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1、数学建模讲解第1页，本讲稿共18页A题题 零件的参数设计零件的参数设计 一件产品由若干零件组装而成。标志产品性一件产品由若干零件组装而成。标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数，零件参能的某个参数取决于这些零件的参数，零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均在生产部
2、门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的三倍。方差的三倍。第2页，本讲稿共18页 进行零件设计，就是要确定其标定值和容差，进行零件设计，就是要确定其标定值和容差，这时要考虑两方面因素：这时要考虑两方面因素：1、当各零件组装成产品时，如果产品参、当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大。失，偏离越大，损失越大。2、零件容差的大小决定了其制造成本，、零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计的越小，成本越高。容差设计的越小，成本越高。第3页，本讲稿共18页试通过如下的具体问题给出一般的零件设计方法试通过如下的具体
3、问题给出一般的零件设计方法 粒子分离器某参数（粒子分离器某参数（y）由）由7个零件的参数（记个零件的参数（记为为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）决定，经验）决定，经验公式为公式为第4页，本讲稿共18页y y的目标值（记作的目标值（记作y0y0）为）为1.501.501 1、当、当y y偏离偏离y00.1y00.1时，产品为次品，质时，产品为次品，质量损失为量损失为1 1，000000元。元。2 2、当、当y y偏离偏离y00.3y00.3时，产品为废品，损失时，产品为废品，损失为为9 9，000000元。元。第5页，本讲稿共18页 零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为零件参
4、数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C 三个等级，用与标定值的相对值表示，三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为等为1%,B等为等为5%,C等为等为10%。7个零件参数标定值的容许范围，及个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号“/”表示无表示无此等级零件）。此等级零件）。标定容许范围C等B等A等X10.075,0.125/25/X20.225,0.3752050/X30.075,0.1252050200X40.075,0.12550100500X51.125,1.87550/X612,201025100X70
5、.5625,0.935/25100第6页，本讲稿共18页 现成批生产，每批生产现成批生产，每批生产10001000个。在个。在原设计中，原设计中，7 7个零件参数的标定值为：个零件参数的标定值为：x1=0.1x1=0.1、x2=0.3x2=0.3、x3=0.1x3=0.1、x4=0.1x4=0.1、x5=1.5x5=1.5、x6=16x6=16、x7=0.75;x7=0.75;容差均选最便宜容差均选最便宜的等级。的等级。请你综合考虑请你综合考虑y y偏离偏离y0y0造成的损失和造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费定值
6、和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少。用降低了多少。第7页，本讲稿共18页问题分析问题分析 本题是一个最优化问题，目的是要通过模本题是一个最优化问题，目的是要通过模型求出单个零件的最小费用，而找到最优解，型求出单个零件的最小费用，而找到最优解，也就是问题中所提到的标定值和容差，因此，也就是问题中所提到的标定值和容差，因此，该模型，我决定建立标定值，容差和单个零该模型，我决定建立标定值，容差和单个零件费用之间的函数关系，通过件费用之间的函数关系，通过matlabmatlab数学软件数学软件求解有约束的非线性规划问题，因而可以得求解有约束的非线性规划问题，因而可以得到所要的最优解。到所要的最
7、优解。第8页，本讲稿共18页1 1、先来讨论质量损失的计算。由题目中所给的、先来讨论质量损失的计算。由题目中所给的“如果产品如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大。大，损失越大。”这说明质量损失的计算应具有两个特点这说明质量损失的计算应具有两个特点:只要只要y y不等于不等于y0y0那麽就有质量损失那麽就有质量损失;损失值与损失值与|y-y0|y-y0|成正比。成正比。因此因此,给出如下函数给出如下函数 其中，其中，k k是常数是常数第9页，本讲稿共18页 将题目中所给的两组损失数值代入上式将题目中所给的两组损失
8、数值代入上式,求得求得 k=100000 k=100000 因此因此 上式符合上述的两个特点，称为表征质量损失上式符合上述的两个特点，称为表征质量损失的函数。的函数。第10页，本讲稿共18页2 2、本题要求的是使总费用最少的设计方案。总、本题要求的是使总费用最少的设计方案。总费用由两部分组成：零件成本和费用由两部分组成：零件成本和y y偏离偏离y0y0造成的造成的质量损失。质量损失。零件成本只取决于零件的相对容差，设第零件成本只取决于零件的相对容差，设第i i种种零件的成本为，则七种零件总成本为零件的成本为，则七种零件总成本为第11页，本讲稿共18页 y y是由零件参数是由零件参数X0=(x1
9、X0=(x1，x2x2，x3x3，x4x4，x5x5，x6x6，x7)x7)决定的，即经验公式决定的，即经验公式y=fy=f（X0X0），由假设），由假设xi xi可视可视为相互独立的随机变量，那麽为相互独立的随机变量，那麽y y也是随机变量。大也是随机变量。大量生产时，平均每件产品的质量损失费用应该用表量生产时，平均每件产品的质量损失费用应该用表征质量损失的函数征质量损失的函数F(y)F(y)的期望来度量。而该期望又的期望来度量。而该期望又由各种零件参数的标定值由各种零件参数的标定值X0X0和相对容差决定。设总和相对容差决定。设总费用函数为费用函数为P,P,那麽那麽第12页，本讲稿共18页3
10、 3、下面讨论、下面讨论(2)(2)的具体表达式。的具体表达式。由由其中其中 是是y y的期望值的期望值,是的是的y y方差。方差。现在来推导现在来推导 与与 将将y=f(X0)y=f(X0)在在X0=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)X0=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)处进行处进行TaylarTaylar展开展开,并略去二阶以上各项。则并略去二阶以上各项。则第13页，本讲稿共18页那么那么其中其中 ，是是 的均方差的均方差=第14页，本讲稿共18页从题目中以知从题目中以知,零件的容差零件的容差 ,相对容差相对容差 ,将这些代入上式将这些代入上式(3),(3),则目标函
11、数的最终表达式为则目标函数的最终表达式为第15页，本讲稿共18页模型求解模型求解 由于所求解中由于所求解中,包含连续变量标定值包含连续变量标定值X0,X0,也包括离也包括离散变量相对容差散变量相对容差mi,mi,因此给求解带来困难，我们采因此给求解带来困难，我们采用分离方法求解。从容差表中可知用分离方法求解。从容差表中可知,七种零件的容七种零件的容差共有差共有1233132=1081233132=108种组合种组合,可以采用可以采用穷举法穷举法,求出每种容差组合求出每种容差组合m0=(m1,m2,m7)m0=(m1,m2,m7)下的最下的最优解优解X0X0和和P1,P1,此时求此时求P1P1的表达式为的表达式为:第16页，本讲稿共18页而此种组合下的总成本为而此种组合下的总成本为P=P1+C(m0)P=P1+C(m0)再对再对108108个总费用进行比较，找出其中最小个总费用进行比较，找出其中最小的，其对应的的，其对应的X0X0和和m0m0组合，既是所要找的组合，既是所要找的解。解。Mins.t.i=1,2,3,4,5,6,7、是标定值的上下限是标定值的上下限 第17页，本讲稿共18页谢谢！第18页，本讲稿共18页