励）（激励）输出输出（响应）（响应）第27页，本讲稿共32页响应分析响应分析时间响应分析通常在时域内求系统的时间相应常用于疲劳分析、平顺性分析等频率响应和响应谱分析多用于随机振动常参数线性
13、系统 脉冲响应函数 频率响应函数 传递函数 输入输入（激励）（激励）输出输出（响应）（响应）第28页，本讲稿共32页温度场计算温度场计算包括对流、传导和辐射发动机温度场计算及散热问题保温车（冷藏车）隔热计算热应力分析噪声振动分析噪声振动分析声场分析空腔共鸣制动噪声部件机械振动噪声汽车空气动力学分析汽车空气动力学分析降低空气阻尼、升力等通风换气改善车身表面流场发动机进气及排放现在最现在最高的汽车车速是多少？高的汽车车速是多少？你家新房空调放在你家新房空调放在什么地方最省电？什么地方最省电？能否实现在车内后排两老板能否实现在车内后排两老板（或情侣）（或情侣）说话司机不易听见说话司机不易听见而司机说
14、话前者容易听见而司机说话前者容易听见第29页，本讲稿共32页汽车结构碰撞、冲击分析汽车结构碰撞、冲击分析碰撞安全性问题车身安全性设计碰撞事故模拟再现汽车零部件冲压成形汽车零部件冲压成形成形部件设计模具设计分析开裂、起皱、回弹等问题（液）流场分析（液）流场分析液化石油气罐车乘车坐在什么地方乘车坐在什么地方（相对）最安全（相对）最安全第30页，本讲稿共32页汽车结构可靠性分析汽车结构优化设计按汽车结构分析的力学特征分类线性问题计算分析非线性问题的计算分析几何非线性材料非线性状态非线性接触问题第31页，本讲稿共32页第三节第三节 有限元的实施过程有限元的实施过程有限元法是当今主要的有限元法是当今主要的CAE方法方法有限元的实施过程有限元的实施过程1）原理研究）原理研究2）软件开发）软件开发3）应用研究）应用研究第32页，本讲稿共32页