最优化理论 第一章精品文稿.ppt

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1、最优化理论 第一章第1页，本讲稿共54页本课主要内容l l 最优化概述l l 最优化的数学基础l l 线性规划l l 整数规划l l 一维最优化方法l l 无约束多维非线性规划方法l l 约束问题的非线性规划方法l l 非线性规划中的一些其他方法第2页，本讲稿共54页第一章第一章 最优化的基本要素最优化的基本要素 1-1 1-1 绪论绪论1-2 1-2 优化问题的示例优化问题的示例1-3 1-3 优化问题的数学模型优化问题的数学模型 1-4 1-4 优化问题的几何解释和基本解法优化问题的几何解释和基本解法第3页，本讲稿共54页 优化是从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优优化是从处理各种事

2、物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。的方案。优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用，便是优化问题。题中的应用，便是优化问题。1-1 1-1 绪论绪论1.1.1.1.优化的含义优化的含义优化的含义优化的含义第4页，本讲稿共54页 （1 1）来源：优化一语来自英文）来源：优化一语来自英文OptimizationOptimization，其本意是寻优的过程；，其本意是寻优的过程；（2 2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以取极大值（以maxmax表示表示)或极小或极小(以以minmi

3、n表示表示)的过程。的过程。优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学。行决策及确定最优解的数学。第5页，本讲稿共54页2.2.2.2.优化的发展概况优化的发展概况优化的发展概况优化的发展概况 历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（欧几里得（EuclidEuclid，公元前，公元前300300年左右），他指出：在周长相年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪微微积分积分的建立给

4、出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提的建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术供了某些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变变分法分法。直到上世纪直到上世纪4040年代初，由于军事上的需要产生了年代初，由于军事上的需要产生了运筹学运筹学，并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。炸机最佳俯冲轨迹的设计等。第6页，本讲稿共54页 近近

5、十十几几年年来来，最最优优化化方方法法已已陆陆续续用用到到建建筑筑结结构构、化化工工、冶冶金金、铁铁路路、航航天天航航空空、造造船船、机机床床、汽汽车车、自自动动控控制制系系统统、电电力力系系统统以以及及电电机机、电电器器等等工工程程设设计计领领域域，并取得了显著效果。并取得了显著效果。50年代末年代末数学规划方法数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为被首次用于结构最优化，并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规划是其

6、主要内容。与非线性规划是其主要内容。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领域中得到应用。域中得到应用。第7页，本讲稿共54页l l第一阶段第一阶段第一阶段第一阶段人类智能优化人类智能优化人类智能优化人类智能优化：与人类史同步，直接凭借人类的直觉或逻：与人类史同步，直接凭借人类的直觉或逻：与人类史同步，直接凭借人类的直觉或逻：与人类史同步，直接凭借人类的直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎

7、子爬山法等。辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。l 第二阶段第二阶段数学规划方法优化数学规划方法优化：从三百多年前牛顿发明微积分算起，：从三百多年前牛顿发明微积分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。l 第三阶段第三阶段工程优化工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂：近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法，能解决不少传统数

8、学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化目标工程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优过程和方法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途径。化效率的新的途径。l 第四阶段第四阶段现代优化方法：现代优化方法：如遗传算法、如遗传算法、模拟退火算法、模拟退火算法、蚁群蚁群算法、算法、神经网络算法等，并采用专家系统技术实现寻优策略的神经网络算法等，并采用专家系统技术实现寻优策

9、略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发展。自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发展。第8页，本讲稿共54页 已知：制造一体积为已知：制造一体积为已知：制造一体积为已知：制造一体积为100m100m100m100m3 3 3 3，长度不小于，长度不小于，长度不小于，长度不小于5m5m5m5m，不带上，不带上，不带上，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长盖的箱盒，试确定箱盒的长盖的箱盒，试确定箱盒的长盖的箱盒，试确定箱盒的长x x x x1 1 1 1，宽，宽，宽，宽x x x x2 2 2 2，高，高，高，高x x x x3 3 3 3，使箱盒用，使箱盒用，使箱盒用，使箱盒用料

10、最省。料最省。料最省。料最省。分析：分析：分析：分析：（1 1 1 1）箱盒的表面积的表达式；）箱盒的表面积的表达式；）箱盒的表面积的表达式；）箱盒的表面积的表达式；（2 2 2 2）优化变量确定：长）优化变量确定：长）优化变量确定：长）优化变量确定：长x x x x1 1 1 1，宽，宽，宽，宽x x x x2 2 2 2，高，高，高，高x x x x3 3 3 3 ；（3 3 3 3）优化约束条件：）优化约束条件：）优化约束条件：）优化约束条件：（a a a a）体积要求；）体积要求；）体积要求；）体积要求；（b b b b）长度要求；）长度要求；）长度要求；）长度要求；x x1 1x x

