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1、数学物理方程及其定解问题1第1页，本讲稿共17页3.数学物理方程的分类若 ,如果方程可以表为:1.基本概念a.二阶偏微分方程:,即方程中偏导数的阶数是2次的,则称为二阶偏微分方程b.二阶二阶线性线性偏微分方程偏微分方程:若其中的系数只是自变量的函数，即只是若其中的系数只是自变量的函数，即只是的函数，则称为是的函数，则称为是线性的线性的方程方程2第2页，本讲稿共17页c.齐次二阶线性偏微分方程:若则称方程是齐次的2.叠加原理当泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作当泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作几个部分的解的线性叠加几个部分的解的线性叠加.3第3页，本讲稿共1
2、7页7.4 达朗贝尔公式 定解问题1.1.无限长的自由振动无限长的自由振动2.2.端点的反射端点的反射 半无限长弦的自由振动半无限长弦的自由振动 半无限长杆的自由振动半无限长杆的自由振动3.3.定解问题的整体性定解问题的整体性(除上述两种类型外的数学物除上述两种类型外的数学物理方程理方程)4.4.定解问题的适定性定解问题的适定性满足达朗贝尔公式延拓,利用达朗贝尔公式4第4页，本讲稿共17页一.无界弦的自由振动 1.1.无界弦的自由振动无界弦的自由振动 (1)(1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，
3、弦两端的影响来心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦的两端提出边界条件。的两端提出边界条件。定解问题定解问题 初值问题初值问题 (2)(2)自由振动：弦不受强迫力的作用，振动是自由的自由振动：弦不受强迫力的作用，振动是自由的 方程是齐次的方程是齐次的5第5页，本讲稿共17页定解问题：2.求无界弦的自由振动方程求无界弦的自由振动方程 求偏微分方程的通解求偏微分方程的通解 分析范定方程的形式分析范定方程的形式,为表示的简化对称做变量代换为表示的简化对称做变量代换:得方程的通解
4、通解的物理意义通解的物理意义:正行波正行波,反行波反行波 6第6页，本讲稿共17页利用定解条件来确定函数由初始条件得解得达朗贝尔公式达朗贝尔公式7第7页，本讲稿共17页例一.求解初值问题8第8页，本讲稿共17页讨论：达朗贝尔解的物理意义 I.只有初始位移时:代表以速度代表以速度a a沿沿x x轴正向传播的波轴正向传播的波代表以速度代表以速度a a沿沿x x轴负向传播的波轴负向传播的波II.只有初始速度时：只有初始速度时：令令 ,则则结论：达朗贝尔解表示沿结论：达朗贝尔解表示沿x x轴正、反向传播的两列波的叠加。轴正、反向传播的两列波的叠加。9第9页，本讲稿共17页练习:初位移10第10页，本讲
5、稿共17页二.端点的反射 1.半无界弦的自由振动半无界的弦只有一个端点,设端点在坐标原点定解问题:分析分析:端点固定。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义，端点固定。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义，考虑端点固定，作考虑端点固定，作奇延拓奇延拓11第11页，本讲稿共17页由达朗贝尔公式得到解，其中由达朗贝尔公式得到解，其中x0的部分即所讨论问题的解。的部分即所讨论问题的解。12第12页，本讲稿共17页在初速为0的情况下，如右图所示右半边实线:左右两方向移动 的波左半边细线:其奇延拓端点的影响表现为反射波反射波的相位跟入射波相反,形成半波损失13第13页，本讲稿共17页 2.半无限长杆的自由振动
6、 杆的端点自由定解问题:分析分析:端点自由。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义，端点自由。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义，考虑端点自由，作考虑端点自由，作偶延拓偶延拓14第14页，本讲稿共17页由达朗贝尔公式得到解，其中由达朗贝尔公式得到解，其中x0的部分即所讨论问题的解。的部分即所讨论问题的解。15第15页，本讲稿共17页三.一般情况下的数学物理方程一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件求特解。定解问题的整体性 物理问题 数学问题定解问题是一个整体四四.定解问题的适定性定解问题的适定性如定解问题满足如定解问题满足(1)有解有解(2)解是唯一的解是唯一的(3)解是稳定的解是稳定的则称此定解问题是则称此定解问题是适定的适定的。因为定解问题来自实际。因为定解问题来自实际。16第16页，本讲稿共17页作业:P179,1.,5.17第17页，本讲稿共17页