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1、数字电路与逻辑设计第二章逻辑代数基础第1页，本讲稿共104页逻辑代数是数字系统设计的理论基础和重要数学工具！逻辑代数是数字系统设计的理论基础和重要数学工具！逻辑代数是从哲学领域中的逻辑学发展而来的。逻辑代数是从哲学领域中的逻辑学发展而来的。18471847年年,英国数学家乔治英国数学家乔治布尔提出了用数学分析方法表布尔提出了用数学分析方法表示命题陈述的逻辑结构，并成功地将形式逻辑归结为一种代数示命题陈述的逻辑结构，并成功地将形式逻辑归结为一种代数演算，从而诞生了著名的演算，从而诞生了著名的“布尔代数布尔代数”。19381938年，年，克劳德克劳德向农将布尔代数应用于电话继电器的开向农将布尔代数
2、应用于电话继电器的开关电路，提出了关电路，提出了“开关代数开关代数”。随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关，故点开关，故“开关代数开关代数”这个术语已很少使用。为了与这个术语已很少使用。为了与“数字数字系统逻辑设计系统逻辑设计”这一术语相适应，人们更习惯于把开关代数叫这一术语相适应，人们更习惯于把开关代数叫做做逻辑代数。逻辑代数。第2页，本讲稿共104页本章知识要点：本章知识要点：基本概念基本概念 ；基本定理和基本定理和规则规则 ；逻辑逻辑函数的表示形式函数的表示形式 ；逻辑逻辑函数的化函数的化简简 。第3页，本讲稿共104
3、页 逻逻辑辑代代数数L L是是一一个个封封闭闭的的代代数数系系统统，它它由由一一个个逻逻辑辑变变量量集集K K，常常量量0 0和和1 1以以及及“或或”、“与与”、“非非”三三种种基基本本运运算算所所构构成，记为成，记为L=K,+,L=K,+,-,0,1,-,0,1。该系统应满足下列公理。该系统应满足下列公理。2.1 2.1 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念公公 理理 1 1 交交 换换 律律对于任意逻辑变量对于任意逻辑变量A、B，有，有A+B=B+A；AB=B A公公 理理 2 2 结结 合合 律律对于任意的对于任意的逻辑变量逻辑变量A、B、C，有，有(A+B)+C=A+(B+C)(A+
4、B)+C=A+(B+C)(A(AB)B)C=A C=A(B(B C)C)第4页，本讲稿共104页公公 理理 3 3 分分 配配 律律对于任意的逻辑变量对于任意的逻辑变量A、B、C，有，有A+(BC)=(A+B)(A+C)；A(B+C)=AB+AC公公 理理 4 01 4 01 律律对于任意逻辑变量对于任意逻辑变量A，有，有 A+0=A A+0=A ；A A 1=A 1=A A+1=1 A+1=1 ；A A 0=0 0=0 公理是一个代数系统的基本出发点，无需加以证明。公理是一个代数系统的基本出发点，无需加以证明。公公 理理 5 5 互互 补补 律律对于任意逻辑变量对于任意逻辑变量A，存在唯一的
5、，使得，存在唯一的，使得第5页，本讲稿共104页2.1.1 2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算逻辑代数和普通代数一样，是用字母表示其值可以变化逻辑代数和普通代数一样，是用字母表示其值可以变化的量，即变量。所不同的是：的量，即变量。所不同的是：1在普通代数中，变量的取值可以是任意实数，而逻辑代数是一种二值代数系统，任何逻辑变量的取值只有两任何逻辑变量的取值只有两种可能性种可能性取值取值0 0或取值或取值1 1。2逻辑值逻辑值0 0和和1 1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪的形式符号，无大小、正负之分。的形式符号，无大小、正负之分。在数字系
6、统中，开关的接通与断开，电压的高和低，信号的有和无，晶体管的导通与截止等两种稳定的物理状态，均可用1和0这两种不同的逻辑值来表征。一变量一变量第6页，本讲稿共104页二基本逻辑运算二基本逻辑运算 描述一个数字系统，必须反映一个复杂系统中各开关元件之间的联系，这种相互联系反映到数学上就是几种运算关系。逻逻辑辑代代数数中中定定义义了了“或或”、“与与”、“非非”三三种种基基本本运算。运算。1 1“或或”运算运算 如如果果决决定定某某一一事事件件是是否否发发生生的的多多个个条条件件中中，只只要要有有一一个个或或一一个个以以上上条条件件成成立立，事事件件便便可可发发生生，则则这这种种因因果果关关系系称
