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1、数值分析第三章数据拟合第1页，本讲稿共41页2/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis第三章 数据拟合方法 3.1 问题提出 3.2 最小二乘法的基本概念3.3 线性拟合方法 3.4 非线性曲线的数据拟合 第2页，本讲稿共41页3/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis3.1 问题提出离散数据点插值：插值函数 精确通过每一个数据点。第3页，本讲稿共41页4/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis两类实际情况:离散数据点提出来自试
2、验，具有测量误差，要求插 值函数通过所有数据点反而会保留测量误差的影响。某些情况下需要找出反映变量变化关系的经验函 数，而非精确通过关键点的外形控制函数。3.1 问题提出第4页，本讲稿共41页5/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis 例3.1.1第5页，本讲稿共41页6/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis 已知一组数据(xi,yi),y=f(xi)，i=1,2,m。f未知。构造插值函数(x)来逼近 f(x),则有 (xi)=f(xi)=yi,i=1,2,m或记 Q=(x1),(
3、x2),(xm),Y=(y1,y2,ym),则有 Q=Y.如果数据不能同时满足某个特定函数，而要求所求的逼近函数“最优地”靠近数据点，即向量Q与Y 的误差或距离最小。按 Q与Y的误差最小原则作为最优标准所构造出的函数，我们称为拟合函数。3.1 问题提出第6页，本讲稿共41页7/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis 定义Q与Y 之间的距离：其中，R 称为均方误差。最小二乘法：按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法。3.1 问题提出第7页，本讲稿共41页8/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Anal
4、ysis3.2 最小二乘法的基本概念 构造拟合曲线的两个问题：Q:从哪一类函数族里面选择拟合曲线的形式？A:根据问题的实际背景，选择逼近 f(x)的函数族。第8页，本讲稿共41页9/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis数据拟合的线性模型数据拟合的线性模型 (x)=a1 1(x)+an n(x)例如例如:1(x),n(x)=1,x,xn-1 1(x),n(x)=1,cos x,cos(n-1)x3.2 最小二乘法的基本概念第9页，本讲稿共41页10/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analys
5、is Q：如何确定参数a1,a2,an以确定一条拟合曲线呢？A:按照在数据点处均方误差最小的原则。这种用求解误差函数最小值问题来确定拟合参数的方法称为数据拟合的最小二乘法3.2 最小二乘法的基本概念第10页，本讲稿共41页11/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis 3.2 最小二乘法的基本概念第11页，本讲稿共41页12/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis 最小二乘法归结为 求n个未知数的线性代数方程组。3.2 最小二乘法的基本概念第12页，本讲稿共41页13/41 郑州大学研
6、究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis 最小二乘法的正规方程组（其解为驻点）3.2 最小二乘法的基本概念第13页，本讲稿共41页14/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis引进矩阵和向量记号 3.2 最小二乘法的基本概念第14页，本讲稿共41页15/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis 3.2 最小二乘法的基本概念第15页，本讲稿共41页16/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis 以上
7、正规方程组是否存在唯一解?正规方程组的解是最小二乘问题的驻点，此驻点是否就是最小二乘问题的解呢？3.2 最小二乘法的基本概念第16页，本讲稿共41页17/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis 可以证明,此解是最小二乘问题的解.3.2 最小二乘法的基本概念第17页，本讲稿共41页18/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis定理3.2.23.2 最小二乘法的基本概念第18页，本讲稿共41页19/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysi
8、s 3.3 线性数据拟合方法 已知数据表 x x1 x2 xmf(x)y1 y2 ym求拟合函数求拟合函数:(x)=a+b xa+b x1=y1a+b x2=y2a+b xm=ym超定方程组第19页，本讲稿共41页20/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis 2-范数平方范数平方 残差残差:rk=(a+bxk)yk (k=1,2,m)3.3 线性数据拟合方法 第20页，本讲稿共41页21/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis求 a,b 使 S(a,b)=min3.3 线性数据拟合方
9、法 第21页，本讲稿共41页22/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis3.3 线性数据拟合方法 第22页，本讲稿共41页23/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis方程组系数矩阵方程组方程组右端项右端项3.3 线性数据拟合方法 第23页，本讲稿共41页24/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis超定方程组超定方程组:AX=正规方程组正规方程组:ATAX=AT 拟合曲线的法方程(正规方程组)。解之得 a，b。代入 (x)=a+b
