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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。固体颗粒半径的测量-悬浊液中固体颗粒半径的测量摘要我们都知道，悬浊液是一种分散系，其分散系粒子直径在100nm以上，多为很多分子的集合体，如泥浆等。悬浊液不透明、不均一、不稳定，不能透过滤纸，静置后会出现分层（即分散质粒子在重力作用下逐渐沉降下来）。因此，我们可以通过测定分散质粒子在重力作用下沉降的速度来测定粒子的半径。固体颗粒在液体介质中，一方面受重力作用而下沉，另一方面又受到摩擦阻力的作用。这里，我们假设固体颗粒都是半径相同的球状粒子，密度都一样且在溶液中等速下沉，根据力的平衡原理，可以间接算出固体
2、颗粒的半径大小。但实验中无法保证沉降颗粒的大小一样，所以测得的数据实际上是许许多多不同半径的颗粒的混合物，因此得到的沉降曲线在理论上应该是各个粒子单独的沉降曲线的叠加。另外，不同半径的固体颗粒的数量不可能均匀分布在同一个体系中，因此还要分析其分布的规律。而显而易见，固体颗粒的种类、在液体中的数量大小等诸多因素都会使我们得到的分布曲线千差万别，但纵使它再复杂的变化，这一模型的思想对它们也是同样适用的。综上所述，对于测量固体颗粒半径，我的方案是：首先通过实验测得一个分散体系的总沉降数据，根据数据画出相应的G-t曲线，再利用曲线求出在一定的粒子半径范围内的颗粒个数。这一模型的建立有很多不足之处。首先
3、，它忽略了固体颗粒的形状，把它们都假设成是完美的球状粒子，但实际并非如此，每种物质的颗粒形状都是不同的，而且大别很大；其次，固体颗粒的密度也不是均匀的，这会影响我们计算它的重力。因此，这一模型较适用于大小适中、形状普通的固体粒子。关键词：固体颗粒半径、重力、摩擦阻力、速度目录第一部分问题重述(3)第二部分问题分析(3)第三部分模型的假设(4)第四部分定义与符号说明(4)第五部分模型的建立与求解(5)第六部分对模型的评价(9)第七部分参考文献(10)一问题重述怎样测量固体颗粒的大小。二问题分析当固体颗粒足够大时，我们用肉眼及测量工具即可测量固体颗粒的大小，而当固体的颗粒太小时，直接法已不能达到我
4、们的目的，此时，常用间接法来测量。对于固体粉末，我们可以将它们放到不互溶的液体中，当粒子在液体介质中下降时，一方面受重力作用而下沉，另一方面又受到摩擦阻力的作用。这里，我们假设固体颗粒都是半径相同的球状粒子，密度都一样且在溶液中等速下沉，根据力的平衡原理，可以间接算出固体颗粒的半径大小。但实验中无法保证沉降颗粒的大小一样，所以测得的数据实际上是许许多多不同半径的颗粒的混合物，因此得到的沉降曲线在理论上应该是各个粒子单独的沉降曲线的叠加。另外，不同半径的固体颗粒的数量不可能均匀分布在同一个体系中，因此还要分析其分布的规律。通过对概率论相关知识的学习，我们知道，在相当一般的条件下，当独立随机变量的
5、个数增加时，其和的分布趋于正态分布。本次实验中画出的F(r)-r曲线在形态上大致符合正态分布，但是与正态分布的差距还是很大的。因为真实颗粒的大小分布受诸多因素的影响。总体思路即是：首先通过实验测得一个分散体系的总沉降数据，根据数据画出相应的G-t曲线，再利用曲线画出一定范围的固体颗粒半径所含固体颗粒的多少。实验中，选取硫酸铅粉末溶于水，用天平测定不同时间沉降的重量。实验数据如下：T：17.0P：101.8kPa表一沉降量G与对应的沉降时间时间/min0.000.501.001.502.002.503.00重量/g0.0000.0870.2160.3360.4270.4770.504续表一时间/
6、min3.504.004.505.006.007.008.00重量/g0.5220.5330.5430.5500.5610.5680.573续表二时间/min9.0010.0011.0012.0014.0016.0018.00重量/g0.5780.5810.5830.5860.5890.5910.594续表三时间/min20.0025.0030.0035.0040.0045.0050.00重量/g0.5950.5980.6000.6010.6020.6030.604=6.2103/m30=1.03103/m3=8.9410-4PaS1 g=9.8m/s2三模型假设假设硫酸铅粒子都是均匀密度的完