7、之为称之为“或或”逻辑。逻辑。例如，用两个开关并联控制一个灯的照明控制电路。第7页，本讲稿共104页在在上上图图所所示示电电路路中中，开开关关A和和B并并联联控控制制灯灯F。可可以以看看出出，当当开开关关A、B中中有有一一个个闭闭合合或或者者两两个个均均闭闭合合时时，灯灯F即即亮亮。因因此，灯此，灯F与开关与开关A、B之间的关系是之间的关系是“或或”逻辑关系。逻辑关系。并联开关电路并联开关电路ABF用两个开关并联控制一个灯的电路如下图所示。用两个开关并联控制一个灯的电路如下图所示。第8页，本讲稿共104页逻逻辑辑代代数数中中，“或或”逻逻辑辑用用“或或”运运算算描描述述。其其运运算算符符号号为
8、为“+”+”，有有时时也也用用“”“”表表示示。两两变变量量“或或”运运算算的的关关系系可表示为可表示为F=A+B或者或者F=A B读作读作“F F等于等于A A或或B B”。在下图所示电路中，假定开关断开用0表示，开关闭合用1表示；灯灭用0表示，灯亮用1表示，则灯F与开关A、B的关系如下表所示。即：A、B中只要有一个为中只要有一个为1，则，则F为为1；仅当；仅当A、B均为均为0时，时，F才为才为0。F 并联开关电路并联开关电路AB “或或”运算表运算表 A BF 0 0 0 1 1 0 1 10111第9页，本讲稿共104页“或或”运算的运算法则：运算的运算法则：0+0=01+0=10+1=
9、11+1=1实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或或”门门。2 2“与与”运算运算如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，则这种因果关系称之为件才能发生，则这种因果关系称之为“与与”逻辑。逻辑。在逻辑代数中，“与”逻辑关系用“与”运算描述。其运算符号为“”，有时也用“”表示。两变量“与”运算关系可表示为F=AB或者F=AB即：即：若若A A、B B均为均为1 1，则，则F F为为1 1；否则，；否则，F F为为0 0。第10页，本讲稿共104页ABF 串联开关电路串联开关电路 假定开关闭合状态用假定开关闭合状态用1表示，断开状态用表
10、示，断开状态用0表示，灯亮用表示，灯亮用1表示，灯灭用表示，灯灭用0表示，则电路中灯表示，则电路中灯F和开关和开关A、B之间的关系即之间的关系即上表所示的上表所示的“与与”运算关系。运算关系。“与”逻辑关系如下表所示。“与与”运算表运算表 A BF 0 0 0 1 1 0 1 10001“与与”运算的运算法则运算的运算法则:0 0=01 0=00 1=01 1=1实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与与”门门。第11页，本讲稿共104页 3 3“非非”运算运算 如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称
11、为发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非非”逻辑。逻辑。在逻辑代数中，“非”逻辑用“非”运算描述。其运算符号为“”，有时也用“”表示。“非”运算的逻辑关系可表示为F=或者 F=A，读作“F等于A非”。即：若若A为为0，则，则F为为1；若；若A为为1，则，则F为为0。第12页，本讲稿共104页例如，在右上图所示电路中，开关与灯并联。显然，仅当开关断开时，灯亮；一旦开关闭合，则灯灭。令令开开关关断断开开用用0表表示示，开开关关闭闭合合用用1表表示示，灯灯亮亮用用1表表示示，灯灯灭灭用用0表表示示，则则电电路中灯路中灯F与开关与开关A的关系即为上表所示的关系即为上表所示“非非”运算关系。运算
12、关系。“非非”运算的运算法则：运算的运算法则：；实现“非”运算功能的逻辑电路称为“非非”门门，有时又称为“反相器反相器”。A开关与灯并联电路F“非非”逻辑关系可用下表逻辑关系可用下表:“非非”运算表运算表 A F 0 1 10第13页，本讲稿共104页2.1.2 2.1.2 逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑代数中函数的定义与普通代数中函数的定义类似，即即随随自自变变量量变变化化的的因因变变量量。但和普通代数中函数的概念相比，逻辑函数具有如下特点特点：1逻逻辑辑函函数数和和逻逻辑辑变变量量一一样样，取取值值只只有有0和和1两两种种可可能能；2函函数数和和变变量量之之间间的