11、2 2x x3 3箱盒的优化问题箱盒的优化问题1-2 1-2 优化问题示例优化问题示例第9页，本讲稿共54页数学模型数学模型优化变量：优化变量：目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：第10页，本讲稿共54页 某工厂生产某工厂生产某工厂生产某工厂生产A A A A 和和和和B B B B 两种产品，两种产品，两种产品，两种产品，A A A A 产品单位价格为产品单位价格为产品单位价格为产品单位价格为P P P PA A A A 万万万万元，元，元，元，B B B B 产品单位价格为产品单位价格为产品单位价格为产品单位价格为P P P PB B B B 万元。每生产一个单位万元。每生产一个单位万

12、元。每生产一个单位万元。每生产一个单位A A A A 产品需消产品需消产品需消产品需消耗煤耗煤耗煤耗煤a a a aC C C C 吨，电吨，电吨，电吨，电a a a aE E E E 度，人工度，人工度，人工度，人工a a a aL L L L 个人日；每生产一个单位个人日；每生产一个单位个人日；每生产一个单位个人日；每生产一个单位B B B B 产品需产品需产品需产品需消耗煤消耗煤消耗煤消耗煤b b b bC C C C 吨，电吨，电吨，电吨，电b b b bE E E E 度，人工度，人工度，人工度，人工b b b bL L L L 个人日。现有可利用生产资源煤个人日。现有可利用生产资源

13、煤个人日。现有可利用生产资源煤个人日。现有可利用生产资源煤C C C C 吨，电吨，电吨，电吨，电E E E E 度，劳动力度，劳动力度，劳动力度，劳动力L L L L 个人日，欲找出其最优分配方案，使个人日，欲找出其最优分配方案，使个人日，欲找出其最优分配方案，使个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。产值最大。产值最大。产值最大。分析：分析：分析：分析：（1 1 1 1）产值的表达式；）产值的表达式；）产值的表达式；）产值的表达式；（2 2 2 2）优化变量确定：）优化变量确定：）优化变量确定：）优化变量确定：A A A A 产品产品产品产品x x x xA A A A，B B B B

14、产品产品产品产品x x x xB B B B ；（3 3 3 3）优化约束条件：）优化约束条件：）优化约束条件：）优化约束条件：（a a a a）生产资源煤约束；）生产资源煤约束；）生产资源煤约束；）生产资源煤约束；（b b b b）生产资源电约束；）生产资源电约束；）生产资源电约束；）生产资源电约束；（b b b b）生产资源劳动力约束；）生产资源劳动力约束；）生产资源劳动力约束；）生产资源劳动力约束；最大产值生产资源分配问题最大产值生产资源分配问题 第11页，本讲稿共54页数学模型数学模型优化变量：优化变量：目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：第12页，本讲稿共54页1-31-3 最优

15、化的数学模型最优化的数学模型 1.1.1.1.优化变量优化变量优化变量优化变量 一个优化问题可以用一组基本参数的数值来表示，一个优化问题可以用一组基本参数的数值来表示，一个优化问题可以用一组基本参数的数值来表示，一个优化问题可以用一组基本参数的数值来表示，在优化过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基在优化过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基在优化过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基在优化过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作本参数，称作本参数，称作本参数，称作优化变量优化变量优化变量优化变量，又叫做，又叫做，又叫做，又叫做决策变量决策变量决策变量决策变量。最优化

16、的数学模型是描述实际优化问题目标函数、变量最优化的数学模型是描述实际优化问题目标函数、变量关系、有关约束条件和意图的数学表达式，它反映了物理关系、有关约束条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行最优化的基础。现象各主要因素的内在联系，是进行最优化的基础。第13页，本讲稿共54页 优化变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表优化变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表优化变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表优化变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。优化变量的数目称为优化问题的维数，如示。优化变量的数目称为优化问题的维数，如示。优化变量的数目称