10、 x,即得所求的拟合曲线。3.3 线性数据拟合方法 第24页，本讲稿共41页25/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis例3.3.1 已知实验数据如下,求线性拟合函数。解解:设拟合曲线方程为设拟合曲线方程为 (x)=a+b x x 1 2 3 4 5 f(x)4 4.5 6 8 93.3 线性数据拟合方法 第25页，本讲稿共41页26/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis5a+15b=31.515a+55b=108a=2.25,b=1.35 ATAX=AT3.3 线性数据拟合方法
11、第26页，本讲稿共41页27/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis|r|2=0.7583残差向量残差向量:(1)4=0.40 (2)4.5=0.45 (3)6=0.30 (4)8=0.35 (5)9=0(x)=2.25+1.35 x3.3 线性数据拟合方法 第27页，本讲稿共41页28/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis例3.3.2 求数据的二次拟合函数 P(x)=a0+a1x+a2x2x 1 2 3 4 5f(x)4 4.5 6 8 9 解解:将数据点代入将数据点代入,得得3
12、.3 线性数据拟合方法 第28页，本讲稿共41页29/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysisa0+a1+a2=4a0+2a1+4a2=4.5a0+5a1+25a2=93.3 线性数据拟合方法 第29页，本讲稿共41页30/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysisa0=3,a1=0.7071,a2=0.10713.3 线性数据拟合方法 第30页，本讲稿共41页31/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis得得 P(x)=3+0.707
13、1x+0.1071x2二次拟合误差二次拟合误差:|r|2=0.6437比较线性拟合误差比较线性拟合误差:|r|2=0.75833.3 线性数据拟合方法 第31页，本讲稿共41页32/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis3.3 线性数据拟合方法 x0=0:0.1:1;y0=(x0.2-3*x0+5).*exp(-5*x0).*sin(x0);p3=polyfit(x0,y0,3);vpa(poly2sym(p3),10)x=0:0.01:1;ya=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);y1=polyval(p3,x
14、);subplot(2,1,1),plot(x,y1,x,ya,x0,y0,o),legend(三次拟合曲线,原函数曲线,样本点)p4=polyfit(x0,y0,4);y4=polyval(p4,x);p5=polyfit(x0,y0,5);y5=polyval(p5,x);p8=polyfit(x0,y0,8);y8=polyval(p8,x);subplot(2,1,2),plot(x,y4,x,x,y5,-,x,y8,:,x,ya,-)legend(四次拟合曲线,五次拟合曲线,八次拟合曲线,原函数曲线)vpa(poly2sym(p8),5)第32页，本讲稿共41页33/41 郑州大学研
15、究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis3.3 线性数据拟合方法 第33页，本讲稿共41页34/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis3.4 非线性曲线的数据拟合问题提出：离散点图呈非线性。第34页，本讲稿共41页35/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis如果非线性函数为将给定数据(xi,yi)转换为(ui,vi),求出a,b,再代回原变量y,x，可求得原非线性拟合曲线。3.4 非线性曲线的数据拟合第35页，本讲稿共41页36/41 郑州大学研
16、究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis例3.4.1 用给数据求经验公式：y=a ebx x 1 2 3 4 5 6 7 8y 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6解 线性化。对经验公式取自然对数 ln y=ln a+bx 令 u=ln y，b0=ln a，u=b0+bx 代入数据得矛盾方程组3.4 非线性曲线的数据拟合第36页，本讲稿共41页37/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis由法方程 ATAB=ATy，B=（b0,b),即 a=e2.4369=1
17、1.4375.y=11.4375e0.2912x.第37页，本讲稿共41页38/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis拟合曲线的均方误差为：拟合曲线的图形为3.4 非线性曲线的数据拟合第38页，本讲稿共41页39/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis3.4 非线性曲线的数据拟合例3.4.2第39页，本讲稿共41页40/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis f=inline(a(1)*exp(-a(2)*x)+a(3)*exp
18、(-a(4)*x).*sin(a(5)*x),a,x)x=0:0.1:10;y=0.12*exp(-0.213*x)+0.54*exp(-0.17*x).*sin(1.23*x);xx,res=lsqcurvefit(f,1,1,1,1,1,x,y);xx,resx1=0:0.01:10;y1=f(xx,x1);plot(x1,y1,x,y,o)legend(拟合曲线,样本点)3.4 非线性曲线的数据拟合第40页，本讲稿共41页41/41 郑州大学研究生2013-2014学年课程 数值分析 Numerical Analysis第三章 小结本章内容为离散数据的最小二乘拟合方法，需要重点掌握以下内容：最小二乘法的概念最小二乘问题解的存在问题及解的矩阵表示。线性数据的拟合方法。非线性数据的拟合方法。第41页，本讲稿共41页