13、的关关系系是是由由“或或”、“与与”、“非非”三种基本运算决定的三种基本运算决定的。一、一、逻辑逻辑函数的定函数的定义义第14页，本讲稿共104页图中，图中，F被称为被称为A1，A2，An的逻辑函数，记为的逻辑函数，记为F=f(A1，A2，An)逻辑电路输出函数的取值是由逻辑变量的取值和电路本逻辑电路输出函数的取值是由逻辑变量的取值和电路本身的结构决定的身的结构决定的。任何一个逻辑电路的功能都可由相应的逻辑函数完全描述，因此，可借助抽象的代数表达式对电路加以分析研究。从数字系统研究的角度看，逻辑函数的定义如下从数字系统研究的角度看，逻辑函数的定义如下:设某一逻辑电路的输入逻辑变量为A1，A2，
14、An，输出逻辑变量为F，如下图所示。第15页，本讲稿共104页逻辑函数和普通代数中的函数一样存在是否相等的问题逻辑函数和普通代数中的函数一样存在是否相等的问题。什么叫做两个逻辑函数相等呢？什么叫做两个逻辑函数相等呢？设有两个相同变量的逻辑函数F1=f1(A1,A2,An)F2=f2(A1,A2,An)若若对对应应于于逻逻辑辑变变量量 A1,A2,An的的任任何何一一组组取取值值，F1和和F2的值都相同，则称函数的值都相同，则称函数F1和和F2相等，记作相等，记作F1=F2。如何判断两个逻辑函数是否相等？如何判断两个逻辑函数是否相等？通常有两种方法,一种方法是真值表法真值表法，另一种方法是代代数
15、法数法。第16页，本讲稿共104页2.1.3 2.1.3 逻辑函数的表示法逻辑函数的表示法该逻辑表达式描述了一个两变量的逻辑函数F。函数函数F和变量和变量A、B的关系是：的关系是：当变量当变量A和和B取值不同时，函数取值不同时，函数F的值为的值为“1”；取值相同时，函数取值相同时，函数F的值为的值为“0”。逻辑表达式是由逻辑变量和“或”、“与”、“非”3种运算符以及括号所构成的式子。例如一、一、逻辑逻辑表达式表达式 如何对逻辑功能进行描述？如何对逻辑功能进行描述？常用的方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图常用的方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图3种种。第17页，本讲稿共104页逻辑表达式的简写逻辑表
16、达式的简写:1.“非非”运算符下可不加括号，如运算符下可不加括号，如，等。等。2.“与与”运算符一般可省略，如运算符一般可省略，如AB可写成可写成AB。高高低低3.在一个表达式中，如果既有“与”运算又有“或”运算，则按按先先“与与”后后“或或”的规则进行运算，可省去括号的规则进行运算，可省去括号,如如(AB)+(CD)可写为可写为AB+CD。注意注意:(A+B)(C+D)(A+B)(C+D)不能省略括号不能省略括号,即不能写成即不能写成A+BC+DA+BC+D！运算优先法则运算优先法则：()+4.(A+B)+C或 者 A+(B+C)可 用 A+B+C代 替；(AB)C或 者A(BC)可用ABC
17、代替。第18页，本讲稿共104页二、真二、真值值表表 依次列出一个逻辑函数的所有输入变量取值组合及其相依次列出一个逻辑函数的所有输入变量取值组合及其相应函数值的表格称为真值表。应函数值的表格称为真值表。由于一个逻辑变量有0和1两种可能的取值，n个逻辑变量共有2n种可能的取值组合。因此，一个一个n个变量的逻辑函数，个变量的逻辑函数，其真值表有其真值表有2n行。行。真值表由两部分组成：真值表由两部分组成：左边一栏列出变量的所有取值左边一栏列出变量的所有取值组合，为了不发生遗漏，通常各变组合，为了不发生遗漏，通常各变量取值组合按二进制数码顺序给出；量取值组合按二进制数码顺序给出；右边一栏为逻辑函数值
18、。右边一栏为逻辑函数值。例如，逻辑函数例如，逻辑函数 的真值表如右表所示。的真值表如右表所示。函数函数F的真值的真值表表 A B CF 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101011100第19页，本讲稿共104页三、卡三、卡诺图诺图 卡卡诺诺图图是是由由表表示示逻逻辑辑变变量量所所有有取取值值组组合合的的小小方方格格所所构构成成的平面图的平面图。这种用图形描述逻辑函数的方法，在逻辑函数化简中十分有用，将在后面结合函数化简问题进行详细介绍。描述逻辑逻辑函数的3种方法各有特点,可用于不同场合。但针对某个具体问题而言，它们仅仅是同一问题的不同描述形