17、为优化问题的维数，如示。优化变量的数目称为优化问题的维数，如n n n n个优化变量，个优化变量，个优化变量，个优化变量，则称为则称为则称为则称为n n n n维优化问题维优化问题维优化问题维优化问题。按照优化变量的取值特点，可分为按照优化变量的取值特点，可分为连续变量连续变量（例如轴（例如轴径、轮廓尺寸等）和径、轮廓尺寸等）和离散变量离散变量（例如各种标准规格等）。（例如各种标准规格等）。第14页，本讲稿共54页图1-1 优化变量所组成的优化空间优化变量所组成的优化空间（a a）二维问题）二维问题 （b b）三维问题）三维问题 只只有有两两个个优优化化变变量量的的二二维维优优化化问问题题可可

18、用用图图（a a）所所示示的的平平面面直直角角坐坐标标表表示示；有有三三个个优优化化变变量量的的三三维维问问题题可可用用图图（b b）所表示的空间直角坐标表示。）所表示的空间直角坐标表示。第15页，本讲稿共54页 优化问题的维数表征优化的自由度，优化变量愈多，优化问题的维数表征优化的自由度，优化变量愈多，则问题的自由度愈大、可供选择的方案愈多，但难度亦则问题的自由度愈大、可供选择的方案愈多，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。愈大、求解亦愈复杂。小型优化问题：小型优化问题：一般含有一般含有2 21010个优化变量；个优化变量；中型中型优化优化问题：问题：10105050个个优化优化变量；变量；大型大型

19、优化优化问题：问题：5050个以上的个以上的优化优化变量。变量。第16页，本讲稿共54页如何选定优化变量如何选定优化变量？任何一项产品，是众多变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，任何一项产品，是众多变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以确定优化变量时应注意以下几点：过大。所以确定优化变量时应注意以下几点：（1 1）抓主要，舍次要。抓主要，舍次要。对产品性能和结构影响大的参数可取为优化变量，影响小的可先对产品性能和结构影响大的参数可取为优化变量，影响小的可先根据经验取为

20、试探性的常量，有的甚至可以不考虑。根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2 2）根据要解决问题的特殊性来选择优化变量。根据要解决问题的特殊性来选择优化变量。例如，圆柱螺旋拉压弹簧的优化变量有例如，圆柱螺旋拉压弹簧的优化变量有4 4个，即钢丝直径个，即钢丝直径d d，弹簧中，弹簧中径径D D，工作圈数，工作圈数n n和自由高度和自由高度H H。在建模中，将材料的许用剪切应力。在建模中，将材料的许用剪切应力 和剪切和剪切模量模量等作为优化常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧等作为优化常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径中径D D作为优化常量。作为优化常量。第17页，本讲稿

21、共54页 2.2.约束条件约束条件 优化问题中有些是工程上所不能接受的，在优化中优化问题中有些是工程上所不能接受的，在优化中对优化变量取值有一些限制条件，这些限制条件称作对优化变量取值有一些限制条件，这些限制条件称作约约束条件束条件，简称，简称约束约束。约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型：约束两种类型：(1)(1)等式约束等式约束(2)(2)不等式约束不等式约束第18页，本讲稿共54页根据约束的性质可以把它们区分成：根据约束的性质可以把它们区分成：性能约束性能约束针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。针对性能要求而提出的限制

22、条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；边界约束边界约束只是对设计变量的取值范围加以限制的约束只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。轴段长度的限定范围就属于边界约束。第19页，本讲稿共54页图图1-2 1-2 优化问题中的约束面（或约束线）优化问题中的约束面（或约束线）(a)(a)二变量问题的约束线二变量问题的约束线 (b)(b)三变量问题的约束面三变量问题的约束面第2

23、0页，本讲稿共54页 如图如图1-31-3上画出了满足两项约束条件上画出了满足两项约束条件g1（X）=x12x22160和和g2（X）2x20的的二维设计问题的可行域二维设计问题的可行域D D，它位于，它位于x2 2=2=2的上面和圆的上面和圆 x1 12 2x2 22 2=16=16的的圆弧圆弧ABCABC下面并包括线段下面并包括线段ACAC和圆弧和圆弧ABCABC在内。在内。图图1-3 1-3 约束条件规定的可行域约束条件规定的可行域D D 可行域可行域 :在优化问题中，满足所有约束条件的点所构成的在优化问题中，满足所有约束条件的点所构成的集合。集合。第21页，本讲稿共54页 满足满足 的

