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1、曲边梯形的面积与不定积分第1页，本讲稿共25页我们学过如何求梯形、长方形、三角形等我们学过如何求梯形、长方形、三角形等的面积的面积,这些图形都是由直线段围成的这些图形都是由直线段围成的.那么那么,如何求曲线围成的平面图形的面积呢如何求曲线围成的平面图形的面积呢?这就是定积分要解决的问题。这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。及其应用价值。第2页，本讲稿共2
2、5页 已知一个物体以每秒已知一个物体以每秒vo米的初速度米的初速度做匀加速运动，加速度为做匀加速运动，加速度为a米米/秒秒2.思考思考:请你写出这个物体在请你写出这个物体在t秒时的位移秒时的位移s与时间与时间t的函数关系的函数关系s=f(t)，和速度，和速度v与时间与时间t的函数的函数关系关系v=g(t).你能说出这两个函数之间的关系吗你能说出这两个函数之间的关系吗?s=v0t+(1/2)at2v=v0+a t位移位移s对时间的导函数是速度时间函数对时间的导函数是速度时间函数第3页，本讲稿共25页问题：问题：如图，阴影部分类似于一个梯形如图，阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线但有一边是曲线
3、y=f(x)的一段的一段,我们把由我们把由直线直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线和曲线y=f(x)所围所围成的图形称为曲边梯形如何计算这个成的图形称为曲边梯形如何计算这个曲边梯形的面积曲边梯形的面积?abf(a)yxf(b)oDCBA第4页，本讲稿共25页 y=f(x)bax yOA A1用一个矩形的面积用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A.如如何何求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积?得得A1能再精确一点吗能再精确一点吗?第5页，本讲稿共25页A A1+A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面近似代替曲边梯形的面积积A，得得 y=f(x)ba
4、x yO如如何何求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积?A1A2能再精确一点吗能再精确一点吗?第6页，本讲稿共25页A A1+A2+A3+A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的近似代替曲边梯形的面积面积A，得得 y=f(x)bax yO如如何何求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积?A1A2A3A4能再精确一点吗能再精确一点吗?第7页，本讲稿共25页 y=f(x)bax yOA A1+A2+An将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A近似为近似为A1A
5、iAn 以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近.如如何何求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积?达到无限接近。达到无限接近。第8页，本讲稿共25页1.5.11.5.1曲边梯形的面积曲边梯形的面积第9页，本讲稿共25页分割越细，面积的近似值就越精确。当分割分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积边梯形的面积S。“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程曲边梯形的面积曲边梯形的面积 分成很窄的小曲边梯形，分成很窄的小曲边梯形，然后用矩形面积代替后求和。然后用矩形面积代替后求和。第10页，本讲稿共25页(1)分割分割(
6、2)近似代替近似代替(3)求和求和(4)取极限取极限区间长度：区间长度：x=区间高：区间高：h=小矩形面积：小矩形面积：S=第第i i个小区间个小区间例例1.求求抛抛物物线线y=x2、直直线线x=1和和x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形的面积。形的面积。第11页，本讲稿共25页例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积。解解把底边把底边0,10,1分成分成n n等份等份,然后在每个分点作底边的垂线然后在每个分点作底边的垂线,这样曲这样曲边三角形被分成边三角形被分成n n个窄条个窄条,用矩形来近似代替用矩形来近似代替,然后把这些小矩形