19、式，相互之间可以很方便地进行变换。第20页，本讲稿共104页2.2 2.2 逻辑代数的基本定理和规则逻辑代数的基本定理和规则 根据逻辑代数的公理，可以推导出逻辑代数的基本定理。常用的有组定理常用的有组定理。(对定理中的一个表达式加以证明)2.2.1 2.2.1 基本定理基本定理 定理定理10+0=01+0=100=010=00+1=11+1=101=011=1证证明明：在公理4中，A表示集合K中的任意元素，因而可以是0或1。用0和1代入公理4中的A，即可得到上述关系。如果以如果以1和和0代替公理代替公理5中的中的A，则可得到如下推论：，则可得到如下推论：第21页，本讲稿共104页定理定理2A+
20、A=A；A A=A定理定理3A+A B=A；A (A+B)=A第22页，本讲稿共104页第23页，本讲稿共104页第24页，本讲稿共104页第25页，本讲稿共104页第26页，本讲稿共104页2.2.2 2.2.2 重要规则重要规则 3 3条重要条重要规则规则:代入代入规则规则、反演、反演规则规则、对对偶偶规则规则例如例如，给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若等式中的C都用(C+D)代替，则该逻辑等式仍然成立，即AB+(C+D)=AB+A(C+D)代入规则的正确性是显然的，因为任何逻辑函数都和逻辑变量一样，只有0和1两种可能的取值。代代入入规规则则：任任何何一一个个含含有有变变量量A的的逻
21、逻辑辑等等式式,如如果果将将所所有有出现出现A的位置都代之以同一个逻辑函数的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。，则等式仍然成立。一、代入一、代入规则规则 第27页，本讲稿共104页代入规则的意义：代入规则的意义：利用代入规则可以将逻辑代数公理、定理中的变量用任意函数代替，从而推导出更多的等式。这些等式可直接当作公式使用，无需另加证明。注意：注意：使用代入规则时,必须将等式中所有出现同一变量的地方均以同一函数代替，否则代入后的等式将不成立。例如，用逻辑函数F=f(A1,A2,，An)代替公理A+=1中的变量A，便可得到等式f(A1,A2,，An)+(A1,A2,，An)=1即一个函数
22、和其反函数进行“或”运算，其结果为1。第28页，本讲稿共104页即:“”“+”，“0”“1”，原变量，原变量 反变量反变量二、反演二、反演规则规则 反演规则实际上是定理反演规则实际上是定理6的推广，可通过定理的推广，可通过定理6和代入规和代入规则得到证明。则得到证明。例如，已知函数，根据反演规则有反反演演规规则则：若若将将逻逻辑辑函函数数表表达达式式F中中所所有有的的“”变变成成“+”，“+”变变成成“”；“0”变变成成“1”，“1”变变成成“0”；原原变变量量变变成成反反变变量量，反反变变量量变变成成原原变变量量。并并保保持持原原函函数数中中的的运运算算顺顺序序不不变变，则则所所得到的新的函
23、数得到的新的函数为为原函数原函数F的反函数的反函数 。第29页，本讲稿共104页注意注意:使用反演规则时，应保持原函数式中运算符号的优先顺序不变。三、对偶规则三、对偶规则如 果 将 逻 辑 函 数 表 达 式 F中 所 有 的“”变变 成成“+”,“+”变变 成成“”，“0”变变 成成“1”，“1”变变 成成“0”，并并保保持持原原函函数数中中的的运运算算顺顺序序不不变变，则所得到的新的逻辑表达式称为函数F的对偶式，并记作F。例如，例如，已知函数，根据反演规则得到的反函数应该是而不应该是！错误！错误第30页，本讲稿共104页 注意：注意：1、如如果果F的的对对偶偶式式是是F，则则F的的对对偶偶
24、式式就就是是F。即即，(F)=F,可见可见F和和F互为对偶式。互为对偶式。2 2、一一般般来来说说，F F与与对对偶偶式式FF是是不不相相等等的的！但但不不排排除除特特殊！殊！若若逻逻辑辑函函数数表表达达式式的的对对偶偶式式就就是是原原函函数数表表达达式式本本身身，即即F=F，则称函数则称函数F为为自对偶函数自对偶函数。3 3、求求逻逻辑辑表表达达式式的的对对偶偶式式时时，同同样样要要保保持持原原函函数数的的运运算顺序不变。算顺序不变。第31页，本讲稿共104页根据对偶规则，当已证明某两个逻辑表达式相等时，即可知道它们的对偶式也相等。显然，利用对偶规则可以使定理、公式的证明减少一半。对偶规则：
25、对偶规则：若两个逻辑函数表达式若两个逻辑函数表达式F和和G相等，则其对偶相等，则其对偶式式F和和G也相等。也相等。例如，已知 根据对偶规则对等式两端的表达式取对偶式，即可得到等式第32页，本讲稿共104页2.2.3 2.2.3 复合逻辑复合逻辑 实际应用中广泛采用“与非”门、“或非”门、“与或非”门、“异或”门等门电路。这这些些门门电电路路输输出出和和输输入入之之间间的的逻逻辑辑关关系系可可由由3 3种种基基本本运运算算构构成成的的复复合合运运算算来来描描述述，通通常常将将这种逻辑关系称为这种逻辑关系称为复合逻辑复合逻辑，相应的逻辑门则称为，相应的逻辑门则称为复合门。复合门。一、与非逻辑一、与