24、约束为起作用约束的约束为起作用约束,否则为不起作否则为不起作用的约束用的约束.(.(等式约束一定是起作用约束等式约束一定是起作用约束)一般情况下，可行域可表示为：一般情况下，可行域可表示为：不可行域不可行域:可行点和不可行点可行点和不可行点 D D内的点为可行点内的点为可行点,否则为不可行点否则为不可行点（外点）。（外点）。边界点与内点边界点与内点约束边界上的可行点为边界点约束边界上的可行点为边界点,其余可其余可行点为内点。行点为内点。起作用的约束与不起作用的约束起作用的约束与不起作用的约束第22页，本讲稿共54页3.3.3.3.目标函数目标函数 在优化过程中，通过优化变量的不断向在优化过程中

25、，通过优化变量的不断向f(X)值改善的方向自动调整，值改善的方向自动调整，最后求得最后求得f f(X X)值最好或最满意的值最好或最满意的X值。在构造目标函数时，目标函数的值。在构造目标函数时，目标函数的最优值可能是最大值，也可能是最小值。在机械设计中，可作为参考目标最优值可能是最大值，也可能是最小值。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：函数的有：体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。为了对优化进行定量评

26、价，必须构造包含优化变量的评价为了对优化进行定量评价，必须构造包含优化变量的评价函数，它是优化的目标，称为函数，它是优化的目标，称为目标函数目标函数，以，以f(X)表示。表示。第23页，本讲稿共54页 在优化问题中，可以只有一个目标函数，称为在优化问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多多目标函数目标函数的最优化问题。在一般的最优化问题中，多目标函数的的最优化问题。在一般的最优化问题中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，建模的综合效果愈好，但问题的求解情况较多。目标函数愈多，建模

27、的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。亦愈复杂。在实际工程问题中，常常会遇到在多目标函数的某些在实际工程问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求建模者正确处理各目目标之间存在矛盾的情况，这就要求建模者正确处理各目标函数之间的关系。标函数之间的关系。第24页，本讲稿共54页 目标函数等值（线）面目标函数等值（线）面目标函数等值（线）面目标函数等值（线）面 目标函数是目标函数是n n维变量的函数，它的函数图像只能在维变量的函数，它的函数图像只能在n n+1+1维空间中维空间中描述出来。为了在描述出来。为了在n n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用维设计空间中反映

28、目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。目标函数等值面的方法。目标函数的等值面（线）数学表达式为：目标函数的等值面（线）数学表达式为：c c为一系列常数，代表一族为一系列常数，代表一族n n维超曲面。如在二维优化问题维超曲面。如在二维优化问题中，中，f(x1,x2)=c 代表代表x1-x2平面上的一族曲线。平面上的一族曲线。对于具有相等目标函数值的自变量构成的平面曲线或曲面对于具有相等目标函数值的自变量构成的平面曲线或曲面称为称为等值线等值线或或等值面等值面。第25页，本讲稿共54页图图1-4 1-4 等值线等值线 图图1-41-4表示目标函数表示目标函数f（X）与两个优化变量与两个优

29、化变量x1，x2阶所构成的关阶所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的点所构成系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值

30、线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数的变化规律。可用几何图象形象地表现出目标函数的变化规律。第26页，本讲稿共54页 从等值线上，可以清楚地看到函数值的变化情况。其中从等值线上，可以清楚地看到函数值的变化情况。其中f=40的的等值线就是使等值线就是使f(x1,x2)=40的各点的各点x1,x2T所组成的连线。所组成的连线。如图函数如图函数 的等值线图。的等值线图。图图1-5 1-5 等值线等值线第27页，本讲稿共54页4.4.4.4.优化问题一般数学形式：优化问题一般数学形式：优化问题一般数学形式：优化问题一般数学形式：满足约束条件满足约束条件满足约束条件满足约束条件 ：求优化变量向量求优

31、化变量向量使目标函数使目标函数第28页，本讲稿共54页 对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。最最优优化化问问题题的的目目标标函函数数通通常常为为求求目目标标函函数数的的最最小小值值。若若目目标

32、标函函数数的的最最优优点点为为可可行行域域中中的的最最大大值值时时，则则可可看看成成是是求求-f（X）的的最最小值，因为小值，因为minmin-f（X）与与maxf（X）是等价的。是等价的。第29页，本讲稿共54页5.5.5.5.建模实例建模实例1 1）根据问题要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对）根据问题要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统问题中的公式进行改进，并尽可象进行分析。必要时，需要对传统问题中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。2 2）对诸参数进行分析，以确定问题

33、的原始参数、优化常数和优化变量。）对诸参数进行分析，以确定问题的原始参数、优化常数和优化变量。3 3）根据问题要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有）根据问题要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。时要构造多目标函数。4 4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。原因导致的数量悬殊的影响。建立优化问题的数学模型一般步骤：建立优化问题的数学模型一般步骤：建立优化问题的数学模型一般步骤：建立优化问题的数学模型一般步骤：第30页，本讲稿共54页配料配料配料配料每磅配

