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1、数学建模第八章回归分析方法第1页，本讲稿共22页回归分析回归分析：研究一个随机变量Y对另一个(X)或一组(X1，X2，Xk)变量的相依关系的统计分析方法 回归分析回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计统计分析方法。运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析一元线性回归分析。如
2、果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回多元线性回归分析。归分析。百度百科百度百科第2页，本讲稿共22页变量之间的关系变量之间的关系确定性关系确定性关系相相 关关 关关 系系确定性关系确定性关系身高和体重身高和体重相关关系相关关系相关关系的特征是相关关系的特征是:变量之间的关系很难用一变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来种精确的方法表示出来.1.1 引言1.回归分析方法第3页，本讲稿共22页确定性关系确定性关系和和相关关系相关关系的联系的联系由于存在测量误差等原因由于存在测量误差等原因,确定性关系在实际确定性关系在实际问题中往往通过相关关系
3、表示出来问题中往往通过相关关系表示出来;另一方面另一方面,当对当对事物内部规律了解得更加深刻时事物内部规律了解得更加深刻时,相关关系也有可相关关系也有可能转化为确定性关系能转化为确定性关系.回归分析回归分析处理变量之间的相关关系的一处理变量之间的相关关系的一种数学方法种数学方法,它是最常用的数理统计方法它是最常用的数理统计方法.回归分析的任务回归分析的任务根据试验数据估计回归根据试验数据估计回归函数函数;讨论回归函数中参数的点估计讨论回归函数中参数的点估计、区间估计区间估计;对回归函数中的参数或者回归函数本身进行假设对回归函数中的参数或者回归函数本身进行假设检验检验;利用回归函数进行预测与控制
4、等等利用回归函数进行预测与控制等等.第4页，本讲稿共22页拟合拟合侧重于调整曲线的参数，使得与数据相符 而回归回归重在研究两个变量或多个变量之间的关系。它可以用拟合的手法来研究两个变量的关系，以及出现的误差。第5页，本讲稿共22页一元线性回归一元线性回归多元线性回归多元线性回归回归分析方法回归分析方法数数学学模模型型及及定定义义模模型型参参数数估估计计检检验验、预预测测与与控控制制可可线线性性化化的的一一元元非非线线性性回回归归（曲曲线线回回归归）数数学学模模型型及及定定义义模模型型参参数数估估计计多多元元线线性性回回归归中中的的检检验验与与预预测测逐逐步步回回归归分分析析第6页，本讲稿共22
5、页1.21.2一元线性回归分析一元线性回归分析例例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xi，yi）在平面直角坐标系上标出.散点图身高身高143145146147149150153154155156157158159160162164腿长腿长88858891929393959698979698991001021.2.1 数学模型数学模型第7页，本讲稿共22页一元线性回归分析的主要任务是：一元线性回归分析的主要任务是：、1、用试验值、用试验值（样本值）对（样本值）对0b b1b b和和s s作点估计；作点估计；、2、对回归系数、对回归系数0
6、b b1b b作假设检验；作假设检验；第8页，本讲稿共22页1.2.2 模型参数估计模型参数估计（1）回归系数的最小二乘估计）回归系数的最小二乘估计第9页，本讲稿共22页其中其中 第10页，本讲稿共22页1.3 可线性化的一元非线性回归可线性化的一元非线性回归-曲线回归曲线回归例例2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断增大.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关 系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：第11页，本讲稿共22页散点图此即非线性回归非线性回归或曲线回归曲线回归问题（需要配曲线）配曲线的一般方法是：配曲线的一般方法是：第12页，本讲稿共22页举例举例1
7、1：指数曲线方程指数曲线方程 的线性化的线性化n n两边取对数：n令 ，可得直线回归方程：第13页，本讲稿共22页幂函数曲线方程幂函数曲线方程 的线性化的线性化当 y 和 x 都大于0时可线性化为：若令 ，即有线性回归方程：第14页，本讲稿共22页通常选择的六类曲线如下：第15页，本讲稿共22页1.4 多元线性回归多元线性回归多元线性回归在工程上更为有用。1.4.11.4.1数学模型及定义数学模型及定义第16页，本讲稿共22页第17页，本讲稿共22页第18页，本讲稿共22页第19页，本讲稿共22页1.4.21.4.2模型参数估计模型参数估计 第20页，本讲稿共22页解得估计值第21页，本讲稿共22页第22页，本讲稿共22页