26、非逻辑与非逻辑是由与、非两种逻辑复合形成的，可用逻辑函数表示为逻辑逻辑功能功能：只要只要变变量量A A、B B、C C、中有一个中有一个为为0 0，则则函数函数F F为为1 1；仅仅当当变变量量A A、B B、C C、全部全部为为1 1时时，函数，函数F F为为0 0。实现实现与非与非逻辑逻辑的的门电门电路称路称为为“与非与非”门门。第33页，本讲稿共104页 由于与非逻辑又可实现3种基本逻辑，所以，只要有了与非门便可组成实现各种逻辑功能的电路，通常称与非门为通通用用门门。采用与非逻辑可以减少逻辑电路中门的种类，提高标准化程度。由由定定理理 A AB=A+B B=A+B 不不难难看看出出，“与
27、与”之之“非非”可可以以产产生生“或或”的的关关系系。因因此此，实实际际上上只只要要有有了了与与非非逻逻辑辑便便可可实实现与、或、非现与、或、非3 3种基本逻辑。以两变量与非逻辑为例：种基本逻辑。以两变量与非逻辑为例：与与:或或:非非:第34页，本讲稿共104页二二、或非或非逻辑逻辑逻逻辑辑功功能能：只要变量A、B、C中有一个为1，则函数F为0；仅当变量A、B、C全部为0时，函数F为1。实现或非逻辑的门电路称为“或非或非”门门。或非逻辑是由或、非两种逻辑复合或、非两种逻辑复合形成的，可用逻辑函数表示为 与：与：或或:非非:同样，由定理 可知，“或”之“非”可以产生“与”的关系。因此，只要有了或
28、非逻辑也可以实现与、或、非3种基本逻辑。以两变量或非逻辑为例：或非门同样是一种通用通用门门。第35页，本讲稿共104页三、与或非三、与或非逻辑逻辑逻辑逻辑功能：功能：仅当每一个“与项”均为0时，F才能为1，否则F为0。实现与或非功能的门电路称为“与或非与或非”门门。显然，可以仅用与或非门组成实现各种功能的逻辑电路。但实际应用中这样做一般会很不经济，所以，与或非门主要用来实现与或非形式的函数。必要时可将逻辑函数表达式的形式变换成与或非的形式。与或非逻辑是由3种基本逻辑复合形成的，逻辑函数表达式的形式为 第36页，本讲稿共104页四、异或四、异或逻辑逻辑及同或及同或逻辑逻辑逻辑逻辑功能：功能：变量
29、变量A A、B B取值相同，取值相同，F F为为0 0；变量；变量A A、B B取值取值相异，相异，F F为为1 1。实现异或运算的逻辑门称为“异或异或门门”。1 1异或逻辑异或逻辑当多个变量进行异或运算时，可用两两两两运运算算的的结结果果再再运运算算，也可两两依次运算。两两依次运算。异或逻辑是一种两两变变量量逻辑逻辑关系关系，可用逻辑函数表示为 根据异或逻辑的定义可知：A 0=AA 0=AA 1=A 1=A A=0A A=0A =1 A =1 第37页，本讲稿共104页特特性性：在在进进行行异异或或运运算算的的多多个个变变量量中中，若若有有奇奇数数个个变变量量的的值值为为1 1，则则运运算算
30、结结果果为为1 1；若若有有偶偶数数个个变变量量的的值值为为1 1，则则运运算算结果为结果为0 0。例如，F=A B C D=(A B)(C D)(两两运算的结果再运算两两运算的结果再运算)=(A B)C D(两两依次运算两两依次运算)2 2同或同或逻辑逻辑功功能能逻逻辑辑：变变量量A A、B B取取值值相相同同，F F为为1 1；变变量量A A、B B取取值值相相异，异，F F为为0 0。实现实现同或运算的同或运算的逻辑门逻辑门称称为为“同或同或门门”。同或同或逻辑逻辑也是一种两也是一种两变变量量逻辑逻辑关系，其关系，其逻辑逻辑函数表达式函数表达式为为 F=A B=+AB 式中，式中，“”为
31、为同或运算的运算符。同或运算的运算符。两者有区别吗两者有区别吗？第38页，本讲稿共104页同或同或逻辑逻辑与异或与异或逻辑逻辑的关系既互的关系既互为为相反，又互相反，又互为对为对偶偶。即即：由于同或实际上是异或之非，所以实际应用中通常用异或门异或门+非门非门实现同或运算。特特性性：当当多多个个变变量量进进行行同同或或运运算算时时，若若有有奇奇数数个个变变量量的的值值为为0，则则运运算算结结果果为为0；反反之之，若若有有偶偶数数个个变变量量的的值值为为0，则运算结果为则运算结果为1。第39页，本讲稿共104页2.3 2.3 逻辑函数表达式的形式与变换逻辑函数表达式的形式与变换任何一个逻辑函数的表