34、料中的营养含量每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量钙钙钙钙蛋白质蛋白质蛋白质蛋白质纤维纤维纤维纤维每磅成本（元）每磅成本（元）每磅成本（元）每磅成本（元）石灰石石灰石石灰石石灰石谷物谷物谷物谷物大豆粉大豆粉大豆粉大豆粉0.3800.000.000.3800.000.000.0010.090.020.0010.090.020.0020.500.080.0020.500.080.01640.01640.04630.04630.12500.1250 以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲料的

35、批量为料的批量为100100磅，这份饲料必须含：至少磅，这份饲料必须含：至少0.8%0.8%而不超过而不超过1.2%1.2%的钙的钙;至至少少22%22%的蛋白质的蛋白质;至多至多5%5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为：大豆粉。这些配料的主要营养成分为：混合饲料配合混合饲料配合第31页，本讲稿共54页解解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:设设 是生产是生产100100磅混合饲料磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。所须的石灰石、谷物、大豆粉的

36、量（磅）。第32页，本讲稿共54页6.6.6.6.优化设计的分类优化设计的分类对于最优化问题一般可作如下分类：对于最优化问题一般可作如下分类：还有其它的一些划分方法：还有其它的一些划分方法：如按优化变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量如按优化变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量规划问题规划问题:二次规划、几何规划、随机规划等。二次规划、几何规划、随机规划等。第33页，本讲稿共54页一、几何解释一、几何解释一、几何解释一、几何解释1-4 1-4 优化问题的几何解释和基本解法优化问题的几何解释和基本解法l无约束优化无约束优化问题就是在没有限制的条件下，对优化变量求目问题就是在没有限制的

37、条件下，对优化变量求目标函数的极小点。在优化空间内，目标函数是以等值面的形标函数的极小点。在优化空间内，目标函数是以等值面的形式反映出来的，则式反映出来的，则无约束优化问题的极小点即为等值面的中心。无约束优化问题的极小点即为等值面的中心。l约束优化约束优化问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小点在小点，此极小点在可行域内或在可行域边界上。可行域内或在可行域边界上。第34页，本讲稿共54页等值线等高线等值线等高线：等值线等高线：它是由许多具有相同它是由许多具有相同目标函数值的点所构目标函数值的点所构成的平面曲线成的平面曲线目标函数的等值线数目

38、标函数的等值线数学表达式为：学表达式为：第35页，本讲稿共54页第36页，本讲稿共54页第37页，本讲稿共54页第38页，本讲稿共54页例例1 1：如下二维非线性规划问题：如下二维非线性规划问题例题例题 通过二维约束优化问题的几何求解来直观地描述优化问题通过二维约束优化问题的几何求解来直观地描述优化问题的基本思想。的基本思想。第39页，本讲稿共54页 目标函数等值线是以点（目标函数等值线是以点（2 2，0 0）为圆心的一组同心圆。）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：如不考虑约束，本例的无约束最优解是：，约束方程所围成的可行域是约束方程所围成的可行域是D D。图图图图1-9

39、1-91-91-9第40页，本讲稿共54页l由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为何的方法得该切点为，对应的最优值为对应的最优值为l(见图）见图）例例例例2 2：解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是可行集。而最优点就是可行域上使等值线具有最直线，这条直线就是可行集。而最优点就是可行域上使等值线具有最小值的点。小值的点。第41页，本讲稿共54页解：解：先画出等式约束曲线先画出等式约束曲线的图形。的图形。这是一条抛物线

40、，如图这是一条抛物线，如图例例例例3 3：再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，ABCD第42页，本讲稿共54页 以及等值线与可行集的切点，易见可行域以及等值线与可行集的切点，易见可行域以及等值线与可行集的切点，易见可行域以及等值线与可行集的切点，易见可行域为曲线段为曲线段为曲线段为曲线段ABCDABCD。当动点沿抛物曲线段。当动点沿抛物曲线段。当动点沿抛物曲线段。当动点沿抛物曲线段ABCDABCD由由由由A A点出发时，点出发时，点出发时，点出发时，ABA