7、整球体。2 假设液体的密度均匀。3 假设实验数据真实可靠，误差极小。假设粒子在液体介质中等速下沉。四定义与符号说明1设硫酸铅粒子的半径为r(cm)2.设硫酸铅粒子的密度为（g/cm3）3设液体介质密度为0（g/cm3）4设实验称得的重量为G5设称重时间为t五模型的建立与求解（一）模型的假设首先，我们来讨论G-t曲线的物理意义。假如有五种大小不同的粒子，易知每种粒子都应有其单独的沉降曲线，它们开始时应为斜率为一定值的直线，然后当它们沉淀到秤上后直线变为一条水平线。五种粒子混合在一起也应有总的沉降曲线。如下图，折线1、2、3、4、5。0t3t2t112t/minG/mg453G1EDCBAG1G2
8、G3图1理论G-t曲线若将沉降的距离分为五等段，记为1、2、3、4、5。在位置1的粒子离秤的距离为h1,因为粒子是匀速下降，所以粒子从一位置下降到秤的时间为：因此当tt1时，G=G1，是平行于横轴的一条直线。半径为r1的粒子的沉降曲线如图2中折线1所示。若上述五种不同半径的粒子同时沉降，其单独的沉降曲线分别为图2中折线1、2、3、4、5所示，则五种粒子的总沉降曲线就为一条接近于完全曲线的一组折线。在任何时刻该线上的某一点所示的沉降量，就相当于五条单独的折线上相应点所示沉降量的和。例如：线段BC上任何一点的沉降量为：线段BC在t1、t2间与沉淀曲线相切，因此由上述方程可知，其截距即为，这就是在t
9、2时间已完全沉降的粒子量。前面已经叙述过，实际上任何固体粉末粒子都是在一定的范围内由一系列的半径大小不同的粒子所组成。根据图1，可以求得任意范围内的粒子的重量，再进一步求出粒子大小的分布。为了作出粒子大小的分布曲线，需要求得分布函数F(r)，用以表明半径在rdr之间粒子的重量占粒子总重量G的分数，即：式中Gr为半径等于r粒子的重量，G=Gr。但是，光是知道这些还是不够的，我们并不知道时间与颗粒半径的关系，所以还无法将上述结论运用到求解中。下面，我们将进一步讨论时间与颗粒半径的具体关系。前面我们已经假设粒子都是密度均匀的球状固体，它们在溶液中下降的速度为匀速，因此可知重力与摩擦阻力平衡。由此不难
10、推出下面的方程式：这就是著名的斯托克斯公式。这样，我们就可以求出相应的F（r）-r曲线，从而得到一定半径范围的颗粒数。至于F（r）-r曲线我们可用图解法来解决这一问题。在有限的半径变化范围内，常采取近似处理：将和代入上式就可以得到F(r)。作图如下：F(r)r图2分布曲线当实验数据无限多时，我们会发现这条分布曲线服从正态分布在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布趋于正态分布。(二)数据的处理基于上述理论，我们现在进行数据的处理。用描点法画出G-t曲线，如下图：00.10.20.30.40.50.60.701234579111418253545系列1系列2图3实验数据的G-t
11、曲线从图一中可得出：mmm以此类推，得出五组数据，列表如下：3003.964.102.398.094.9646.2406.3438.8788.539然后将它们绘制成图，如下：图4F(r)-r曲线六模型评价与推广求固体颗粒的半径，用这种模型还是比较合理的，虽然它们对实际问题的简化很多，导致局限性很大，但是还是可以在客观上大体得出固体颗粒的大小，且其大致分布。在最后的数据处理中，利用图解法求分布函数会造成很大误差，虽然理论上可以进行但实际中并不可取。至于改进的方法，我们可以采用微分法，方法如下：首先，求出，即先从G-t曲线上选几个点求，以对t作图，得到-t曲线，由此曲线再求斜率，得，再以对t作图，得一曲线，再从-t曲线上读出若干需要的值。然后，将微分，即：再将相应的、r代入上式即可。这一数学模型的缺点就是只能用于测量那些形状接近球体、密度相对均匀的粒子，对于其它形状的粒子则不太适用。改进方法还是有很多的，例如对于规则的几何体，我们只要把上述模型的体积稍作改动即可。七参考文献1李元高物理化学实验研究方法217-219页2夏春兰Origin软件在物理化学实验数据处理中的应用大学化学第十八卷第二期临床八年0902班高珊学号：2204090221-