32、达式形式都不是唯一的。从应用的角度出发，讨论基本形式、标准形式及其相互转换。基本形式、标准形式及其相互转换。2.3.1 2.3.1 逻辑逻辑函数表达式的函数表达式的两种两种基本形式基本形式 两种基本形式：两种基本形式：指指“与与-或或”表达式和表达式和“或或-与与”表达式表达式。一一、“与与-或或”表达式表达式 “与与-或或”表表达达式式：是是指指由由若若干干“与与项项”进进行行“或或”运运算算构构成成的的表表达达式式。每每个个“与与项项”可可以以是是单单个个变变量量的的原原变变量量或或者者反变量，也可由多个原变量或者反变量相反变量，也可由多个原变量或者反变量相“与与”组成。组成。例例如如，均
33、均为为“与与项项”，将将这这3个个“与与项项”相相“或或”便可构成一个便可构成一个3变量函数的变量函数的“与或与或”表达式。即表达式。即第40页，本讲稿共104页二二、“或或-与与”表达式表达式 注意：注意：“与与项项”有有时时又又被被称称为为“积积项项”，相相应应地地“与与-或或”表表达达式式又称为又称为“积之和积之和”表达式。表达式。“或或项项”有有时时又又被被称称为为“和和项项”，相相应应地地“或或与与”表表达达式又称为式又称为“和之积和之积”表达式。表达式。“或或-与与”表表达达式式：是是指指由由若若干干“或或项项”进进行行“与与”运运算算构构成的表达式。成的表达式。每个每个“或项或项
34、”可以是单个变量的原变量或者反变量，也可可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以由多个原变量或者反变量相以由多个原变量或者反变量相“或或”组成。组成。例如，、D均为“或项”，将这4个“或项”相“与”便可构成一个4变量函数的“或-与”表达式。即第41页，本讲稿共104页该该逻逻辑辑函函数数是是“与与或或”式式？不不是是！是是“或或与与”式式？也不是！也不是！但不论什么形式都可以变换成两种基本形式。但不论什么形式都可以变换成两种基本形式。2.3.2 2.3.2 逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式 逻辑函数表达式可以被表示成任意的混合形式。逻辑函数表达式可以被表示成任意的混合形式。例如
35、：逻辑函数的两种基本形式都不是唯一的。逻辑函数的两种基本形式都不是唯一的。例如例如为为了了在在逻逻辑辑问问题题的的研研究究中中使使逻逻辑辑功功能能能能和和唯唯一一的的逻逻辑辑表表达达式式对对应应，引引入入了了逻逻辑辑函函数数表表达达式式的的标标准准形形式式。逻逻辑辑函函数数表表达达式式的标准形式是建立在的标准形式是建立在最小项最小项和和最大项最大项概念的基础之上的。概念的基础之上的。请问逻辑函数的基本形式是否唯一？第42页，本讲稿共104页一、最小一、最小项项和最大和最大项项 定义定义：如果一个具有如果一个具有n个变量的函数的个变量的函数的“与项与项”包含全包含全部部n个变量，每个变量都以原变
36、量或反变量形式出现一次，个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现一次，且仅出现一次，则该且仅出现一次，则该“与项与项”被称为被称为最小项最小项。有时又将最小。有时又将最小项称为项称为标准标准“与项与项”。数目：数目：n个变量可以构成个变量可以构成2n个最小项。个最小项。例如，3个变量A、B、C可以构成、ABC共8个最小项。1 1最小项最小项（掌握（掌握4 4点：定义、数目、简写、性质！）点：定义、数目、简写、性质！）第43页，本讲稿共104页简写：简写：用用mi表示最小项。表示最小项。下标下标i i的取值规则是：的取值规则是：按照变量顺序将最小项中的原变按照变量顺序将最小项中的原变量用量用1
37、 1表示，反变量用表示，反变量用0 0表示，由此得到一个二进制数，与表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即下标该二进制数对应的十进制数即下标i i的值。的值。例如，例如，3变量变量A、B、C构成的最小项构成的最小项 可用可用 m5 表表示。因为示。因为 m5(5)10 101AC第44页，本讲稿共104页在在由由n个个变变量量构构成成的的任任意意“与与项项”中中，最最小小项项是是使使其其值值为为1的的变变量量取取值值组组合合数数最最少少的的一一种种“与与项项”，这这也也就就是是最最小小项项名字的由来。名字的由来。（4）性质性质-最小项具有四条性质性性质质1任任意意一一个个最最