41、B段目标函数值下降。段目标函数值下降。段目标函数值下降。段目标函数值下降。过点过点过点过点B B后，在后，在后，在后，在BCBC段目标函数值上升。过段目标函数值上升。过段目标函数值上升。过段目标函数值上升。过C C点后，点后，点后，点后，在在在在CDCD段目标函数值再次下降。段目标函数值再次下降。段目标函数值再次下降。段目标函数值再次下降。D D点是使目点是使目点是使目点是使目标函数值最小的可行点，其坐标可通过解标函数值最小的可行点，其坐标可通过解标函数值最小的可行点，其坐标可通过解标函数值最小的可行点，其坐标可通过解方程组：方程组：方程组：方程组：l得出：得出：ABCD第43页，本讲稿共54

42、页 由以上例子可见，对二维最优化问题。我们总可以由以上例子可见，对二维最优化问题。我们总可以由以上例子可见，对二维最优化问题。我们总可以由以上例子可见，对二维最优化问题。我们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作图，此法失效。面上作图，此法失效。面上作图，此法失效。面上作图，此法失效。在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的在三维和三维以

43、上的空间中，使目标函数取同一常数值的是是是是 X|f(X)=C,C X|f(X)=C,C是常数是常数是常数是常数 称为目标函数的等值面。称为目标函数的等值面。称为目标函数的等值面。称为目标函数的等值面。等值面具有以下性质：等值面具有以下性质：等值面具有以下性质：等值面具有以下性质：（1 1）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数；数；数；数；（2 2）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，而稀疏的）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，而稀疏

44、的）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，而稀疏的）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，而稀疏的地方变化得比较慢；地方变化得比较慢；地方变化得比较慢；地方变化得比较慢；（3 3）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。现为同心椭球面族（椭圆族）。现为同心椭球面族（椭圆族）。现为同心椭球面族（椭圆族）。第44页，本讲稿共54页求解优化问题的基本解法有：求解优化问题的基本解法有：求解优化问题的基本解法有：求解优化问题的基本解法有：二、优

45、化问题的基本解法二、优化问题的基本解法解析法解析法数值解法数值解法解解析析法法：即即利利用用数数学学分分析析(微微分分、变变分分等等）的的方方法法，根根据据函函数数（泛泛函函）极极值值的的必必要要条条件件和和充充分分条条件件求求出出其其最最优优解解析析解解的的求求解解方法方法 。在目标函数比较简单时，求解还可以。在目标函数比较简单时，求解还可以。局限性：局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。烦。

46、第45页，本讲稿共54页 最最优优化化方方法法是是与与近近代代电电子子计计算算机机的的发发展展紧紧密密相相联联系系的的，数数值值计计算算法法比比解解析析法法更更能能适适应应电电子子计计算算机机的的工工作作特特点点，因因为为数数值值计计算算的的迭迭代代方方法法具具有有以以下下特特点：点：1 1）是数值计算而不是数学分析方法；）是数值计算而不是数学分析方法；2 2）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；3 3）最后得出的是逼近精确解的近似解。）最后得出的是逼近精确解的近似解。这些特点正与计算机的工作特点相一致。这些特点正与计算机的工作特点

47、相一致。数值解法数值解法：这是一种数值近似计算方法，又称为这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代数值迭代方法方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解法。法）是优化设计问题的基本解法。其中也可能用到解析法，如最速下降方向的选取、最优步长的确定等。第46页，本讲稿共54页第47页，本

48、讲稿共54页 数值迭代法的数值迭代法的基本思路：基本思路：基本思路：基本思路：是进行反复的数值计算，寻求目标是进行反复的数值计算，寻求目标函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的最优点。函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：1 1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点X X（0 0），从，从X X（0 0）出出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到X X（1 1）点；点；2

49、2）得到新点）得到新点X X（1 1）后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从及适当的步长，从X X（1 1）点出发再跨出一步，达到点出发再跨出一步，达到X X（2 2）点，并依此类推，点，并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到目标函数的最优点。一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到目标函数的最优点。1.1.求解步骤求解步骤第48页，本讲稿共54页在中间过程中每一步的迭代形式为：在中间过程中每一步的迭代形式为：图图1-8 1-8 迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图 上式中：上式中：X X（

50、k k）第第k k步迭代计算所得到的点，称第步迭代计算所得到的点，称第k k步迭代点，步迭代点，亦为第亦为第k k步设计方案；步设计方案；a a（k k）第第k k步迭代计算的步长；步迭代计算的步长；S S（k k）第第k k步迭代计算的探索方向。步迭代计算的探索方向。用用迭迭代代法法逐逐步步逼逼近近最最优优点点的的探探索过程如图索过程如图1-81-8所示。所示。第49页，本讲稿共54页 运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函数值下降