7、的然后把这些小矩形的面积加起来面积加起来,得到一个近似值得到一个近似值:因此因此,我们有理由相我们有理由相信信,这个曲边三角形这个曲边三角形的面积为的面积为:第12页，本讲稿共25页 无限分割逼近方法无限分割逼近方法小于逼近小于逼近大于逼近大于逼近第13页，本讲稿共25页例例2.求抛物线求抛物线y=x2,直线直线x=t和和x轴所围成的曲边梯形的轴所围成的曲边梯形的 面积。面积。解把底边解把底边0,t分成分成n等份等份,然后在每个分点作底边的垂然后在每个分点作底边的垂线线,这样曲边三角形被分成这样曲边三角形被分成n个窄条个窄条,用矩形来近似代用矩形来近似代替替,然后把这些小矩形的面积加起来然后把
8、这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值得到一个近似值:把把s和和t改写为改写为y和和x.得到得到函数函数函数函数y=x2 与与 是什么关系呢是什么关系呢?思考思考第14页，本讲稿共25页我们把函数我们把函数y=x2、直线、直线x=1和和x轴所围成的曲边梯轴所围成的曲边梯形的面积叫做函数形的面积叫做函数y=x2在区间在区间0,1上的上的定积分定积分。定积分的定义定积分的定义表示为表示为定积分的几何意义定积分的几何意义:一一般般地地，如如果果正正值值函函数数f(x)在在区区间间a,b上上连连续续,那那么么我我们们把把函函数数f(x)的的图图像像和和x轴轴在在a,b所所围围成成的的曲曲边边梯梯形的面
9、积叫做函数形的面积叫做函数f(x)在区间在区间a,b上的上的定积分定积分。表示为表示为第15页，本讲稿共25页不定积分的定义不定积分的定义抛物线抛物线y=x2,直线直线x=t和和x轴所围成的曲边梯形的面积。轴所围成的曲边梯形的面积。我们把函数我们把函数 定义为函数定义为函数y=x2的一个的一个不定积分不定积分.不定积分的定义不定积分的定义如果函数如果函数y=F(x)的导函数是函数的导函数是函数y=f(x),那么我们那么我们把函数把函数y=F(x)叫做函数叫做函数y=f(x)的一个的一个不定积分不定积分.表示为表示为通常也把通常也把y=F(x)叫做函数叫做函数y=f(x)的一个原函数的一个原函数
10、第16页，本讲稿共25页在区间在区间a,b上微积分基本定理上微积分基本定理一一般般地地，如如果果函函数数f(x)在在区区间间a,b上上连连续续,并并且且F(x)=f(x),那么那么这个结论叫做微积分基本定理这个结论叫做微积分基本定理又叫做牛顿又叫做牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式第17页，本讲稿共25页不定积不定积基本分公式基本分公式(C)=0(sinx)=cosx(cosx)=sinx(xn+1)=(n+1)xn(ex)=ex(lnx)=第18页，本讲稿共25页f(x)在区间在区间a,b上的上的定积分定积分基本公式基本公式第19页，本讲稿共25页课本课本P42 P42 练习练习求直线求直线 x=
11、0,x=2,y=0与曲线与曲线 y=x2 所围成的曲边梯形的所围成的曲边梯形的面积。面积。第20页，本讲稿共25页在区间在区间a,b上的上的定积分定积分计算性质计算性质第21页，本讲稿共25页计算计算y=f(x)在区间在区间a,b上的上的定积分定积分的步骤的步骤第一步第一步:确定被积分的函数的结构类型确定被积分的函数的结构类型.第二步第二步:利用积分公式求被积分的函数的利用积分公式求被积分的函数的 一个原函数一个原函数F(x).第三步第三步:利用牛顿莱布尼兹公式求出定积分利用牛顿莱布尼兹公式求出定积分值值 2.5sin2+sin1第22页，本讲稿共25页小结小结:求由连续曲线求由连续曲线y=f
12、(x)对应的曲边梯形面积的方法对应的曲边梯形面积的方法有有理理由由相相信信，分分点点越越来来越越密密时时，即即分分割割越越来来越越细细时时，矩矩形形面面积积和和的的极极限限即即为曲边形的面积。为曲边形的面积。(1)分割分割(3)求面积的和求面积的和 把这些矩形面积相加把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积作为整个曲边形面积S的近似值。的近似值。(4)求求nSn-1极限极限 (2)近似代替近似代替第23页，本讲稿共25页定积分定积分的实质的实质就是求不规则图形的就是求不规则图形的 面积公式面积公式求函数的不定积分求函数的不定积分与将一个函数求导数是与将一个函数求导数是一种逆运算一种逆运算函数函数y=f(x)的的 不定积分不定积分与定积分的区别：与定积分的区别：不定积分是求不定积分是求函数函数y=f(x)的原的原函数；函数；定积分是求函数值的差定积分是求函数值的差.第24页，本讲稿共25页再见再见第25页，本讲稿共25页