38、小小项项，其其相相应应变变量量有有且且仅仅有有一一种种取取值值使使这这个个最最小小项项的的值值为为1。并并且且，最最小小项项不不同同，使使其其值值为为1的的变变量取值不同。量取值不同。性质性质2相同变量构成的两个不同最小项相相同变量构成的两个不同最小项相“与与”为为0。因为任何一种变量取值都不可能使两个不同最小项同时因为任何一种变量取值都不可能使两个不同最小项同时为为1，故相，故相“与与”为为0。即即 mi mj=0 第45页，本讲稿共104页性质性质3：n个变量的全部最小项相个变量的全部最小项相“或或”为为1。通常借用数学中的累加符号通常借用数学中的累加符号“”，将其记为，将其记为性质性质4
39、：n个变量构成的最小项有个变量构成的最小项有n个相邻最小项。个相邻最小项。相邻最小项：相邻最小项：是指除一个变量互为相反外，其余部分均相同的最小项。例如，三变量最小项A B C和。第46页，本讲稿共104页 定定义义：如如果果一一个个具具有有n个个变变量量函函数数的的“或或项项”包包含含全全部部n个个变变量量，每每个个变变量量都都以以原原变变量量或或反反变变量量形形式式出出现现一一次次，且且仅仅出出现现一一次次，则则该该“或或项项”被被称称为为最最大大项项。有有时时又又将将最最大大项项称为标准称为标准“或项或项”。2 2最大项最大项 数目：数目：n个变量可以构成个变量可以构成2n 个最大项。个
40、最大项。例如，3个变量A、B、C可构成、共8个最大项。第47页，本讲稿共104页性质：性质：最大项具有4条性质。性质性质1任意一个最大项，其相应变量有且仅有一种取值任意一个最大项，其相应变量有且仅有一种取值使这个最大项的值为使这个最大项的值为0 0。并且，最大项不同，使其值为。并且，最大项不同，使其值为0 0的变的变量取值不同。量取值不同。简写：简写：用用Mi表示最大项。表示最大项。下标下标i i的取值规则是的取值规则是：将最大项中的原变量用将最大项中的原变量用0 0表示，反表示，反变量用变量用1 1表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十
41、进制数即下标十进制数即下标 i i 的值。例如，的值。例如，3 3变量变量A A、B B、C C构成的最大项构成的最大项 可用可用 M M5 5 表示。在n个变量构成的任意“或项”中，最大项是使其值为1的变量取值组合数最多的一种“或项”，因而将其称为最大项。最大项。第48页，本讲稿共104页性质性质2相同变量构成的两个不同最大项相相同变量构成的两个不同最大项相“或或”为为1。因为任何一种变量取值都不可能使两个不同最大项同时为0，故相“或”为1。即Mi+Mj=1性性质质3n个个变变量量的的全全部部最最大大项项相相“与与”为为0。通常借用数学中的累乘符号“”将其记为性质性质4 n个变量构成的最大项
42、有个变量构成的最大项有n个相邻最大项。个相邻最大项。相邻最大项是指除一个变量互为相反外，其余变量均相同的最大项。第49页，本讲稿共104页两变量最小项、最大项的真值表如下两变量最小项、最大项的真值表如下:m2 000101001000M3 M2 M 1 M 0 m 3 m1m 0 001011101101101101110 00 11 01 1A B最最 大大 项项 最最 小小 项项 变变 量量2变量最小项、最大项真值表变量最小项、最大项真值表该真值表反映了最小项、最大项的有关性质。该真值表反映了最小项、最大项的有关性质。第50页，本讲稿共104页3最小项和最大项的关系最小项和最大项的关系 在
43、同一问题中，下标相同的最小项和最大项互为反函数。在同一问题中，下标相同的最小项和最大项互为反函数。或者说，相同变量构成的最小项mi和最大项Mi之间存在互补关系。即或者 例如，由例如，由3 3变量变量A A、B B、C C构成的最小项构成的最小项m m3 3和最大项和最大项M M3 3之间有之间有 第51页，本讲稿共104页二、二、逻辑逻辑函数表达式的函数表达式的标标准形式准形式 逻辑函数表达式的标准形式有标标准准“与与-或或”表表达达式式和和标准标准“或或-与与”表达式表达式两种类型两种类型。1标准标准“与与-或或”表达式表达式由由若若干干最最小小项项相相“或或”构构成成的的逻逻辑辑表表达达式
44、式称称为为标标准准“与与-或或”表达式，也叫做最小项表达式。表达式，也叫做最小项表达式。该函数表达式又可简写为F(A，B，C)=m1+m2+m4+m7=例如，一个3变量函数的标准“与-或”表达式第52页，本讲稿共104页2标准标准“或或-与与”表达式表达式 由由若若干干最最大大项项相相“与与”构构成成的的逻逻辑辑表表达达式式称称为为标标准准“或或-与与”表达式，也叫做最大项表达式表达式，也叫做最大项表达式。例如，、为3变量构成的3个最大项，对这3个最大项进行“与”运算，即可得到一个3变量函数的标准“或-与”表达式 该表达式又可简写为第53页，本讲稿共104页2.3.3 2.3.3 逻辑函数表达
45、式的转换逻辑函数表达式的转换 将一个任意逻辑函数表达式转换成标准表达式有两种常用方法:代数转换法代数转换法，真值表转换法真值表转换法。一、代数转换法一、代数转换法 1.求标准求标准“与与-或或”式式一般步骤如下：一般步骤如下：第一步第一步：将函数表达式变换成一般“与-或”表达式。所谓代数转换法，就是利用逻辑代数的公理、定理和规所谓代数转换法，就是利用逻辑代数的公理、定理和规则进行逻辑变换，将函数表达式从一种形式变换为另一种形则进行逻辑变换，将函数表达式从一种形式变换为另一种形式。式。第二步：第二步：反复使用将表达式中所有非最小项的“与项”扩展成最小项。第54页，本讲稿共104页例例如如，将将逻
46、逻辑辑函函数数表表达达式式 转转换成标准换成标准“与与-或或”表达式。表达式。解解 第一步：第一步：将函数表达式变换成将函数表达式变换成“与与-或或”表达式。即表达式。即第第二二步步：把把“与与-或或”式式中中非非最最小小项项的的“与与项项”扩扩展展成成最最小小项项。具具体体地地说说，若若某某“与与项项”缺缺少少函函数数变变量量Y Y，则则用用()和这一项相与，并将其拆开成两项。即和这一项相与，并将其拆开成两项。即 第55页，本讲稿共104页所得标准所得标准“与与-或或”式的简写形式为式的简写形式为 当给出函数表达式已经是“与-或”表达式时，可直接进行第二步。一般步骤：一般步骤：第一步：第一步
47、：将函数表达式转换成一般“或-与”表达式。第二步：第二步：反复利用定理把表达式中所有非最大项的“或项”扩展成最大项。2.求一个函数的标准求一个函数的标准“或或-与与”式式（详见教材中举例。详见教材中举例。）第56页，本讲稿共104页二、真值表转换法二、真值表转换法 具具体体：真真值值表表上上使使函函数数值值为为1的的变变量量取取值值组组合合对对应应的的最最小小项相项相“或或”,即可构成一个函数的标准即可构成一个函数的标准“与与-或或”式式。逻辑函数的最小项表达式与真值表具有一逻辑函数的最小项表达式与真值表具有一 一对应的关系！一对应的关系！假定函数假定函数F的真值表中有的真值表中有k组变量取值
48、使组变量取值使F的值为的值为1，其他变，其他变量取值下量取值下F的值为的值为0，那么，函数，那么，函数F的最小项表达式由这的最小项表达式由这k组变量组变量取值对应的取值对应的k个最小项相或组成。个最小项相或组成。因此，可以通过函数的真值表写出最小项表达式。1.求标准求标准“与与-或或”式式第57页，本讲稿共104页1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 A B C F 1 1 0 11 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 函数函数F的真值表的真值表 解解:首先，列出首先，列出F的真值表如下表所示，然后，根据真的真值表如下表所示，然后，根据真值表可直接写出值表可直
49、接写出F的最小项表达式的最小项表达式 例如，例如，将函数表达式变换成标准将函数表达式变换成标准“与与-或或”表达式。表达式。第58页，本讲稿共104页 具具体体：真真值值表表上上使使函函数数值值为为0的的变变量量取取值值组组合合对对应应的的最最大项相大项相“与与”即可构成一个函数的标准即可构成一个函数的标准“或或-与与”式式。2.2.求一个函数的标准求一个函数的标准“或或-与与”式式 逻辑函数的最大项表达式与真值表之间同样具有一一对应逻辑函数的最大项表达式与真值表之间同样具有一一对应的关系。的关系。假定在函数假定在函数F的真值表中有的真值表中有p组变量取值使组变量取值使F的值为的值为0，其他，
50、其他变量取值下变量取值下F的值为的值为1，那么，函数，那么，函数F的最大项表达式由这的最大项表达式由这p组组变量取值对应的变量取值对应的p个最大项个最大项“相与相与”组成。组成。第59页，本讲稿共104页解：解：首先，列出F的真值表如下表所示。然后，根据真值表直接写出F的最大项表达式函数F的真值表1010 0111 0100 1001 1110 1100 ABC F 0000 0011 例例如如，将函数表达式表示成最大项表达式的形式。第60页，本讲稿共104页由于函数的真值表与函数的两种标准表达式之间存在由于函数的真值表与函数的两种标准表达式之间存在一一对应的关系。一一对应的关系。任何个逻辑函